双曲线及其标准方程.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2.3双曲线23.1双曲线及其标准方程整体设计教材分析“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后， 学习的又一类圆锥曲线学问， 也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一， 它在社会生产、 日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求同学必需娴熟把握的重要内容双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此， 这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行 教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特殊是它们的不同点课时安排本节内容分两课时完成第 1 课时讲解双曲线的定义，要求同学类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程。第2 课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题第 1 课时教学目标 学问与技能使同学把握双曲线的定义，懂得双曲线标准方程的推导过程，能依据条件确定双曲线的标准方程过程与方法在与椭圆的类比中，把握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习才能和运用所学学问解决实际问题的才能。培育同学运用类比、数形结合思想解决问题的才能情感、态度与价值观发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发同学学习数学的爱好，提高同学的审美乐趣，培育同学勇于探究、敢于创新的精神，通过引入b2，使方程形式更对称、简洁，无疑会让学 生感到数学的特殊魅力，增强同学学习数学的深厚爱好重点难点教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程教学难点：双曲线标准方程的推导.教学过程复习引入1椭圆的定义平面内与两个定点F1， F2 的距离之和等于常数 大于 |F 1F2| 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2. 椭圆的标准方程22xy1 焦点在 x 轴a2b2 1， a>b>0 。y 2x 22 焦点在 y 轴a2b2 1， a>b>0 3 a、b、c 之间有何种关系？222a c b .探究新知探究： 假如把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：(A) B活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支下面请同学们摸索以下问题：设问：定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？ 几何画板演示当常数等于|F 1F2| 及常数大于 |F 1F2| 时的点的轨迹，帮忙同学懂得请同学回答：1. 不能指出必需“在平面内” 2到两定点的距离的差的肯定值相等，否就只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的肯定值为一个常数，即|MF 1| |MF2 | 2a.3应小于两定点间距离且大于零当常数等于|F 1F2| 时，轨迹是以F1、F2 为端点的两条射线。当常数大于|F 1F2 | 时，无轨迹活动设计： 小组争论， 试验演示， 通过提出问题， 让同学争论问题，并尝试解决问题 让同学明白双曲线的前提条件，并培育同学的全面摸索才能感受曲线， 解读演示得到的图形 是双曲线 一部分 提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义活动设计：同学先独立摸索，老师加以引导，与椭圆有一个类比，答应同学自愿合作、争论、沟通学情猜测： 同学的回答可能不全面、不精确， 我们可以用几何画板演示同学的回答，让他们发觉问题，然后不断补充、订正，趋于完善活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1， F2 的距离的差的肯定值等于常数 小于 |F 1F2| 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 在归纳定义时强调定义要满意三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的肯定值等于常数、常数小于|F 1F2| 且大于零 下面我们类比椭圆方程的推导，挑选适当的坐标系，建立双曲线方程为今后通过方程争论双曲线的性质做好预备提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -活动结果：建系、设点、列式、化简 同学回答，老师板书提出问题：和椭圆类似，我们应如何建立坐标系，使求出的方程更为简洁？活动设计： 同学先独立摸索， 类比椭圆找到两种简洁的建系方法，并找同学到黑板板演，老师巡察指导其他同学，必要时给板演的同学赐予指导 推导过程以焦点在x 轴上为例 同学板演，先请同学评讲，老师再评讲以线段 F1F2 的中点为原点，直线 F1F2 为 x 轴，建立直角坐标系设 Px ， y 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2cc>0 ，那么，焦点 F1， F2 的坐标分别是 c,0 ， c,0 ，又设点 P 与 F1，F2 的距离的差的肯定值等于常数 2a. 就有：xc 2 y 2x c2 y 2± 2a，2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结移项，得x c y x c y ±2a，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边平方，得x c y |a ax|. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222222式再两边平方并整理得c a x a y a c a ， 22依据双曲线的定义c a，c a 0，22222xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 b ca ，代入上式，得2 2 1. ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标是F1 c,0 、F2c,0222学情猜测：一般情形下，得到方程 后，同学会类比椭圆设b c a ，但要留意证明的严密性，帮忙同学在证明过程中完善步骤提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A1， A2，同学们都知道a， c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a，c 的线段吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学情猜测：估量得出c 题|F 1F2|2 |OF1| |OF2| ， a|A 1A2|2 |OA1| |OA2| 应当不会有问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提出问题：你能在y 轴上找一点B，使得 |OB| b 吗？学情猜测：同学会发觉在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点，我们分别设为B1， B2，就|B 2A1| |B 2A2| c |B 1A1| |B 1A2 |.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这样，由于B 2OA2 为直角三角形，且|B 2A2| c ，|OA2| a，所以， c方程 中的 c 2 a2 有明显的几何意义 a |OB2| . 因此，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提出问题：假如以F1，F2 所在直线为y 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F10 ， c ， F20 ，c ，双曲线的方程又如何了？x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类比椭圆，假如双曲线的焦点在y 轴上，把方程2 2 1 中的 x 、y 互换，得到它的方ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22yx程为 a2 b2 1，这也是双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两个2222xyyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结老师应指出：我们所得的两个方程方程2 2 1 和 2 21a>0 ，b>0 都是双曲线的标准abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结提出问题：已知双曲线标准方程，如何判定焦点位置？活动设计：同学先独立摸索，当然，同学自愿合作争论的也答应活动结果：看x2，y2 的系数，哪个系数为正就在哪一条轴上 练习：写出以下双曲线的焦点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -22221. xyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 12.169 1F ±5,0 916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222yxyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 16 9 1 4.懂得新知 1 F0，± 5916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1观看双曲线的图形及其标准方程，师生共同总结归纳：(1) 双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴。(2) 双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差，右边是1。222(3) 双曲线标准方程中三个参数a，b， c 的关系： c a b a>0 ， b>0 。22(4) 双曲线焦点的位置由标准方程中x ， y 的系数的正负确定。(5) 求双曲线标准方程时，可运用待定系数法求出a，b 的值2在归纳总结的基础上填下表.2222xyyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标准方程a2 b21a>0 ， b>0a2 b2 1a>0 ， b>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图形222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a， b，c 的关系c a bc a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点坐标 ±c,00 ，± c焦点位置在 x 轴上在 y 轴上3. 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区分与联系？椭圆双曲线定义|MF1| |MF2| 2a|MF 1| |MF2| 2a2222x yxya2 b2 1a>b>0a2 b2 1a>0 ， b>0222方程2y xyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 2 1a>b>0 abF ±c,0焦点F0 ，± c2 2 1a>0 ， b>0 abF ±c,0 F0 ，± c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a， b， c222a>0， b>0，但 a 不肯定大于b，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a>b>0， a b c222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的关系运用新知例题研讨，变式精析a b c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 判定以下方程是否表示双曲线，如是，求出三个量a，b， c 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2x2y222xy22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4 2 1，2 2 1,4 2 1， 4y 9x 36.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222思路 分析： 双曲线标准方程的形式：平方差，x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222x 项的分母是a 。 y项的系数是正的，那么焦点在y 轴上， y项的分母是a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 是双曲线， a 2， b2， c6。是双曲线，a2， b2，c 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -是双曲线，a2， b 2， c 6。是双曲线，a 3， b 2， c 13.2 已知双曲线的焦点为F1 5,0 ， F25,0，双曲线上一点P 到 F1、F2 的距离的差的肯定值等于6，求双曲线的标准方程思路 分析： 巩固双曲线的标准方程，解题思路是查找两个定值a，c. 用待定系数法求出双曲线的标准方程解： 双曲线的焦点在x 轴上，设它的标准方程为22xy2 2 1a>0 ， b>0 ab依据题意知2a 6,2c 10，a 3， c 5222b 5 3 16.22xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所求双曲线的标准方程为 1.916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 焦点定位， a、 b、c 三者知二定形变练演编提出问题：请解答以下问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21已知双曲线x 2y 1，你可以得到哪些结论？ 把你能得到的结论都写出来可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1692已知 a 2，c 4，就你可以得到双曲线的哪些结论？ 把你能得到的结论都写出来22yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3已知 a 4， ，可以求得双曲线的标准方程为上需要添加什么样的条件？活动设计：同学先独立探究，答应相互沟通成果然后，全班沟通16 9 1，就题中横线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学情猜测： 1.a 4， b 3， c 5，两焦点坐标为 5,0 ， 5,02222xyyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 b23，双曲线的标准方程为4 12 1 或 4 12 1 等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3b 3，且焦点在y 轴上。或 c 5，且焦点在y 轴上。或一个焦点坐标为0,5答案许多 设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、好玩性、探干脆和挑战性， 训练同学思维的发散性、收敛性、敏捷性和深刻性，长期坚持，不仅会加深同学对数学的懂得、把握，而且会潜移默化的学会编题、解题，更会把同学的基础学问巩固得更广、更深达标检测1求 a 4， b 3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程22222求 a 25，经过点 2 ， 5 ，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3证明椭圆9x25y 225 与双曲线 x 15y 15 的焦点相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结224如方程 x sin y cos 1 表示焦点在y 轴上的双曲线， 就角 所在象限是 A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5设双曲线x 2y 2 1 上的点 P 到点 5,0的距离为15，就 P 点到 5,0 的距离是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结169A 7B 23C 5 或23D 7 或2322xy答案： 1. 16 9 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -222. y x 1。20162222xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 9x 25y22 2252x 1F ±4,0 ，2592可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 15y15215 y2 1F ±4,0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 Dxsin ycos 1 表示焦点在y 轴上的双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin <0cos >0 在第四象限，所以选D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 D|d 15| 2a 8d 7 或 23.课堂小结学问整理，形成系统 由同学归纳，老师完善(1) 双曲线的定义 与椭圆的区分(2) 标准方程 两种形式 (3) 焦点位置的判定 与椭圆的区分4a、 b、 c 的关系 与椭圆的区分 让同学对本节课进行总结目的是帮忙他们认清这节课的学问结构，培育他们的归纳总结才能 .作业布置教材习题 2.3A 组第 1 题，第 21 题补充练习基础练习1填空题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21x2y1，就 a ， b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结52 3222xy22 21，就 a ， b 。 46x 2y23 9 4 1，就 a ， b .2求以下椭圆的焦点坐标：22xy22 9 4 1。 16x 7y 112.拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F10 ，13 ，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的肯定值为 24，求双曲线的标准方程解： 由于焦点坐标为F10 ， 13 ，所以 c 13.又双曲线上一点P 到两焦点距离之差的肯定值为24， 所以 2a 24，即 a 12.222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 b c a 169 144 25.22yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以所求双曲线的标准方程为14425 1.设计说明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“试验观看类比证明应用”的思想方法，逐步由感性到理性的熟悉定理这样支配符合同学的熟悉规律，揭示了学问的发生、进展过程。 也符合现代训练理论中的“要把学 生学习学问当作熟悉事物的过程来进行教学”的观点2在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是同学自己的“再制造”的原就，通过老师启示引导，让同学通过试验、观看、摸索、类比、推理、沟通、合作、反思等过程进行探究， 构建新学问， 真正做到将传授学问和培育才能融为一体，较好的表达“数学教学主要是数学活动的教学”这一训练思想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结备选例题：22备课资料2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1椭圆 x y 1 与双曲线 x y 2 1 有相同的焦点，求m的值9mm分析： 由双曲线方程可以看出焦点在x 轴上这样在椭圆和双曲线中各自的a、b 值可以定下来了再分别求c ，列出等式可解得m值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x解： 双曲线 y 1 的焦点在 x 轴上，所以cm 1，椭圆的焦点也在x 轴上，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2mc9m，依题意有m 19 m，解得 m 4.点评： 对于椭圆与双曲线这对“情侣圆锥曲线”，从简洁的题目入手，渐渐提升同学的综合才能2动点 P 到点 M 1,0 的距离减去到点N1,0 的距离为2，就点 P 的轨迹是 A双曲线B 双曲线的一支C 两条射线D 一条射线答案： D点评： 对双曲线的定义巩固提升 设计者：刘薇可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - 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