第三章不等式规律方法与数学思想.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载第三章不等式§3.1不等关系与不等式材拓展可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 不等式的基本性质对于任意的实数a， b，有以下事实： a>b. a b>0。a b. a b 0。a<b. a b<0.这三条基本性质是差值比较法的理论依据例如：已知a>b>0 ， m>0 ，要比较 a m与bma的大小，就可以采纳以下方法：b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a mabmamm b a. b mbb b mb b m m>0 ， a>b>0 ， b a<0， m b a <0 ， a ma可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b b mbm <b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 不等式的性质包括“ 单向性 ” 和“双向性 ”两个方面单向性：(1) a>b ， b>c. a>c.(2) a>b ， c>d. a c>b d. 3a>b ， c>0. ac>bc. 4a>b ， c<0. ac<bc. 5a>b>0 ， c>d>0 . ac>bd.6a>b>0 ， n 为正实数 . an>bn.双向性：1a b>0. a>b。 ab 0. ab。 a b<0 . a<b.(2) a>b . b<a.(3) a>b . a c>b c.单向性主要用于证明不等式。双向性是解不等式的基础当然也可用于证明不等式 如把 c>0 作为大前提，就a>b. ac>bc，如把 c<0 作为大前提，就a>b. ac<bc.这两条性质也常常用于解不等式例如，下面这个简洁的一元一次不等式也需要在上述性质下才能完成解不等式：1x32 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6解13 243x < 64<3x121x 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. 2x 9<8x 1 不等式两边都乘以12，等式方向不转变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载. 2x<8x 10 不等式两边都加上9. 10x< 10 不等式两边都加上8x. x>1 不等式两边都乘以1 ，不等式方向转变！103 正分数的一个好玩性质在 a>b>0 ， m>0 的条件下，我们可以利用比较法证明以下事实：b<b m<1< a maa a mb m<b.由b<b m可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大例如：a a m12 3 4 5 67 82<3<4<5<6<7<8<9.由<ama可知：一个正的假分数，分子、分母加上同一个分数，分数值将减小例如：b mb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结34 5> > >23 46 7 865> >7>9 109>.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从函数的观点看：当 a>b>0 时，函数 fx bx 在 x 0 ， 上是单调递增的。函数fx a x 在0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 上是单调递减的法突破a xb x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、利用作差法比较实数大小方法链接 ：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差 变形 判定差的符号 得出结论比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1已知 m R， a>b>1 ， fx mxx 1，试比较fa与 fb的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解可将 fa与 fb分别表示出来，然后依据m， a，b 的取值范畴进行比较，但由于m的取值不确定，所以应用分类争论的方法求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 f x mx，所以 fa ma， f b mb ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1于是 f a fbma a 1mbm b ab1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1b 1a1b 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 a>b>1，所以 ba<0， a 1 b1>0.m ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 m>0 时，当 m<0 时， 当 m0 时，a 1b 1 m baa 1b 1 m ba<0，所以 fa<fb。>0，所以 fa>fb。 0，所以 fa fb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1b 1二、利用作商法比较实数大小方法链接 ：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：1如 a， b 都是正数，就a>b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. a>1。 ba<b.a b<1。a b.a 1. ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 如 a，b 都是负数，就a>b.b<1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a<b.a b>1。a b.a 1. b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作商比较法的基本步骤为： 作商。 变形。 与 1 比较大小。 下结论三者的大小例 2设 a>0， b>0，且 a b，试比较aa bb， abba， aba b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa bb解a baaa b2·bb2a b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba b2baa a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2·b2 b2aa b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a>b>0 时， b>1， a b>0，2>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a a ba b2> b0 1， aabb>aba b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a当 0<a<b 时， 0< b<1， a b<0，a b2<0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a a ba b2> b0 1， aabb>aba b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，不论a>b>0 仍是 0<a<b，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总有 aabb>aba b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a bb a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理： ab2>a b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述， aabb>ababb a2>a b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、利用不等式的性质比较大小方法链接 ：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判定 例 3对于 0<a<1 ，给出以下四个不等式 log a1 a<log a 11a1 log a1 a>log a 1a a1 a<a11a a1 a>a11a其中成立的是A 与B 与C与D与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，解析 0<a<1， a<1< 1a1 a<11，a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载而 y log a x 在 0， 上与 y ax 在 R 上均为减函数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 loga1 a>log a11a， a1 a>a1 1.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案D四、利用不等式性质求参数范畴对一切方法链接 ：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范畴此类问题常常使同学感到束手无策，即使能解，过程也非常繁琐对这类问题，如能把参变量分别出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4是否存在实数a，使不等式111 1 > 1 log a a1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n 2n32n 123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大于 1 的自然数n 都恒成立？假如存在，试确定a 的取值范畴，否就说明缘由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解记 f n1111n N* ，且 n 1假如存在题意中要求的实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 a，n 1n 2n 32n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么 1 logaa 1 2min可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结< fn123 f n fn 1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 111<0，2n 12 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 n12n 1 f n为增函数，故 fn min f 2117 ，3 412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112log aa 1273<12，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此可解得1< a<152，所以满意此题的实数a 存在，其取值范畴是1，15.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区突破误用不等式的性质而致错例已知： 1 a b 2 且 2 a b 4，求 4a2b 的范畴 错解 由于 1a b 2 2 a b 4 得 3 2a 63 a 32 × 1 得 0 2b 3 30 b 2× 4 × 2得 3 4a 2b 12. 点拨 上面的解法看上去好像每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的那到底是为什么了？我们先看不等式4a 2b 3 什么时候取等号，由上述解题过程可知，当 a323且 b2时，才取等号，而此时ab 0，不满意 式，因此 4a 2b 是不能等于3 的同理可验证 4a 2b 也不能等于12，显现上述错误的缘由是“ 同向不等式两边分别相加所得不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载与原不等式同向” 这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形因此结论是错误的 正解 换元法令 a b ， a b v，就 2 4,1 v 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b 由a b v va2解得. vb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 v v 4a 2b4· 2 2· 2 2 2v v 3v .而 2 4,3 3v 6，就 5 3v 10. 5 4a 2b 10.题多解例设 0<x<1， a>0，a 1，试比较 |loga1 x|和|log a1 x|的大小解方法一第一判定对数式loga1 x和 loga1 x的符号，以便去掉肯定值符号，然后作差比较解题过程必需留意对数函数的单调性 0< x<1， 0<1 x<1,1<1 x<2. 1 当 a>1 时， loga1 x<0 ， loga1 x>0 P |loga1 x| |loga 1 x| loga1 x log a1 x2 loga1 x 0<1 x22<1 ， loga1 x >0.故 P>0 ，得 |loga1 x|>|log a1 x|. 2 当 0<a<1 时，log a1 x>0， loga1 x<0 P |loga1 x| |loga 1 x| log a1 x loga1 x2 log a1 x 0<1 x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结<1 ， loga 1x故|loga 1 x|>|log a1 x|>0. 即 P>0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，当a>0，a 1 时，均有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载|log a1 x|>|log a1 x|.方法二将两数平方去肯定值后作差比较，由于对数函数的底数取值范畴对对数式正负取值有影响，故需分类争论aaP log 21 x log 21 x log a1 x loga1 xlog a1 x log a1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 log a1 x2) log a1 x 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知 0<x<1，得0<1 x2<1,0<1 x<1,1<1 x<2，1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0<1 x<1 x， 0<1 x2<1.1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 当 a>1 时， loga1 x P>0。2 当 0<a<1 时，<0 ， log a1 x<0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log a1 x2>0 ， loga1 x 1 x>0， P>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综合 1、2知，当 a>0， a 1 时总有aalog 21 x>log 21 x故|loga 1 x|>|log a1 x|.方法三将两式用作商法进行比较，依据对数换底公式|log a 1 x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|log a 1 x | |log1 x1 x|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0< x<1， 0<1 x<1,1<1 x<2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0<1 x2<1 ， 1 x<11 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 log 1 x1 x<log 1 x |log1 x1 x|>1，1 x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 |loga 1 x|>|log a1 x|.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题赏析1 2021 ·北京 假如log1x<log 21y<02，那么 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A y<x<1B x<y<1C 1<x<yD 1<y<x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析不等式转化为答案Dlog1x<log 1 ，y221log2y<0. 1<y<x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 2021 ·江西 如 0< a1<a2,0< b1<b2，且a1 a2 b1b21，就以下代数式中值最大的是A a1b1 a2b2B a1 a2b1b2C a1b2 a2b1D.12解析方法一特殊值法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 a11313212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ， a 4 ，b 410 ， b ，44563可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 a1b1 a2b2 16 8， a1a2b1b2 16 8，638a1b2 a2b1 16 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结> 5>81 3， 最大的数应是a 2 81b1 a2b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二作差法 a1 a2 1 b1 b2 且 0<a1<a2,0<b1<b2， a2 1 a1>a1， b2 1b1>b1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0< a11<2， 0<b11< .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a1b1 a2b2 a1b1 1 a11 b1 2a1b1 1 a1 b1， a1a2 b1b2a11 a1 b11 b111 a1 b1 a2 b2，a1b2 a2b1a11 b1 b11 a1 a1 b1 2a1b1， a1 b2 a2b1 a1a2 b1b2 a2 b2 2a1b1112 a1 b1 0， a1b2 a2 b1 a1a2 b1b2 . a1 b1 a2b2 a1b2 a2b1 4a1b1 1 2a1 2b1 1 2a1 2b12a1 1 2a1 12b1 111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4 a1 2b1 2 >0 ， a1b1 a2 b2>a1b2a2b1. a1 b1 a2b2 12a1b1 122a1 b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b 2 a 1 1 1 2a 1 b1 12112a11211 2 a1 2b1 2 >0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 a b a11 12 b2>2.综上可知，最大的数应为a1b1 a2b2.答案A§3.2一元二次不等式及其解法材拓展1 一元一次不等式b通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax>b.如 a>0 ，就其解集为x|x>a .如 a<0 ，就其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解集为b x|x<a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 a 0， b<0，解集为R。 b 0，解集为 . 2 三个 “二次 ” 的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax2 bx c>0 或 ax2 bx c<0 a>0 不妨设方程ax2 bx c 0 的两根为x1、 x2 且 x1<x2.从函数观点来看，一元二次不等式ax2 bx c>0 a>0 的解集， 就是二次函数y ax2 bx c a>0 在 x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合。 ax2 bx c<0 a>0的解集，就是二次函数y ax2 bx c a>0 在 x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值3 简洁的高次不等式的解法 数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法就，例如要解不等式x1 x 2x 3>0.我们可以列表如下：x 的区间x 1x<11< x<22< x<3x>3x 2x 3x 3 x2 ·x 1把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式x1 x2 x 3>0 的解集是 x|1<x<2 或 x>3 一般的，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是： 1 化成形如px x x1 xx2 x xn>0 或 <0的标准形式。(2) 将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线。(3) 奇次根依次穿过，偶次根穿而不过即不要转变符号。(4) 依据曲线显现出的px的符号变化规律，标出px的正值区间和负值区间。(5) 写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内4 分式不等式的解法f x1 g x >0 . fx ·gx>0.f x2 g x <0 . fx ·gx<0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x3 g x 0.f x4 g x 0.f x ·g x 0.g x 0f x ·g x 0.g x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载留意：解不等式时，一般情形下不要在两边约去相同的因式2x 1 2x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例如：解不等式：x 3 >3x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解原不等式 .2x 1x 32x 1>03x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x 1 2x1 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.>0.x33x22 >0x 3x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或. x< 121<x< 22或 x>3.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 原不等式的解集为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ，12 3， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25 恒成立问题 2， 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) fxa， x D 恒成立 . f xmin a， xD 恒成立。f x a， xD 恒成立 . f xmax a， x D 恒成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) ax2 bxc>0 恒成立 .a>0<0a b 0或c>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2 bx c<0 恒成立 .a<0<0a b 0或.c<0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 一元二次方程根的分布我们以 ax2 bx c 0 a>0为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件 .根的分布二次函数的图象充要条件x1<k<x2fk<0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1<x2<kk<x1<x2k1<x1<x2<k2f k >0 b <k 2a>0f k >0 b >k 2a>0f k1 >0f k2 >0k1< b <k22a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1<x1 <k2<x2<k3>0f k1 >0f k2 <0f k3 >0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 36 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载法突破