空间向量及其运算知识总结资料.docx

精品名师归纳总结空间向量及其运算学问总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品文档空间向量及其运算1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2. 空间向量的运算定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算律：加法交换律： abba加法结合律： abcabc 数乘安排律：abab3. 平行六面体：平行四边形 ABCD平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的D'C'A'B'aDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结几何体,叫做平行六面体,并记作： ABCD AB C D它的六AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱4. 平面对量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数,使 b a .要留意其中对向量 a的非零要求 5 共线向量假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量叫做共线向量或平行向量 a 平行于 b 记作 a / b 当我们说向量 a 、 b 共线（或 a / b ）时,表示 a 、b 的有向线段所在的直线可能是同始终线,也可能是平行直线6. 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b 0 ）, a / b 的充要条件是存在实数 ,使 a b .推论：假如 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满意等式OPOAt a 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 .空间直线的向量参数表示式：OPOAt a 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPOAt OBOA 1t OAt OB ,bBpPM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中点公式 OP1 OA2OB aA A'可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结收集于网络,如有侵权请联系治理员删除O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品文档uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 向量与平面平行：已知平面和向量 r ,作 OAr ,假如直线 OA 平行于或在rara内,那么我们说向量 a 平行于平面,记作： a /通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面对量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：空间任意的两向量都是共面的r r8. 共面对量定理：假如两个向量 a, brrr不共线, p 与向量 a,b共面的充要条件是存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr实数 x, y 使 pxayb推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x, y ,使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuur MPxMAyMBuuuruuuuruuuruuur或对空间任一点 O ,有 OPOMxMAyMB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuuruuuur或OPxOAyOBzOM, xyz1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上面式叫做平面 MAB 的向量表达式 r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9 空间向量基本定理：假如三个向量rra, b,c 不共面,那么对空间任一向量rp ,存在一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrr个唯独的有序实数组 x, y, z,使 pxaybzc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r r rrr rrr r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c不共面,我们把 a, b, c叫做空间的一个基底,a, b, c叫做基向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论：设O, A, B,C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实uuuruuuruuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 x, y, z,使 OPxOAyOBzOCr r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a, b,在空间任取一点 O ,作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuurr uuurrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAa, OBb,就 AOB 叫做向量 a 与b 的夹角,记作a, b。且规定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r rr0rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a, brr,明显有a, bb, a。如a, b,就称 a 与b2相互垂直,记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作： ab .uuurruuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 向量的模：设 OAa ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作：.r| a |r rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 向量的数量积：已知向量a,b,就 | a | | b | cosa, b叫做a, b的数量积,记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrrrrrr r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b ,即 a b| a | | b| cosuuurra,br可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知向量 ABa 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A在 l 上的射影可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A ,作点 B 在l 上的射影 B ,就uuuur叫做向量uuur在轴 l 上或在r 上的正射影 .可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuuruuuuruuurA BABer rrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明 A B的长度 | A B | | AB | cosa,e| a e | 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 空间向量数量积的性质：rrrr rrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） a e| a | cosa,e（ 2） aba b0 （ 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 2rr| a |a a 14. 空间向量数量积运算律：zrrrrrrrrrr（1） a ba ba b （ 2） a bba （交换律）rrrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） abca ba c （安排律）空间向量的直角坐标及其运算收集于网络,如有侵权请联系治理员删除ki OjAx,y,zy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 空间直角坐标系：（1） 如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基r r r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结底,用 i,j , k表示。r r r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 i, r r rj , k,以点 O 为原点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别以 i, j, k 的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,点O 叫原点,向量r r ri, j, k 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为xOy 平面,yOz 平面, zOx平面。 2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中,对空间任一点 A ,存在唯独的有序实数组uuurrr x, y, z ,使 OAxiyjzk ,有序实数组 x, y, z 叫作向量 A在空间直角坐标系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Oxyz 中的坐标,记作叫竖坐标常见坐标系A x, y, z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, zzDC''可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正方体：如下列图,正方体ABCDA' B 'C ' D' 的棱长为AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ,一般挑选点 D 为原点, DA 、 DC 、DD ' 所在直线分别为 x''可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D xyz ,就各点坐标为亦可选 A 点为原点 . 在长方体中建立空间直角坐标系与之类似 .正四周体：如下列图,正四周体 A BCD 的棱长为 a ,一般挑选 A 在 BCD 上的射影为原点, OC 、OD （或 OB ）、 OA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O xyz , 就各点坐标为正四棱锥：如下列图,正四棱锥 P ABCD 的棱长为 a ,一般挑选点 P 在平面 ABCD 的射影为原点, OA （或 OC ）、 OB（或OD ）、 OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直DCyABxz ABDOyC z x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角坐标系 Oxyz ,就各点坐标为正三棱柱：如下列图,正三棱柱PABCA' B 'C ' 的底面边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结长为 a ,高为 h ,一般挑选 AC 中点为原点, OC （或 OA）、D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OB 、OE （ E 为O 在A' C ' 上的射影）所在直线分别为 x 轴、 yC x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AO轴、 z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz ,就各点坐标为By3空间向量的直角坐标运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r（1） 如 a rrr a1, a2, a3 , bb1,b2, b3 ,就zA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1rraba1r rb1, a2b1, a2b2,a3b2 , a3b3 , rb3 , a a1,a2,a3 ER ,CBA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ba1b1 rra2b2a3b3 ,O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / ba1b1, a2b2, a3b3R ,CByx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rra ba1b1a2b2a3b30 精品文档uuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 如A x1, y1, z1 , B x2, y2, z2 ,就 AB x2x1, y2y1, z2z1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点的坐标r 4 模长公式：如 ar a1, a2 , a3 , bb1, b2 ,b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结rrr222rrr222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| a |a aa1a2rrrra3, |b | rrb bb1b2b3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 夹角公式：cos a ba b| a | | b |a1b1a2 b2a3b3222222aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 两点间的距离公式：如Ax1, y1, z1123123, B x2 , y2 , z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuur 222 2就| AB|ABx2x1 y2y1z2z1,或d xx 2 yy 2 zz 2A,B212121空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 在空间直角坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系中,由uuurAx1, y1, z1与 B x2, y2 , z2 确定直线 AB 的方向向量是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB x2x1, y2ry1, z2z1 .r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面法向量 假如 a二、证明平行问题,那么向量 a 叫做平面的法向量 .rrrra1a2a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1线线平行：证明两直线平行可用a/ba1rb1, a2b2,a3rb3R 或 a/ brr.b1b2b3rr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2r.线面平行：直线l 的方向向量为 a ,平面的法向量为n ,且 l,如 an 即 a n0 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a/.uruururuururuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.面面平行：平面的法向量为三、证明垂直问题n1 ,平面的法向量为 n2 ,如rrrrn1 / n2即 n1n2 就/.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 线线垂直：证明两直线垂直可用aba ba1b1ra2b2a3b30rrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 线面垂直：直线 l 的方向向量为 a ,平面的法向量为 n ,且 l,如 a / n 即rrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 就 a.uruururuurur uur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 面面垂直：平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n2 ,如 n1n2 即 n1n20 就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、求夹角r1 线 线 夹 角 ： 设 ar rrrr rr a1,a2, a3 bb1,b2,b30 ,90 为 一 面 直 线 所 成 角 , 就 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a b |a| |b| cosrra,b。rrra ba1b1a2b2a3b3r r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosa, br。 cos| cosa, b| .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | |b |a2a 2a 2b2b 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123r2. 线面夹角：如图,已知PA 为平面的一条斜线,n 为平面的一个法向量,过P 作平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的垂线 PO,连结 OA就PAO 为斜线 PA 和平面所成的角,记为易得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin|sin 2uuur uuur OP , AP | cosuuur uuur OP, AP|r uuurP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r uuurr uuur| n PA|n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| cosn, AP| cosn, PA|ruuur.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 面面夹角：设uruurn1 、 n2| n | PA|分别是二面角两个半平面、的法向OA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量,uruur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当法向量ur uurn1 、 n2 同时指向二面角内或二面角外时,二面角的大小为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1, n2。uruur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当法向量ur uurn1 、 n2 一个指向二面角内,另一外指向二面角外时,二面角的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为222五、距离n1, n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 点点距离：设A x1, y1, z1 ,B x2,y2 , z2 , dA, Bx2x1 y2y1 z2z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuur222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| AB |ABAB x2x1 y2y1 z2z1r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 点面距离： A为平面任一点,已知 PA 为平面的一条斜线,n 为平面的一个法向量, 过 P 作平面的垂线 PO,连结 OA就PAO 为斜线 PA 和平面所成的角,记为易得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uuuruuuruuuruuur ruuuruuur ruuurr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| PO | | PA | sin| PA | | cosPA, n| PA| PA n | uuurr| PA | | n | PA n|r.| n|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 线线距离：求异面直线r间的距离可以利用向量的正射影性质直接运算.设两r 条异面直线 a 、 b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在 a 、 b 上任取 A 、 B 两点,就向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a 、 b 的距离 .即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂 线 方 向 向 量 的 数 量 积 的 绝 对 值 与 公 垂 线 的 方 向 向 量 模 的 比 值 . 直 线 a 、 b 的 距 离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uururuurur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|rd | AB n|AB n|r.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| n|n|4. 线面距离：一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离 . 直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5. 面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载