经济数学基础讲义第章多元函数微分学.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第 4 章 多元函数微分学4.2.1二元函数的概念多元函数与一元函数类似，学习时应留意比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元函数是含有一个自变量的函数：yf x 。多元函数是含有多个自变量的函数，例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二元函数：zf x,y ，三元函数：uf x, y, z 等等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 假如圆锥体底半径为r , 高为 h ，就其体积v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它是二元函数 . 其中，r 和 h 是自变量， v 是因变量（函数）. 定义域： Dr , h r0, h0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 黑白电视：在t 时刻屏幕上坐标为 x, y 处的灰度 z 为： zz x,y, t ，它是三元函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 在一个有火炉的房间里，在t 时刻，点x,y, z处的温度 u 是x, y, z, t 的函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uu x,y, z, t ，称为温度分布函数，它是四元函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222例 4 求函数 za 2x2y2 的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： a2x2y 20，定义域为D x, y xya可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5求 zln xy的定义域y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有y0xy0Dx, y y0, xy04.3 4.4 偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二元函数 zf x, y在点 x0 , y0 处关于 x 的偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limx0zf x0x, y0 xf x0 , y0 （留意到：y 取值不变，恒为y0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作：或x x0 , y0 f x x0 , y0 . 类似的，关于y 的偏导数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limy0f x0 , y0yfy x0 , y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如： zx2 sin 3 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yzf x, y y3x2cos3y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zy 1,0f y 1,03x2 cos3 y1,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x求偏导，一个是对y 求偏导 . 对 x 求偏导时，应把 y 看作常数 . 这样 z就变为了一元函数， 于是就可以用一元函数的微分法求导数了. 对 y求偏导也类似 .留意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元函数yf x 在x0 处可导，就在x0 处连续 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结多元函数 zf x, y在 x0 , y0 可导和在 x0 ,y0 连续，二者不能互推.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zf x, y 称dzzxz dx xxzy yz dy y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为函数 zf x,y 在点 x, y 处的全微分 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1:求 zf x, yx 2 sin 3 y 在点1,0 处关于 x 的偏导数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：将 y 看作常数，z2 x sin 3y ， xzx 1,02x sin 3y1, 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2:求 zx 2 yy 在点 1, x1 处的全微分 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z解：x 1, 1 2xyy 2x1, 1211 ，zy 1, 1x 21 2x1, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此， dzdx2dy4.5 复合函数与隐函数微分法复合函数求导法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 zfu, v，而 uu x, y ， vv x,y ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zzuxuxzvz，vxyzuzvuyvy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1:ze xy sin xy .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1：（利用复合求导公式）设uxy ， vxy ，就 zeu sin v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zzuxuxzv eu sin vyvxeucosv 1yexy sin xyexy cosxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zeu sin v ， uxy ， vxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zzuy uyz v eu sin vx vyeucosv 1xe xysin xye xycosxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2：（直接求）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyzesin xye xysin xyyexysin xye xycosxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z同理，yxexysin xye xycosxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2: zf xy, xy ，求z ,z xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: 设 uxy , vzzuxy , 就 zzvf u, v ，zxzuzvuxvxf uyf v1yf uf v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yuyf uxvyf v1xf ufv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结v例 3zf x, xy2 ，求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:设 ux,vxy 2 , 就 zf u, v ，zxzuzvuxvxfu1fy2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fu例 4zyfv2f 3x2 xyfv2 , sin x ，求 dz dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：f 是二元函数：f u, v ，u3x2 , vsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 z是关于u, v 的二元函数，最终是关于x 的一元函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dzz d udxu dxz dv v dxfu6xf vcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5zf x2y3 ，求z ,z xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：f 是一元函数，而z 是关于x, y的二元函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zf u , u23zxy，f xuf2 xy 3 ，zf xyuf3 x2 y2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6方程F x, yx2y2a20 y0 其图形为上半圆周，相应的函数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy xa 2x2dy。明显，dx2 xx2a 2x2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一种观点：x2y 2a20 ， x2y2 xa 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d : 2 x dx2 yy0 ， yxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 设函数 yy x 由方程x ln yyexy20 所确定，求y x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:无法由已知方程解出yx但此y x 应满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x lny xyxe xy x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d : ln yx y dxyy e xyye xy yxy 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此解出y : yy ln yxyy3 exy2xy ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyexy e4.6 二元函数的极值二元函数的极值多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如对 x0 , y0 邻近的x, y 均有f x0 , y0 f x, y ，就称 x0 , y0 是f x, y 的微小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点， f x0 ,y0 是微小值如，就称是的极大点，是极大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结极大值点、微小值点统称为极值点极大值、微小值统称为极值极值存在的必要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如一元函数yf x 在 x0处可导，且x0 是极值点，就f x0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如二元函数zf x, y 在 x0 , y0 处可导，且 x0 , y0 是极值点，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x x0 , y0 0 ， f y x0 , y0 0二元函数最大值、最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 zf x,y 在闭区域D 内连续，就zf x, y在 D 内必有最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 zf x,y 在 D 内可导，且在D 内有唯独驻点x0 , y0 ，就 zf x, y在该驻点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x0 , y0 处的值就是最大值或最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面我们总结一下求最大值最小值应用问题的步骤：（1）依据题意，建立函数关系。（2）求驻点。假如驻点合理且惟一，就该驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点）例 2用铁皮做一个体积为V 的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设长、宽分别为x, y ，就高为V，表面积为xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SxySxy2 x Vxy2Vx22 y Vxy0 ， Syxy2 V2 Vyx2Vx20y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 xy3 2VV，此时高为xy3 2V2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3答：当长、宽、高分别为3 2V 、 3 2V 、2V24.6.3条件极值时，无盖箱子用料最省可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在例 2 中，给定体积V，求用料最省的无盖长方盒，即求S=xy+2xh+2yh 在条件 xyh=V下的最小值 拉格朗日乘数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求函数f x,y, z 在条件 x,y, z0 下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令拉格朗日函数：Ff x, y, z x,y, z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 Ff x, y, z x,y, z 的（无条件）极值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F0,Fxy0,F0,z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F解此方程组用拉格朗日乘数法解例2： x, y, z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求原题即为求Sxy2 xh2 yh 在条件xyhV 下的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 Lxy2 xh2 yh xyhV 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ly2h xLx2h yL2 x2 y hyh0,xh0,xy0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyhV由此可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2h yhx2h xh2 x2 y xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 xy2 h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2h yhx2h xh2 x2 y xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 xy2 h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再由 xyhV ，解得 xy2h3 2V可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载