立体几何知识点总结典型方法总结.docx

精品名师归纳总结数学必修 二学问梳理与解题方法分析第一章空间几何体一、本章总学问结构二、各节内容分析1 、1 空间几何体的结构1、本节学问结构1 、2 空间几何体三视图与直观图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、本节学问结构1 、3 空间几何体的表面积与体积1、本节学问结构。三、高考考点解析本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容:1 、多面体的体积 表面积 问题;2 、点到平面的距离 多面体的一个顶点到多面体一个面的距离问题“等体积代换法” 。一 多面体的体积 表面积 问题1. 在四棱锥 P ABCD 中,底面就是边长为 2 的菱形 ,DAB 60,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO 平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60.1 求四棱锥 PABCD 的体积 ;【解】 1 在四棱锥 P-ABCD中,由 PO 平面 ABCD, 得PBO 就是 PB 与平面 ABCD 所成的角 , PBO=60 °、在 Rt AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 PO BO,于就是 ,PO=BOtan60°=3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而底面菱形的面积为23 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四棱锥 P-ABCD的体积 V=1×23 × 3 =2 、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如图,长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中,E、P 分别就是 BC、 A 1D1 的中点 ,M 、N 分别就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AE 、 CD 1的中点 , AD=AA 1a, AB=2 a, 求三棱锥 P DEN 的体积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】 S NEP11S矩形ECD PBC CD1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2141 aa 24a 25 a 244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作 DQCD1,交 CD1于 Q ,由A1D1面 CDD 1C1 得A1C 1DQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DQ面 BCD1A1CD DD 12a a2在 Rt CDD 1 中, DQaCD15a51152213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VP DENVD ENPS NEPDQ3aaa 。3 456可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 二 点到平面的距离问题“等体积代换法” 。1 如图 ,四周体 ABCD 中,O、E 分别就是 BD 、 BC 的中点 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CACBCDBD2, ABAD2.A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结III 求点 E 到平面 ACD 的距离。【解】 III设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.D OQ VE ACDVA CDE ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACD 1 hgS133gAOgS CDE .BEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在ACD中,CACD2, AD2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1S ACD2222 27 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2221323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 AO1,SCDE2,242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AO.Sh13CDE221 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S ACD772可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 E 到平面 ACD 的距离为21 .7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如图 ,已知正三棱柱ABCA1B1C1 的侧棱长与底面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结边长为1, M 就是底面 BC 边上的中点 , N 就是侧棱 CC1上的点 ,且 CN2C1N 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求点B1到平面 AMN 的距离。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】 过 B1在面 BCC1B1 内作直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B1HMN , H 为垂足。又 AM平面BCC1B1 ,所以 AMB1H 。于就是B1H平面 AMN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 B1H 即为B1到平面 AMN的距离。在R1 B1HM 中, B1H 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B1MsinB1MH5111 。故点B1到平面 AMN 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25为 1 。3如图 ,已知三棱锥 OABC 的侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,且 OA=1,OB=OC=2,E就是 OC 的中点。(1) 求 O 点到面 ABC 的距离 ;【解】1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取 BC 的中点 D,连 AD 、 OD 。Q OBOC ,就 ODBC、ADBC,BC面 OAD 。过 O 点作 OH AD 于 H,就 OH 面 ABC,OH的长就就是所要求的距离。BC22 , ODOC 2CD 22 。Q OAOB, OAOC,OA面 OBC, 就 OAOD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22ADOAOD3 ,在直角三角形 OAD 中,有 OHOA OD26 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD331126可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另解 :由VOABCS ABCOHOA OB OC知: OH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3633其次章点、直线、平面之间的位置关系一、本章的学问结构二、各 节 内 容 分 析2 、1 空间中点、直线、平面之间的位置关系1、本节学问结构2 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结内容归纳总结(1) 四个公理公理 1 :假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。符号语言 : Al , Bl , 且A, Bl。公理 2 :过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。三个推论 : 它给出了确定一个平面的依据。公理 3 :假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线两个平面的交线 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结符号语言 : P,且PIl , Pl 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公理 4 :平行线的传递性 平行与同始终线的两条直线相互平行。符号语言 : a / l ,且b / la / b 。(2) 空间中直线与直线之间的位置关系1 、概念异面直线及夹角 :把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知两条异面直线a, b ,经过空间任意一点O 作直线a / a, b/ b ,我们把 a 与 b 所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成的角 或直角 叫异面直线a, b 所成的夹角 。易知 :夹角范畴 090 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 :空间中假如一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。 留意 :会画两个角互补的图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 、位置关系 :共面直线相交直线：; 平行直线：;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结异面直线：.(3) 空间中直线与平面之间的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 直线在平面内：l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线与平面的位置关系有三种:直线在平面外2. 直线与平面相交：3. 直线与平面平行：l IAl /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 空间中平面与平面之间的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面与平面之间的位置关系有两种:1. 两个平面平行：/2. 两个平面相交：Il可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、2 直线、平面平行的判定及其性质1、本节学问结构2、内容归纳总结(1) 四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行 ,就该直线与此平面平行。a,ba /, 且a / b在已知平面内“找出” 一条直线与已知直线平行 就可以判定直线与平面平 行。即将“空间问题” 转化为“平面问题”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个平面内的两a,b,判定的关键 :在一个已知平面内 “找出” 两条相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面与平面平行的判定条相交直线与另一个平面平行 ,就这两个平面平行。a I bP, a /, b/直线与另一平面平行。 即将“面面平行问题”转化为 “线面平行问题”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一条直线与一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线与平面平行的性质平面平行 ,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。a /, a,Ib a / b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如两个平行平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面与平面平行的性质面同时与第三个平面相交 ,那么它们的交线平行。/,Ia,Iba / b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 定理之间的关系及其转化两平面平行问题常转化为直线与直线平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平 行,所以在解题时应留意“转化思想”的运用。这种转化实质上就就是:将“高维问题”转化为“低维问题” ,将“空间问题”转化为“平面问题”。2 、 3直线、平 面平 垂直的判定及其性质1、本节学问结构2、内容归纳总结一基本概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 、直线与平面垂直 :假如直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 垂直,记作 l。直线 l 叫做平面的垂线,平面 叫做直线 l 的垂面。 直线与平面的公共点 P 叫做垂足。2 、 直线与平面所成的角 :角的取值范畴 : 090 。3 、二面角 :从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法 :二面角的取值范畴 : 0180两个平面垂直 : 直二面角。二四个定理定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线与平面一条直线与一个平面内的两条相交直m、n, m InP,在已知平面内“找出” 两条相交直线与已知直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂直的判定线垂直 ,就该直线与此平面垂直。且am, ana垂直就可以判定直线与平 面垂直。即将“线面垂直” 转化为“线线垂直”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面与平面垂直的判定一个平面过另一平面的垂线 ,就这两个平面垂直。a, a满意条件与垂直的平面有很多个 判定的关键 :在一个已知平面内 “找出” 两条相交直线与另一平面平行。 即将“面面平行问题”转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“线面平行问题”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线与平面垂直的性质同垂直与一个平面的两条直线平行。a,ba / b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面与平面垂直的性质两个平面垂直 ,就一个平面内垂直与交 线的直线与另一个平面垂直。,Il , a,ala解决问题时 ,常添加的帮助线就是在一个平面内作两平面交线的垂线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三定理之间的关系及其转化 :两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直,而直线与平面垂直又可转化为直线与直线垂直,所以在解题时应留意从“高维”到“低维”的转化 ,即“空间问题”到“平面问题”的转化。三、高考考点解析第一部分、三类角 异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角 的求解问题一异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线1. 异面直线所成的夹角就是本部分的重点与难点更就是高考的考点。异面直线所成的角的大小就是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量,把握好概念就是解题的关键 ,其思维方法就是把两条异面直线所成的角通过“平移法” 转化为“平面角” , 然后证明这个角就就是所求的角,再利用三角形解出所求的角简言之 :“转化角” 、“证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明”、“求角” 。以上三个步骤“转化角”就是求解的关键,由于转化的过程往往就就是求解的过程其目的就就是将“空间问题”转化为“平面问题角问题 ”。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 如下列图, AF 、 DE 分别就是e O 、e O1 的直径 , AD 与两圆所在的平面均垂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直, AD8 、 BC 就是e O 的直径 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABAC6 , OE /AD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结II 求直线 BD 与 EF 所成的角。【解】 II 第一步 :将“问题”转化为求“平面角”问题依据定义与题设 ,我们只能从两条异面直线的四个顶点动身作其中一条直线的平行线,此题我们只能从点D 作符合条件的直线。连结 DO, 就ODB 即为所求的角。其次步 :证明 ODB 就就是所求的角在平面 ADEF中 ,DE/AF, 且 DE=AF, 所以四边形ODEF为平行四边形所以DO/EF所以依据定义 ,ODB 就就是所求的角。第三步 :求角由题设可知 :底面 ABCD 为正方形 DA 平面 ABCDBC平面 ABCD DA BC又 AF BC BC平面 ADO DO BC DOB 为直角三角形 在 Rt ODB, BD10DO82可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 cosODB82 或用反三角函数表示为: arccos82 1010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在四棱锥 P ABCD 中,底面就是边长为 2 的菱形 ,DAB 60,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO 平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60.2 如 E 就是 PB 的中点 ,求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小 结果用反三角函数值表示.【解】 2 取 AB 的中点 F,连接 EF、DF、由 E 就是 PB 的中点 ,得 EF PA, FED 就是异面直线 DE 与 PA 所成角 或它的补角 。在 Rt AOB 中 AO=ABcos30°=3 =OP ,于就是 ,在等腰 Rt POA 中,PA=6 ,就 EF=6 、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1EF在正 ABD 与正 PBD 中,DE=DF=3 、cos FED=2DE64=234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2异面直线 DE 与 PA 所成角的大小就是arccos、43. 如图 ,四周体 ABCD 中,O、E 分别就是 BD、ABC 的中点 ,CACBCDBD2, ABAD2.DII 求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小 ;O【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关BEC系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本学问 ,考查空间想象才能、规律思维才能与运算才能。方法一 :II取 AC 的中点 M, 连结 OM 、ME 、OE,由 E为 BC 的中点知 MEAB,OEDC直线 OE 与 EM 所成的锐角就就是异面直线AB 与CD 所成的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121在 OME 中, EMAB,OEDC1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222Q OM 就是直角AOC 斜边 AC 上的中线 ,OM1 AC1,2cosOEM2 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为arccos2 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 如图 ,已知三棱锥 OABC 的侧棱 OA、OB、OC 两两垂直 ,且 OA=1,OB=OC=2,E就是 OC 的中点。2 求异面直线 BE 与 AC 所成的角 ;【解】2 取 OA 的 中 点M,连EM 、BM, 就 EM AC, BEM 就是异面直线BE 与 AC 所成的角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15求得 : EMAC22, BEOB 2OE 25 , BMOM 2OB217 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosBEM222BEMEBM2 BE ME2 , BEM5arccos 2 。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 、 异面直线的公垂线问题异面直线的公垂线问题也就是高考的考点之一。与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线、任何两条确定的异面直线都存在唯独的公垂线段、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 如图 ,在直三棱柱ABCA1B1C1 中, ABBC , D 、 E 分别为BB1 、AC1的中点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(I) 证明 :ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线 ;1C1B1A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】 设 O 为 AC 中点 ,连接 EO,BO,就 EO2C1C,DE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 C1CB1B,所以 EODB,EOBD 为平行四边形 ,EDO B.AB BC,BO AC,BCC1 AB1A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又平面 ABC平面 ACC1 A1,BO面 ABC ,故 BO平面 ACC1A 1 ,DEFED平面 ACC1A1,EDAC 1,EDCC1 ,CB OAED BB1 ,ED 为异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 如图 ,已知平面A1B1C1 平行于三棱锥 VABC 的底面 ABC, 等边 AB1C 所在的平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与底面 ABC 垂直 ,且 ACB=90 °,设 ACV2a, BCa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求证直线B1C1 就是异面直线AB1 与A1C1 的公垂线 ;A 1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解】解法 1 : 证明 : 平面A1B1C1 平面 ABC,B 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B1C1 / BC , A1C 1 / ACAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q BCACB1C1A1C1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又平面AB1C 平面 ABC ,平面AB1C 平面 ABCAC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BC 平面AB1C ,BCAB1B1C1AB1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又Q A1C1B1C1C1 , B1C1AB1B1 、B1C1 为AB1与A1C1 的公垂线、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 二 直线与平面所成夹角1. 如图 ,在四棱锥 PABCD 中,底面为直角梯形 , AD / BC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAD90o,PA底面ABCD,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAADAB2BC , M 、N 分别为 PC 、 PB的中点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求 CD 与平面 ADMN 所成的角。【解】 II 取 AD 的中点 G ,连结 BG 、 NG ,就 BG / CD ,所以 BG 与平面 ADMN 所成的角与 CD 与平面 ADMN 所成的角相等、由于 PB平面 ADMN ,所以BGN 就是 BG 与平面 ADMN 所成的角、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt BNG 中, sinBGNBN10 。BG5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 CD 与平面 ADMN 所成的角就是10arcsin。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别就是 AB 、AC 、BC 边上的点 ,满意 AE:EBAA1CF:FA CP:PB 1:2 如EE图 1 。将AEF 沿 EF 折起FF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到 A1EF的位置 ,使二面BPCBPC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角 A1 EF B 成直二面角 ,图 1图 2连结 A 1B、A 1P如图 2 求直线 A 1 E 与平面 A 1BP 所成角的大小 ;【解】 不妨设正三角形的边长为3, 就(II) 在图 2 中,A 1E 不垂直于 A 1B,A 1E 就是面 A 1BP 的斜线 ,又 A 1E面 BEP,A 1 E BP,BP 垂直于 A 1E 在面 A 1BP 内的射影 三垂线定理的逆定理 设 A 1 E 在面 A1 BP 内的射影为 A 1 Q,且 A 1 Q 交 BP 于 Q,就EA1Q 就就是 A 1 E 与面 A 1BP 所成的角 ,且 BP A1 Q 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在EBP 中 ,BE=BP=2, EBP=60 o ,EBP 为正三角形 ,BE=EP 。又 A 1 E面 BEP,A 1B=A 1P,Q 为 BP 的中点 ,且 EQ=3 ,而 A 1 E=1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt A 1 EQ 中, tanA1EQEQ A1E3 ,即直线 A 1E 与面 A 1 BP 所成角为 60 o。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 三 二面角与二面角的平面角问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 如下列图, AF 、 DE 分别就是e O 、e O1 的直径 , AD 与两圆所在的平面均垂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直, AD8 、 BC 就是e O 的直径 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABAC6 , OE /AD 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(I) 求二面角 BADF 的大小 ;【解】 IAD 与两圆所在的平面均垂直,AD AB,AD AF,故BAF 就是二面角 B AD F 的平面角 ,依题意可知 ,ABFC 就是正方形 ,所以BAF 45 0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即二面角 B AD F 的大小为 45 0 ;2. 如图 ,P 就是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点 , PA的射影为 BF 的中点 O。 求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。【解】 连结 AD, 就易知 AD 与 BF 的交点为 O 。(II) 设 M 为 PB 的中点 ,连结 AM,MD。1 ,P 在平面 ABC 内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q 在 ABP中PAAB,PBAM ,Q 斜线 PB 在平面 ABC 内的射影为 OB, BFAD 。由三垂线定理得PBAD.又Q AMADA,PB平面 AMD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q MD平面 AMD ,PRMD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 ,AMD 为所求二面角的平面角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在正六边形 ABCDEF 中, BDBF12OB3, AD2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtAOP中, PA1,OA,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PO