立体几何与空间向量知识点归纳总结.docx

精品名师归纳总结立体几何与空间向量学问点归纳总结一、立体几何学问点1、柱、锥、台、球的结构特点（ 1）棱柱的定义： 有两个面是对应边平行的全等多边形,其余各面都是四边形, 且相邻四边形的公共边都平行,由这些面围成的几何体叫棱柱。棱柱的性质：侧面都是平行四边形。侧棱都平行,侧棱长都相等。直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。（ 2）棱锥的定义： 有一个面是多边形,其余各面都是三角形, 由这些面围成的几何体叫棱锥。棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相像,其相像比等于顶点到截面的距离与高的比。（ 3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥,截面与底面的部分叫棱台。棱台的性质：上下底面平行且是相像的多边形。侧面是梯形。侧棱交于原棱锥的顶点。（ 4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。圆柱的性质：底面是全等的圆。母线与轴平行。轴与底面圆的半径垂直。侧面绽开图是一个矩形。（ 5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴, 旋转一周所围成的几何体叫圆锥。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆锥的性质： 底面是一个圆。 母线交于圆锥的顶点。 侧面绽开图是一个扇形。（ 6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴, 旋转一周所围成的几何体叫圆台。圆台的性质：上下底面是两个圆。侧面母线交于原圆锥的顶点。侧面绽开图是一个扇环形。（ 7）球体的定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。球的性质：球的截面是圆。球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、柱体、锥体、台体的表面积与体积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。（ 2）特别几何体表面积公式（c 为底面周长, h 为高,'h 为斜高, l 为母线）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S直棱柱侧面积chS圆柱侧2 rhS正棱锥侧面积1 ch'2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S圆锥侧面积Srl1 cc h'S圆 台 侧 面 积 rR) l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正 棱 台 侧 面 积122S圆柱表2 r rlS圆锥表r rlS圆台表r 2rlRlR2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V锥（ 3）柱体、锥体、台体的体积公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V柱ShV圆柱S h2rh1 S h 3V圆锥1r 2h 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1'V SS SS hV1 S'S S'S) h1r2 rRR2h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结'台3圆台33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）球体的表面积和体积公式：V 球 = 433、平面及基本性质R3。 S 球面= 4R 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公理 1Al , Bl , A, Bl可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公理 2如 P, P, 就a 且 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公理 3 不共线三点确定一个平面（推论1 直线和直线外一点 ,2两相交直线 ,3两平行直线）4、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线5、异面直线（ 1）对定义的懂得：不存在平面,使得 a且 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）判定：反证法（否定相交和平行即共面）判定定理：P15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）求异面直线所成的角：平移法即平移一条或两条直线作出夹角,再解三角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形.向量法cos| cosa, b| a b |（留意异面直线所成角的范畴 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| a | b |2（4）证明异面直线垂直,通常采纳三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明。向量法aba b0（ 5）求异面直线间的距离： 大纲仅要求把握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题运算 .6、 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系a, a /, aA2、直线与平面平行的判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）判定定理 :bb / a ab / 线线平行,就线面平行P17 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/（ 2）面面平行的性质：aa /面面平行,就线面平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、直线与平面平行的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a /, aba / b 线面平行,就线线平行P18 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 4、直线与平面垂直的判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）直线与平面垂直的定义的逆用l,la a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lm, ln可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）判定定理：m, nlmnA（线线垂直,就线面垂直P23 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / b（ 3）ab（ P25 练习 第 6 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）面面垂直的性质定理：ala, al（面面垂直,就线面垂直P51 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/（ 5）面面平行是性质：l l5、射影长定理 6、三垂线定理及逆定理线垂影线垂斜7、两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系相交和平行8、两个平面平行的判定a /, b/可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）判定定理：/（线线平行,就面面平行P19 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a, b , abP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l（ 2）/l垂直于同一平面的两个平面平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）/,/平行于同一平面的两个平面平行（ P21 练习 第 2 题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、两个平面平行的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）性质 1：/, aa /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结/（ 2）面面平行的性质定理：a,a / bb（面面平行,就线线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平行 P20 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）性质 2：/,ll10、两个平面垂直的判定与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）判定定理：a, a（线面垂直,就面面垂直P50 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）性质定理：面面垂直的性质定理：laa, al（面面垂直,就线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面垂直P51 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12、 空间角：异面直线所成角（9.1 ）。斜线与平面所成的角0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求作法（即射影转化法） ：找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足.（ 2）向量法：设平面的法向量为 n ,就直线 AB 与平面所成的角为,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin| cosAB, n| AB| ABn | n |0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）两个重要结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最小角定理P48 ： coscos1 cos 2, P26 , 例 4P28 第 6 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13、空间距离：求距离的一般方法和步骤（ 1）找出或作出有关的距离。（ 2）证明它符合定义。（ 3）在平面图形内运算（通常是解三角形） 求点到面的距离常用的两种方法（ 1）等体积法构造恰当的三棱锥。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）向量法求平面的斜线段,在平面的法向量上的射影的长度：| AB n |d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| n |直线到平面的距离,两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解异面直线的距离 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段） 求法：法 1 找出两异面直线的公垂线段并运算,法2 转化为点面距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量法 d| ABn |（ A , B 分别为两异面直线上任意一点,n 为垂直于两异面直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| n |线的向量）留意懂得应用：l 2m2n 2d 22mn cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、空间向量学问点1、空间向量的加法和减法：1 求两个向量差的运算称为向量的减法, 它遵循三角形法就 即：在空间任取一点,作a ,b ,就ab 2 求两个向量和的运算称为向量的加法： 在空间以同一点为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C,就以起点的对角线 C 就是 a 与b 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法就 2、实数 与空间向量 a 的乘积 a 是一个向量,称为向量的数乘运算当0 时, a 与a 方向相同。当0 时, a 与a 方向相反。当0时, a 为零向量,记为 0 a 的长度是 a 的长度的倍3、假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量称为共线向量或平行向量 ,并规定零向量与任何向量都共线4、向量共线充要条件 ：对于空间任意两个向量 a , b b0 , a / b 的充要条件是存在实数,使 ab 5、平行于同一个平面的向量称为 共面对量 6、向量共面定理 ：空间一点 位于平面C 内的充要条件是存在有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结序实数对 x , y , 使xyC 。 或对空 间任 肯定 点, 有xyC 。 或 如 四 点, C共 面 , 就xyzCxy 1 z7、已知两个非零向量 a 和b ,在空间任取一点,作a ,b ,就称为向量 a , b 的夹角,记作 a,b 两个向量夹角的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结围是：a, b0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、对于两个非零向量 a 和b ,如记作 ab 9、已知两个非零向量 a 和b ,就a, ba b cos,就向量 a , b 相互垂直,2a, b 称为 a , b 的数量积,记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作a b 即a ba bcosa,b零向量与任何向量的数量积为 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、 a b 等于 a 的长度 a 与b 在a 的方向上的投影b cosa,b的乘积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、如 a , b 为非零向量, e 为单位向量,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 e aa eacosa, e 。 2aba b0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba与b同向3 aba ba与 b反向, a aa 2 , aa a 。4c o sa b,a b 。a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5a ba b 12、空间向量基本定理 : 如三个向量 a , b , c 不共面,就对空间任一向量 p ,存在实数组 x, y, z ,使得 pxaybzc 13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底14、设 e1 , e2 , e3 为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结们为单位正交基底）,以e1 , e2, e3的公共起点为原点,分别以e1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e2 ,e3 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于空间任意一个向量p ,肯定可以把它平移, 使它的起点与原点重 合 , 得 到 向 量p 存 在 有 序 实 数 组 x, y, z, 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结px1ey2 e3z 把ex , y ,z 称作向量 p 在单位正交基底e1 ,e2,e3 下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的坐标, 记作 px, y, z 此时, 向量 p 的坐标是点 在空间直角坐标系 xyz 中的坐标 x, y, z 15、设 ax1, y1, z1 , bx2 , y2 , z2,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1abx1x2 , y1y2, z1z2 2abx1x2 , y1y2, z1z23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax1,y1,z1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4a bx1x2y1y2z1z2 5如 a、 b为 非 零 向 量 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba b0x1x2y1 y2z1z20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1116如b0,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12a / ba 7aa, a bx2y2z2 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8 cosa, ba ba bx2x1x2 y2y1 y2z2z1z2x2y2z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9x1, y1, z1 ,x2 , y2 , z2,就 dx2 x 1y 2 y 1z 2 z 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定 设这两条相交直线相交于点,它们的方向向量分别为 a ,b 为平面 上任意一点,存在有序实数对 x, y 使得xayb ,这样点 与向量 a ,b 就确定了平面的位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17、直线 l 垂直 ,取直线 l 的方向向量 a,就向量 a 称为平面 的法向量18、如空间不重合两条直线a , b 的方向向量分别为a , b ,就a / ba / babR , ababa b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19ana n0 , aaa / nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20、如空间不重合的两个平面, 的法向量分别为a , b ,就/a /bab ,aba b0 21、设异面直线 a , b 的夹角为 ,方向向量为 a , b ,其夹角为 ,a b就有 coscosa b22、设直线 l 的方向向量为 l ,平面 的法向量为 n , l 与 所成的角ln为 , l 与n 的夹角为 ,就有 sincosln23、设 n1 , n2 是二面角l的两个面 ,的法向量,就向量 n1 ,n2 的夹角（或其补角） 就是二面角的平面角的大小 如二面角l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的平面角为 ,就cosn1 n2n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24、在直线 l 上找一点 ,过定点且垂直于直线 l 的向量为 n ,就定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 到直线 l 的距离为 dncos, nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量的模运算26、点 是平面 外一点, 是平面 内的肯定点, n 为平面 的一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法向量,就点 到平面 的距离为 dncos, nn可编辑资料 - - - 欢迎下载