第一节-任意角和弧度制及任意角的三角函数重点讲义资料.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数三角函数的概念1明白任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化2会判定三角函数值的符号3懂得任意角三角函数正弦、余弦、正切的定义学问点一角的有关概念1从运动的角度看，可分为正角、负角和零角2从终边位置来看，可分为象限角和轴线角3如 与 角的终边相同，就用 表示为 2k k Z 易误提示1 不少同学往往简单把“小于90°的角 ”等同于 “锐角 ”，把 “0°90°的角 ”等同于 “第一象限的角 ”其实锐角的集合是 |0 °<<90° ，第一象限角的集合为 |2k<<2 k， k Z 22 终边相同的角不肯定相等，相等的角终边肯定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等 自测练习 1如 k·360 ° ， m·360 ° k，m Z ，就角 与 的终边的位置关系是 A 重合B 关于原点对称C关于 x 轴对称D 关于 y 轴对称解析： 角 与 终边相同， 与 终边相同又角 与 的终边关于x 轴对称角 与 的终边关于x 轴对称答案： C学问点二弧度的概念与公式在半径为r 的圆中分类定义 公式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1 弧度的角，用符号rad 表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载角 的弧度数公式| l 弧长用 l 表示 r180角度与弧度的换算1°rad。 1 rad°180弧长公式弧长 l | ·r扇形的面积公式S1122lr 2| r·易误提示角度制与弧度制可利用180° rad 进行互化，在同一个式子中，采纳的度量制度必需一样，不行混用. 自测练习 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2弧长为3，圆心角为的扇形半径为 ，面积为 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，由弧长公式l |解析： 弧长 l 3，圆心角 3r·，得 r l314，面积 S lr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结46.答案： 46学问点三任意角的三角函数|324可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角函数正弦余弦正切设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px， y，那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义y 叫作 的正弦， 记作 sinx 叫作 的余弦，y叫作 的正切，x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正记作 cos 正记作 tan 正正负负各象限符号负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载易误提示三角函数的定义中，当Pu， 是单位圆上的点时有sin ， cos u，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan ，但如不是单位圆时，如圆的半径为r，就 sin u 自测练习 r ，cos ur， tan .u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3如 sin <0 且 tan >0，就 是A 第一象限角B 其次象限角C第三象限角D 第四象限角解析： 由 sin <0，得 在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan >0， 在第三象限答案： C4已知角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴如P4，y 是角 终边上一点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，就且 sin 255y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由三角函数的定义，sin y，16 y2<0 ，又 sin 255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y<0 且y 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，16 y25解之得 y 8.答案： 8考点一角的集合表示及象限角的判定|2k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2021 ·东城期末 如角 满意 3 6k Z，就 的终边肯定在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 第一象限或其次象限或第三象限B第一象限或其次象限或第四象限 C第一象限或其次象限或x 轴非正半轴上 D第一象限或其次象限或y 轴非正半轴上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由 2k3 k Z ，6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k 0时， ，终边在第一象限6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k 1 时， 2 365，终边在其次象限6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k 1 时， 2 y 轴的非正半轴上，应选D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： D3 6 2，终边在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知 sin >0，cos <0，就 1所在的象限是2A 第一象限B 第三象限C第一或第三象限D 其次或第四象限解析： 由于 sin >0， cos <0，所以 为其次象限角，即22k<< 2k，k Z ，就 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1k<11为第一象限角。当k 为奇数时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结<2应选 C.2 k，k Z.当 k 为偶数时， 22为第三象限角，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： C3在 720 ° 0°范畴内全部与45°终边相同的角为 解析： 全部与 45°有相同终边的角可表示为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 45° k× 360 °k Z ，就令 720° 45° k× 360°<0°，得 765° k× 360°< 45°，解得 765360k< 45 ，360可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 k 2 或 k 1，代入得 675°或 315°.答案： 675°或 315°解决终边相同的角的集合的两个方法1 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的全部角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角2利用终边相同的角的集合S | 2k ， k Z 判定一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2 范围内的一个角与 2的整数倍的和，然后判定角所在的象限考点二三角函数的定义|已知角 的终边在直线y 3x 上，求 10sin 3的值cos 解设 终边上任一点为Pk， 3k，就 rk2 3k 210|k |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载当 k>0 时， r 10k，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3k3110k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin 10k，10cos k10，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 10sin 3 310310 0。cos 当 k<0 时， r 10k，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3k sin 10k3，10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结110k10，cos k 10sin 3 310 3100.cos 综上， 10sin 3 0.cos 用定义法求三角函数值的两种情形1已知角 终边上一点P 的坐标， 就可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解2已知角的终边所在的直线方程，就可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题1已知 是其次象限角，P x，5为其终边上一点，且cos 2x，就 x 4A.3B ± 3C2D 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 依题意得cos xx2 52x<0，由此解得x3，选 D.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： D考点三扇形的弧长及面积公式|1 已知扇形周长为10，面积是 4，求扇形的圆心角2已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解1 设圆心角是，半径是 r ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2r r 10r 1，r 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 1 2·r2 4. 8舍 ， 1，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.故扇形圆心角为122设圆心角是，半径是 r ，就 2r r 40.S12 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2·rr 40 2r r 20r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 r 102 100 100，当且仅当 r 10 时， Smax 100， 2.所以当 r 10， 2 时，扇形面积最大弧度制应用的两个关注点1nr1弧度制下l | ·r，S lr ，此时 为弧度在角度制下，弧长l，扇形面积S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nr22，此时 n 为角度，它们之间有着必定的联系180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3602在解决弧长、面积及弓形面积时要留意合理应用圆心角所在的三角形2已知扇形的半径是2，面积为 8，就此扇形的圆心角的弧度数是 A 4B 2C8D 1解析： 设半径为r，圆心角的弧度数为，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 S12， 814， 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r2答案： A × ×2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【典例】1 满意 cos9.数形结合思想在三角函数中的应用1的角 的集合为 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在0,1，此时圆上一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OP点 P 的位置在 0,0，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于C2,1时， 的坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载思路点拨 1 利用三角函数线可直观清楚的得出角的范畴2点 P 转动的弧长是此题的关键，可在圆中作三角形查找P 点坐标和三角形边长的关系1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 1作直线 x交单位圆于C， D 两点，连接OC ， OD ， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 OC 与 OD 围成的区域 图中阴影部分即为角 终边的范畴，故满意条件的角的集合为2k243 2k3， k Z.2如下列图 ，过圆心 C 作 x 轴的垂线，垂足为A，过 P 作 x 轴的垂线与过C作 y 轴的垂线交于点B.由于圆心移动的距离为2，所以劣弧PA 2，即圆心角 PCA 2，就 PCB 2 2所以 |PB| sin 2 2 cos 2，|CB| cos 2 2 sin 2，所以 xP 2|CB |2 sin 2， yP 1 |PB| 1 cos 2，OP所以 2 sin 2,1 cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案 1 2k2 2k 34， k Z3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 sin 2,1 cos 2 思想点评 1 利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情形，然后观看适合条件的角的位置。2 解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义查找关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跟踪练习 函数 y lnsin x32 的定义域为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 1 sin x>3，作直线y3交单位圆于A， B 两点，连接OA， OB，就 OA 与22OB 围成的区域图中阴影部分 即为角 的终边的范畴，故满意条件的角 的集合为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2k<x<2k 323 ， kZ.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2答案：2k 3， 2k 3k ZA 组考点才能演练1已知 MP 、OM 、AT 分别为角4<<2 的正弦线、余弦线、正切线，就肯定有A MP <OM <ATB OM <AT<MPCAT<OM <MPD OM <MP <AT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 如下列图， MP 、 OM、 AT 分别为角4<<2的正弦线、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结<<余弦线、正切线，由于 4，所以2OM <MP ，又由图可以看出MP <AT，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故可得 OM <MP <AT，应选 D.答案： D2已知 sin <0，cos <0，就角 的终边所在的象限是 A 第一象限B 其次象限C第三象限D 第四象限解析： 由 sin <0 得角 的终边在第三或第四象限，由cos <0 得角 的终边在其次或第三象限，所以满意sin <0，cos <0 的角 的终边在第三象限，应选C.答案： C3已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为2，就这个圆心角所对的弧长是 A 2B sin 22C.sin 1D 2sin 1解析： 由题设，圆弧的半径r1，sin 1.圆心角所对的弧长l 2r 2sin 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： C4如 x 0,2， 就 sin x>1的必要不充分条件是 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5A. <x<66B. 6<x<可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5C.6<x<2D.3<x< 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，解析： 此题考查三角函数的性质与充分必要条件依题意，由sin x>12x0,2 得知 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6515可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结<x<，可以推得66<x<。反过来，由<x<不能得知sin x>2，如取 6<x 6 <，此时sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.因此， sin x>1，应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2答案： B的必要不充分条件是26<x<7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5点 P 从 1,0动身，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，就点 Q 的坐标为 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1331A. 2， 2B. 2 ， 21331可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. 2，2D. 2 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弧长到达点解析： 设点 A1,0，点 P 从 1,0动身，沿单位圆顺时针方向运动7Q，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 AOQ 722 cos2123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O 为坐标原点 ，所以 xOQ，3333 2， sin 3 ，所以点2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，Q 的坐标为 13 .22答案： A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6假如角的终边经过点3， 1，那么 tan 的值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由定义知tan 答案： 3323.33222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7已知角0 <2的终边过点P sin 3 ， cos 3，就 .>0，解析： 此题考查了三角函数值的概念及同角三角函数的关系问题由已知条件sin23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22cos 3311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos 3 <0 可得角 的终边在第四象限，又由tan 2 3 0<2可得 6 .sin 3答案： 11682021 ·成都一诊 在直角坐标系xOy 中，已知任意角以坐标原点O 为顶点，以x 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的非负半轴为始边，如其终边经过点Px0 ，y0，且 |OP| rr>0 ，定义： sicos “sicos ”为“ 的正余弦函数”，如sicos 0，就 sin 23 .y0 x0，称r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由于 sicos 0，所以 y0 x0，所以 的终边在直线yx 上，所以当2k ，4 1k Z 时， sin 2 sin 4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32 3cos 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，当 2k 5432k Z 时， sin 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin 4k2 3 cos 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上得 sin 213. 2答案： 129已知扇形OAB 的圆心角为 120 °，半径长为6， 1求 AB 的长。2求 AB 所在弓形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，解： 1 120°2r 6，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结× AB 的长 l 23136 4.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 S 扇形 OAB 2lr 2× 4× 6 12，21 22 123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S ABO 2r· sin 3 × 6 ×2 93，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S 弓形 S 扇形 OAB S ABO 12 93.10已知角的终边上有一点P x， 1 x0，且 tan x，求 sin cos 的值解： 的终边过点 x， 1x 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 tan 1，x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 tan x， x2 1， x ±1.当 x 1 时， sin 2，cos 2，22因此 sin cos 0。，当 x 1 时， sin 2， cos 222因此 sin cos 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载综上 sin cos 0 或2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 2021B 组高考题型专练高·考课标全国卷已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结边在直线y2x 上，就 cos 2 43A 5B 534C.5D.5解析： 角 的终边在直线y 2x 上， tan 2.cos222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 cos 2 sin 1 tan 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos2 sin221 tan 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案