线性代数知识点归纳同济-第五版.docx
精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）绽开法就3. 行列式的性质及行列式的运算行列式的定义1. 行列式的运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 定义法 Da11 a21a12La22La1n a2n1 j1 j 2Lj n aaLa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nMMMj1 j 2L jn1 j12 j2njn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an2Lann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 （降阶法） 行列式按行（列）绽开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论 ：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ai1 Aj 1ai 2 Aj 2Lain A jnA , ij,0,ij.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点 化为三角型行列式 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b11*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A0b22*b bLb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M0O*0L0bnn11 22nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点AOAAOOB = OBB都是方阵（不必同阶）, 就OA=A1mnA B 如 A与B2-100BOBO-1300001100-25-1003002-111A B例 运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2-1解=001100-25-13-255735可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 nOa1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 关于副对角线：a2n 1a2 n 11n n 12aaK a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1NNOan1O1 n2nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11L1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x12 范德蒙德行列式：xx2Lxn22xLxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nij1 j i n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMMnnn111xxLx12n例 运算行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab 型公式：a b b L b a b L b b a Lb bb an 1n1b ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMMOMbbbLa 升阶法 在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 递推公式法 对 n 阶行列式Dn 找出Dn 与Dn 1 或 Dn 1 , D n2 之间的一种关系称为递推公式，其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Dn ,D n 1 ,Dn 2 等结构相同，再由递推公式求出Dn 的方法称为递推公式法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拆分法 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点 数学归纳法 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 对于 n 阶行列式A ，恒有：EAnkn 1 Skk 1n k ，其中Sk 为 k 阶主子式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 证明 A0 的方法：、AA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、反证法。、构造齐次方程组、利用秩，证明Ax r A0 ，证明其有非零解。 n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、证明0 是其特点值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 代数余子式和余子式的关系：M 1ij AA 1ij M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ijijijij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点其次部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 矩阵的定义由 mn 个数排成的m 行 n 列的表 Aa11 a21a12La22La1n a2n称为 mn 矩阵 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作：Aaij或m nAm nam1am2Lamn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等 :两个矩阵同型，且对应元素相等. 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. 数与矩阵相乘：数与矩阵 A 的乘积记作A或 A，规定为Aaij .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c. 矩阵与矩阵相乘：设A aij m s ,Bbij s n , 就 CABcij m n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中cijai1, ai 2 ,L, ais b1 jb2 jMbsjai1b1 jai 2b2 jLais bsj可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： 矩阵乘法不满意：交换律、消去律,即公式ABBA不成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB0A0或B=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a. 分块对角阵相乘：AA11B11, BA11B11ABnnAn, A11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AA22B22A22B2222b. 用对角矩阵左 乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行 向量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a10LB0a2L0b110b21b12Lb22Lb1n b2 na1b11 a2b21a1b12La2b22La1b1n a2b2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMOMMMOMMMOM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00Lambm1bm2Lbmnambm1ambm2Lambmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点c. 用对角矩阵右 乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列 向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b11 b21Bb12Lb22Lb1n b2na10L00a2L0a1b11 a1b21a2 b12La2 b22Lamb1n amb2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMOMMMOMMMOM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bm1bm 2Lbmn00Lama1bm1a2bm2Lambmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 方阵的幂的性质：Am AnAm n ， Am nmn A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作AT .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a. 对称矩阵和反对称矩阵:A 是对称矩阵AAT .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 是反对称矩阵AAT .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TABb. 分块矩阵的转置矩阵：ATC T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CDBTD T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TAAij相伴矩阵：*A11 A12A21LA22LAn1 An2， Aij 为 A 中各个元素的代数余子式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AA*A* AA E ,A*A1nnAA2 nL1,A 1Ann1A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*ABA*mnA1A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分块对角阵的相伴矩阵：BAB*B1mn B A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵转置的性质：T TTTTATA1 TT1TT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AA AB矩阵可逆的性质：11BA111A 1 AA 11 A kk1 A A k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相伴矩阵的性质： A A A ABBAn 2AA ABB A An 1AA A A AA1 A 1A Ak A k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n如r Anr A 1如r An1ABA BkAkAAAAAA E （无条件恒成立）0如r An12. 逆矩阵的求法方阵 A 可逆A0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 相伴矩阵法1A 1A注 ：abAcd1db adbcca主L换位副L变号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 初等变换法 AME 初等行变换 E MA 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122例求212221的逆矩阵 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122100010001r3 2 r2122100r3r21021203321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212r2 r10362100120330092211r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2210330113 2r1 2r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1r39r22r3r12r3122100010001999212999,1122999212999122所以212221221999999221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11AA 分块矩阵的逆矩阵：BB 111ABBA 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11ACAA 1CB 111AOAO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11OBOBCBBCAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11a1a1,a21a2a31a311a1a31a2a2a31a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义ABBAEA 1B ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例设方阵 A 满意矩阵方程A2A2E0 , 证明 A 及 A2E 都可逆 , 并求A 1 及A12E.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 由 A2A2E0 得 1 A2EAE , 故 A 可逆 , 且 A 11 AE .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 A2A2E0 也可得 A2E A3E4E 或 A2E1 A43EE , 故 A2E 可逆 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1A2E1 A43E .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0 。每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0 时， 称为 行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r ir j cicj E i, j1kE i , j E i , jEi, j1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r ik cik E i k Ei k 1Ei 1 E i kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r ir jk cicjk E i , j k Ei ,j k 1Ei , j k E i,j k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对 A 施行一次初等行 变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵左 乘 A 。对 A 施行一次初等列 变换得到的矩阵, 等于用相应的初等矩阵右 乘 A .留意：初等矩阵是行变换仍是列变换，由其位置打算：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5. 矩阵的秩关于 A 矩阵秩的描述：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、 r A 、 r A 、 r A r ， A 中有 r 阶子式不为0， r r ， A 的 r 阶子式全部为0。 r ， A 中存在 r 阶子式不为0。1 阶子式存在的话 全部为 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.矩阵的秩的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AOr A 1;AOr A0 ; 0 r Am n min m, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r Ar AT r AT A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r kAr A其中 k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如Am n , Bn s ,如r AB0r Ar Bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B的列向量全部是 Ax0的解r AB minr A, r B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 P 、 Q 可逆，就r Ar PAr AQr PAQ 。即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 r Am n nAx只有零解r ABr B。ABOBO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A在矩阵乘法中有左消去律ABACBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r ABr B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 r Bn s nB在矩阵乘法中有右消去律 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ErOErO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如r ArA与唯独的等价，称为矩阵 A的等价标准型 .OOOO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r AB r Ar B ,maxr A, r B r A, B r Ar B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AOOArr AOBBOr B ,ACrr AOBr B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 33 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 矩阵方程的解法A0 ： 设法化成
