线性代数知识点集锦.docx
精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点课时授课计划课次序号：8一、课题：矩阵的初等变换与初等矩阵二、课型：课堂讲授三、目的要求：娴熟把握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形。知道矩阵等价的概念。知道初等矩阵，明白初等矩阵与初等变换的联系。把握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法。四、重点、难点：矩阵初等变换的方法。用初等变换求逆矩阵的方法。五、教学方法及手段：采纳课堂讲授的方法，并以多媒体课件帮助。 六、参考资料：线性代数学习辅导与习题选解，同济高校应用数学系编，高等训练出版社线性代数学习与考试指导，赵树源编，中国人民高校出版社工程数学例题与习题，工程数学课程教学指导委员会本科组编，高等训练出版社七、作业： P79113,4八、授课记录：授课日期班次九、授课成效分析：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点十、教学进程（教学内容、教学环节准时间安排等）1、复习回忆高中阶段用消元法解线性方程组所用到的几种运算。2、导入课题矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在解线性方程组， 求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到重要的作用。为引进矩阵的初等变换，先来回忆一下以前所接触的用消元法解线性方程组。在用消元法解线性方程组的时候，用到三种变换，即：交换方程的次序。以不等于零 的数乘某个方程。一个方程加上另一个方程的k 倍。由于这三种变换都是可逆的，所以变换前后的方程组是同解的。在上述变换过程中， 实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并没有参加运算。因此把线性方程组的系数和常数放在一个数表里，构成方程组的增广矩阵，即BA,b ，那么上述对方程组的变换完全可以转化为对增广矩阵的变换。把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换。3 、教学内容定义 1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）对调两行（对调i , j 两行，记作 rir j ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）以数 k0 乘某一行中的全部元素（第i 行乘 k ，记作 rik ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）把某一行中全部元素的k 倍加到另一行对应的元素上去（第j 行的倍加到第 i 行上，记作 rikrj ）把定义中的行换成列， 即得矩阵初等列变换的定义。初等行变换与初等列变换统称初等变换。明显，三种初等变换都是可逆的，而且其逆变换是同一类型的初等变换。假如矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，就称矩阵 A 和 B 是等价的， 记作 AB 。矩阵之间的等价关系具有以下性质：（ 1）反身性AA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）对称性如（ 3）传递性如AB, 就 BA 。AB, BC , 就 AC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义：矩阵 A 称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0。 每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。行阶梯形矩阵B 称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。对行最简形矩阵再可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结进行初等列变换，可变成一种外形更简洁的矩阵，称为标准型ErOF。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1：设 A021302, 把 A, E230化成行最简形。OOm n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点021100解： A, E30201023000130201030201002110002110009402300194630018912100634020846010423001946001946上式最终一个矩阵即为矩阵A,E 的行最简形。矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，它有着广泛的应用。 下面我们进一步介绍一些有关学问。定义 2由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵。1. 对调两行或对调两列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把单位矩阵中第i , j 两行（列）对调，得初等矩阵1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1011E i, j 1101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用 m 阶初等矩阵Emi ,j 左乘矩阵 A1aij m n , 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a12a1naj 1a j 2a jnai 1ai 2ainam1am 2amnEmi , j A其结果相当于对矩阵A 施行第一种初等行变换：把A 的第 i 行与第 j 行对调。类似的，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 n 阶初等矩阵En i , j 右乘矩阵 A ，其结果相当于对矩阵A 施行第一种初等列变换。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 以数 k0 乘某行或某列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以数 k0 乘单位阵的第 i 行（或第列）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E i k 1k第 i 行1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1可以验知： 以 Em i k 左乘矩阵 A ，其结果相当于以数 k 乘 A 的第 i 行。以 En i k阵 A ，其结果相当于以数k 乘 A 的第 j 列。3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上，得初等矩阵1右乘矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1kE ij k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以验知：以1Em ij k 左乘矩阵 A ，其结果相当于把A 的第 j 行乘 k 加到第 i 行上，以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结En ij k 右乘矩阵 A ，其结果相当于把A 的第 i 列乘加到第 j 列上。综上所述，可得下述定理。定理 1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵。对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵。由于初等变换是可逆的，所以其对应的初等矩阵也是可逆的，并且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结E i, j 1Ei ,j , Ei k 1Ei 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kE ij k 1E ij k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 2方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵（证明略）推论 1方阵 A 可逆的充要条件是AE 。P1, P2 , Pl ，使AP1P2Pl .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论2mn 矩阵 A 与 B 等价的充要条件是存在m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵Q ，使 PAQB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设有 n 阶矩阵 A 及 ns矩阵 B ，求矩阵 X 使 AXB 。假如 A 可逆，就XA 1 B 。而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111当 A 可逆时， 依据定理 2，有初等矩阵P , P , P ，使APPP ，从而 APP。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是P1lP11PlP112l1 AE ,11BAB1 2ll1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1上式说明 A 经一系列初等行变换化为E ， B 经同一系列初等行变换化成AB ，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P1lP11 A, B E, A1B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点220例 2：求解矩阵方程 AXAX , 其中A213010解：把所给方程变形为 AE XA120220120220011010011010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可见 AEE, 因此 AE 可逆，且010203120220043233001213 AE , A203213011010100226001213226可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X AE 1 A203.213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、课堂总结矩阵的初等变换与初等矩阵是线性代数里最基本的运算，在后面几章中都需要用到这种运算。5、布置作业P 79113,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
