高二数学等比数列知识点总结与经典习题3.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -等比数列一学问点梳理：1、等比数列的概念、有关公式和性质:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）定义： an 为等比数列an 1anq常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 通项公式 :ana q n 1a q n k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1kna1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 求和公式 :snna1 1qa1a n qq1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 中项公式 :G 2ab 推广： anan man m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 性质：a、如 m+n=p+q 就am anap aq ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b、如 kn 成等差数列（其中 knN ），就 ak 成等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nc、 sn , s2nsn , s3ns2n成等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d、 q n 1an，qn ma1anmnam可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 判定和证明数列是等比数列常有三种方法：1定义法 :对于 n2 的任意自然数 ,验证2通项公式法。anan 1为同一常数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n13中项公式法 :验证 a2anan2 , nN 都成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 如a n 为等差数列，就 aa n 为等比数列（ a>0 且 a 1）。如a n 为正数等比数列，就 log aan 为等差数列（ a>0 且 a1）。二.典型例题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 1】如数列 a n 中， a13,且an 1a 2 （ n 是正整数），就数列的通项a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn练习 :1.如干个能唯独确定一个数列的量称为该数列的“基本量 ”设. an 是公比为 q 的无穷等比数列,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下 an 的四组量中 ,肯定能成为该数列“基本量 ”的是第组.写出全部符合要求的组号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 S1 与 S2; a2 与 S3; a1 与 an; q 与 an.其中 n 为大于 1 的整数 , Sn 为 an 的前 n 项和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如等比数列的首项为98，末项为1，公比为32，就这个数列的项数为3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 3B4C5D 63已知等比数列 an 满意 a1a2 3，a2 a3 6，就 a7 A 64B81C128D 2434 等比数列 an 中，如 a1 1， a4 8，就 a5 A 16B16 或 16C32D 32 或 325已知 an 是公比为 qq 1的等比数列， an>0， ma5a6， ka4 a7，就 m 与 k 的大小关系是 A m>kB m kCm<kD m 与 k 的大小随 q 的值而变化56 已知等比数列 an 的公比为正数，且a3·a9 2a2， a21，就 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.12B. 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. 2D 27假如 1， a，b，c， 9 成等比数列，那么 A b 3， ac 9Bb 3， ac 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -n222Cb 3， ac 9D b ±3， ac 9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 数列 a n的前 n 项和 Sn21, 就a1a2an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 已知 a + b + c , b + ca , c + a b , a + b c 成等比数列 , 公比为 q , 求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3(1) q2a+ q + q = 1 ; 2q =.c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】已知数列 a , a1, a3an2 , 写出数列 a 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n1nn 1n1a3 a4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习： 1、各项都是正数的等比数列 an 的公比 q 1，且 a2， a3，a1 成等差数列， 就的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15A. 2B.51C.2D.512512或2512a4 a5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、如 a，b，c 成等比数列，就关于x 的方程 ax2bxc0A 必有两个不等实根B必有两个相等实根 C必无实根D以上三种情形均有可能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 设数列 an 的各项为正数，如对任意的正整数n, an 与 2 的等差中项等于其前n 项和sn 与 2 的等比中项，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 an的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 3】错位相减 求和： 1 Sn13x5x 27x32n1x n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -练习： 1. 在等比数列 bn 中， S4=4，S8=20 ，那么 S12=2在等比数列 an 中， a1a2 1，a3a4 9，那么a4a5A 27C81B27 或 27D 81 或 813 设 an 是由正数组成的等比数列，公比q 2 ，且a1·a2·a3· ·a30 230 ，那么a3·a6·a9· ·a30 等于A 210B220C216D 2154 假如数列 an 是等比数列，那么 A 数列 a2 是等比数列B数列 2 a 是等比数列nnC数列 lg an 是等比数列D数列 nan 是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 在等比数列 a 中， aa 6， a a 5.就a18等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n572323A 或32102B.32a103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C.D.或2326如互不相等的实数a、b、c 成等差数列， c、a、b 成等比数列，且a 3b c10，就 a A 4B2C 2D 47一个等比数列前三项的积为2，最终三项的积为4，且全部项的积为64，就该数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -有A 13 项B12 项C11 项D 10 项8等比数列 an 中， a1<0 ， an 是递增数列，就满意条件的公比q的取值范畴是 a1a3 a9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9已知等差数列 an 的公差d 0，且a1， a3，a9 成等比数列，就a a a的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2410 10在 3 和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列， 如中间项减去 6 就成等比数列，就此未知数是 11有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是8，后三个数依次成等差数列，它们的积为 80，求出这四个数才能拓展提升一、挑选题12已知 2a 3,2b 6,2c 12，就 a，b，c A 成等差数列不成等比数列B成等比数列不成等差数列 C成等差数列又成等比数列 D既不成等差数列又不成等比数列13在数列 an 中， a1 2，当 n 为奇数时， an 1an2。当 n 为偶数时， an 12an1，就 a12 等于A 32B34C66D 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -14已知公差不为零的等差数列的第k、n、p 项构成等比数列的连续三项，就等比数列的公比为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结np A.knnk C.npB.p np kk p D.n p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15如方程 x2 5x m0 与 x210x n0 的四个根适当排列后，恰好组成一个n 的值是首项为 1 的等比数列，就 mA 4B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1C.2二、填空题D.14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16a、b、c 成等比数列，公比 q 3，又 a，b8，c 成等差数列，就三数为 17现有 10 个数，它们能构成一个以1 为首项， 3 为公比的等比数列，如从这10 个数中随机抽取一个数，就它小于8 的概率是 三、解答题18某工厂三年的生产方案中， 从其次年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为 300 万元假如第一年、其次年、第三年分别比原方案产值多10 万元、10 万元、 11 万元，那么每一年比上一年的产值的增长率都相同，求原方案中每年的产值19.2021 2021·山东临清试验高中高二期中已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，点n，Sn在函数 fx2x 1 的图象上，数列 bn 满意 bn log2an 12nN * 1求数列 an 的通项公式。2设数列 bn 的前 n 项和为 Tn，当 Tn 最小时，求 n 的值。3求不等式 Tn<bn 的解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -参考答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 1、9n-1练习 1、1、42、B 解析92 n112 n 1 8 2 3n 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8·3 3，3273可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、A 解析 an 是等比数列， a1 a23，a2a3 6，设等比数列的公比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -为 q，就 a2a3a1a2q3q 6，q2.a1a2a1 a1q 3a13，a11，a7a1q62664.4、A解析a4 a1q3 q3 8，q2，a5 a4q16.5、C解析 m k a5a6a4 a7 a5a4a7 a6 a4q 1 a6q 1 q1a4 a6 q 1 ·a4·1 q2 a41q1q2<0an>0， q16、B 解析设公比为 q，由已知得 a1q2·a1q82a1q42，即 q22，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于等比数列 aa2 的公比为正数，所以q2，故 a12，应选 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1 q 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 、B解析 由条件知a2 b b2ac 9 c2 9ba2 0，a0，a2>0，b<0，b 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn-1nn-1nn-1n-12 是以 a 2n8 、a =S -S=2-1-2-1=2-2=2，a n1 =1 为首项， 4 为公比的等比数列。S=4 -1/39 、（1 ）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c组成公比为q 的等比数列， 所以 q3 =a+b-c/a+b+c，q2 =c+a-b/a+b+c q=b+c-a/a+b+c， q 3+q 2+q=a+b-c/a+b+c+c+a-b/a+b+c+b+c-a/a+b+c=a+b+c/a+b+c=1（ 2 ）由于 a+b+c ，b+c-a ，c+a-b ，a+b-c 成等比数列， 公比为 q 所以 c+a-b/b+c-a=q, a+b-c/c+a-b=q q=c+a-b+ a+b-c/b+c-a +c+a-b=2a/2c=a/c.例题 2、解 an-a n-1 =3 n-1将 n=2,3,4,5 代入得： a. -a . =3 1a. -a . =3 2a. -a . =3 3.an-a n-1 =3 n-1将上面的式子相加得：an-a 1 = 3 1+3 2+3 3+.+3 n-1a n = 1 +31+3 2+3 3+.+3 n-1 =1/23 .-11练习 1、C 解析a2，2a3，a1 成等差数列， a3 a2a1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - an 是公比为 q 的等比数列， a1q2a1qa1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结251a3a4a3 a415 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q q10，q>0，q2. .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a4a5）2、C 解析a，b，c 成等比数列，b2ac>0.又b24ac 3ac<0，方程无实数根a3a4 qq2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结）3、（a n+2 ）/2= 2S n S n=（ an+22 /8S n+1 =（ a n+1 +22 /8a n+1 =S n+1 -S n=a n+1 2/8+a n+1 /2-a n 2/8-a n/2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na n+1 2 /8-a n+1 /2-a2/8-a n/2=0an+1 2 -4a n+1 -a n2-4a n =0a n+1 =a n +4a n=-2+4n例题3、 xS n=x+3x 2 +5x 3+7x 4 +.+2n-3xn-1 +2n-1xn 由于Sn =1+3x+5x2+7x 3 +9x 4+.+2n-1xn-1 -得 ,1-xS n=1+2x+x2+x 3 +x 4+.+x n-1 -2n-1xnnn1-xS n =1+2x-x/1-x-2n-1x1-xS n =1+2x-2xn /1-x-2nxn+x n1-xS n =1+2x/1-x-2xn /1-x-2nxn+x n1-xS n =1+2x/1-x+1-2n-2/1-xxnSn =1+2x/1-x+1-2n-2/1-xxn /1-x练习1、在等比数列中，依次每k 项之和仍成等比数列。S 12-S 8 /S 8-S 4 =S 8-S 4/S 4S 12-S 8 =S 8 -S 4 2/S 4 =20-4 2 /4=64 S 12=64+20=84可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 、B 解析q2a3a4 9，q ±3，因此 a4 a5 a3a4q27 或 27 a2a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、B 解析设 Aa1 a4a7a28，Ba2a5a8a29，Ca3a6 a9a30，就 A、B、C 成等比数列，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公比为 q10210A·B·C 230B210CB210220.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，由条件得，2bn 12an1，·an 1 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、A 解析设 bnan，就bn 2 anan q ， bn 成等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2an12an 2an1an常数。当 an<0 时 lgan 无意义。设 cn nan，就cn1cn n1 an1nann1 qn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、D 解析a2a10a5a76.由a2a10 6，得a2a105a2 2或a103a23.a10 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a18a1032 或 .应选 D.a10a223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、D解析2b a c2消去 a 得： 4b25bcc20，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a bcbc，c 4b，a 2b，代入 a3b c10 中得 b2，a 4.7、 B 解析设前三项分别为a1， a1q， a1q2，后三项分别为 a1qn3，a1qn2，a1qn1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以前三项之积a3 333n66 3n12 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q 2，后三项之积 a1q4.两式相乘得， a1q 8，即 a1q2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a ·aq·aq2· ·aqn1 ann n1 64，即a2qn 1n 642，即 2n 642.所以 n 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11111qa2 >a121a1q>a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、0<q<1解析 a3>a2a1 qa20 q 1.q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结139、解析 a， a ，a成等比 a2aa ，即 a2d 2a a 8d，d a，aa n 1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1613931 91111n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 a3a9nd，13 d13.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 a4 a1016 d16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、3 或 27 解析 设此三数为 3、a、b，就2a 3 b，解得a 6 2 3ba 3或b 3a 15，b 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个未知数为 3 或 27.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b11、由题意设此四个数为，qb，bq， a，就有b3 8， 2bqa b， ab2q 80，a10， 解得b 2，q 2a 8，或b 2，5q2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4所以这四个数为1， 2,4,10 或 5， 2， 5， 8.12、A 解析 解法 1：alog23， b log 26 log 2 31， c log2 12log 2 3 2.ba c b.13、C 解析 依题意， a1， a3， a5， a7， a9， a11 构成以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，故a11 a1× 25 64，a12a112 66.应选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anapap ana1 p1 d a1 n1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a14、A 解析 设等差数列首项为a1，公差为 d，就 qkanan ak a1 n 1 d a1 k 1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pnn kn p.应选 A.k n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15、D解析 由题意可知1 是方程之一根，如1 是方程 x2 5x m 0 的根就 m 4，另一根为4，设 x3， x4 是方程 x2 10x n 0 的根，就 x3x410，这四个数的排列次序只能为1、x3、4、x4，公比为 2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2、xm18、n 161 是方程 x2 10xn 0 的根，另一根为9，就 n 9，设 x2 5x m0 之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结434、 n 。如两根为 x1、x2 就 x1 x2 5，无论什么次序均不合题意16、4,12,36 解析 a、b、c 成等比数列，