高一物理竞赛讲义第讲教师版 2.docx

精品名师归纳总结第 5 讲 运动学综合温馨寄语截止到目前，我们已经把运动学的主要框架学问都学习完了，但是从学完学问到敏捷运用，仍有很远的一段路程。大家应当重点从公式和物理量的推导，方法，模型的总结几个方面去反复复习。学问点睛运动学思想方法总结：1. 坐标系方法：坐标系是定量争论世界的一个特别重要的工具，利用坐标系可以很简单的定义物理量比方，位置，位移，轨迹，速度，加速度等等，分析物理量之间的关系最大，最小，曲率半径等等 坐标系方法除了我们学习过的正交分解和斜分解，仍有以后会学习到的极坐标等等要留意依据不同的例题采纳不同的方法例题精讲【例 1】 如以下图 a ，冰球沿与冰山底边成60 的方向滚上山，上山初速度v010m/s ，它在冰山上痕迹已部分消逝，尚存痕迹如以下图b ，求冰山与水平面的夹角冰球在冰山上加速度为 gsin ，方向沿着斜面对下，其中g 为重力加速度，近似取10m/s2。【解析】 冰球在与冰山底边平行方向做匀速直线运动，x v0 cost冰球在与冰山底边垂直方向做匀加速直线运动2y 1 g sint22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 得 yg sin2x0v 2 cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入数据得arcsin 1230 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 2】 如以下图，已知在倾角为的斜面上，以初速度v0 及与斜面成角的方向发射一小球，斜面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与小球发生完全弹性碰撞，即小球的速度会被“镜面反射 ” 问： 小球恰能到原始动身点，问总时间t总 为多少？高一·物理·竞赛班·第5 讲·老师版叙述高端的真正的物理学0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 为了实现这个过程，必需满意什么条件？【解析】 小球假设能回到动身点要求整个过程可逆，即在最右端可能有 两种情形 为最终一次与斜面碰撞角度为90 即在碰后小球进入竖直直线运动 无论哪种情形，时间都满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 t总2v0 cos g sinn 2v0 sing cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 只看垂直斜面速度 t总， n1，2 ，3 ，4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n122n2v0 sin gcos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有cos22n1时都可以满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2【例 3】 摆线一轮胎在水平的面上沿着始终线无滑动的滚动。这种情形下，轮胎边缘一点相对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于轮胎中心的线速度等于轮胎中心对的的速率，轮胎中心以恒定的速率v0 向前移动，轮胎可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的半径为 R ，在 t0 时，轮胎边缘上的一点A 正好和的面上的 O 点接触， 试以 O 为坐标原点，在如图的直角坐标系中写出轮胎上A 点的位矢、速度、加速度和时间的函数关系。并写出 A 的轨迹方程可以用参数方程描述，也就是说，可以引入一个新的自变量，x 和 y 都随着这个自变量的变化而变化。最常见的参数方程，就是以时间t 为参数的。yvO '0AAx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 xv0tRsin v0 t R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yRR cosv0t R【选讲内容】白努力家族大斗法：白努力家族 Bernoulli家族总共出过八个宏大的数学、物理、天文等等大师，仍有许多画家、艺术家白努力兄弟想比较一下谁更聪慧。于是就相约解决最速降线问题。在当时比较牛逼的杂志上公开征集答案，他们各自提出了证明， 杂志的主编， 莱布尼茨也提出了证明， 仍有一个生疏人发来了一个有英国邮戳的证明确定是牛顿最终全部的证明中， Johann 的证明是最简洁明白了。如下：高一·物理·竞赛班·第5 讲·老师版叙述高端的真正的物理学1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Johann Bernoulli's solution约翰白努力的证明According toFermat s principle: The actual path between two points taken by a beam of light is the one which is traversed in the least time.Johann Bernoulliused this principle to derive the brachistochrone curve by considering the trajectory of a beam of light in a medium where the speed of light increases following aconstant vertical acceleration that of gravityg. 2The conservation lawcan be used to express the speed of a body in a constant gravitational field as:,where y represents the vertical distance the body has fallen. By conservation of energy the speed of motion of the body along an arbitrary curve does not depend on the horizontal displacement.Johann Bernoullinoted that thelaw of refractiongives a constant of the motion for a beam of light in a medium of variable density:,where vm is the constant andrepresents the angle of the trajectory with respect to the vertical. The equations above allow us to draw two conclusions:1. At the onset, when the particle speed is nil, the angle must be nil. Hence, the brachistochrone curve istangent to the vertical at the origin.2. The speed reaches a maximum value when the trajectory becomes horizontal and the angle = 90 °.To keep things simple we can assume that the particle or the beam with coordinates x,y departs from the point 0,0 and reaches maximum speed after a falling a vertical distanceD. So,.Rearranging terms in the law of refraction and squaring gives:which can be solved fordx in terms ofdy:.Substituting from the expressions forv and vm above gives:高一·物理·竞赛班·第5 讲·老师版叙述高端的真正的物理学2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结which is thedifferential equationof an invertedcycloid generated by a circle of diameter D【例 4】 一根长为 l 的匀称细杆可以绕通过其一端的水平轴O 在竖直平面内转动，如以下图杆最初在水平位置，杆上距O 为 a 处放有一小物体可视为质点，杆与其上小物体最初均处于静 止状态 假设此杆突然以匀角速绕 O 轴转动， 设碰撞时细杆与水平面夹角为求 B 追上细杆时与的关系。仅仅考虑比较小的情形。【解析】 对这一问题第一如下分析：当细杆以角速 绕 O 同转动时， B 的速度为零， 杆上与 O 接触处就具有线速度 a ，因而两者别离， B 作自由落体运动，由于 B 的速度不断增大，有可能追上细杆而与之碰撞，设碰撞时细杆与水平面夹角为 ，就 随 的增大而增大，当 超过某一数值时， B 就可能碰不上 B 而与之碰撞，所以此题要按这第一种情形进行争论 求 B 追上细杆时 与 的关系设 B 经过时间 t 后与细杆在 D 处相碰见图 1，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDatan1 gt 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t如给定的值，由此二式可求出相应的的值由于杆长 L 的限制，要发生碰撞，值必需满意肯定条件，由图1可知，此条件为marccos aL依据这一条件和曲线，可以求出相应的的取值应符合的条件2由式 ， 消去 t 得 2g或g可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a tan2atan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点睛2. 变换参考系 许多物理量在变换参考系的时候会有古怪的性质发生常见的有， 位移，速度变换到某些参考系之后，有的非圆周运动变成了圆周运动。某些不规章运动变成了竖直或者水平的运动从而可以快速解题例题精讲【例 5】 曲杆传动算得上机械史上一项宏大的创造，如图是汽缸中曲柄传动的应用，其变往复运动为圆周运动， 现在把这个实物简化为右图的模型，设汽缸正以速度 v 向下运动， 角度如以下图， 圆盘的半径为 r ，运算圆盘转动的角速度。高一·物理·竞赛班·第5 讲·老师版叙述高端的真正的物理学3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】r cos900v cos所以r sinv cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 6】 缠在线轴上的线绕过滑轮B 后，以恒定速度v0 被拉出，如以下图，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这时线轴沿水平面无滑动滚动，求线轴中心点O 的速度随线与水平方向的夹角的变化关系线轴的内、外半径分别为r 和 R 【解析】 线轴的运动可以看作是速度为v 的平动和角速度为的转动的合成，而且由于线轴不沿水平面滑动，有vR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 A 点速度沿线方向的投影为rv cosv0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 得 vv0RrR cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 7】 如以下图装置，设杆 OA 以角速度绕 O 转动，其 A 端就系以绕过滑轮 B 的绳，绳子的末端挂一重物 M 已知 OBh ，当OBA时，求物体 M 的速度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】 如右图所示，设BAO90， A 点绕 O 轴转动的速度v A 可表示为 vAOA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 vA 分别为沿 BA 方向的速度 vM 因 A 点与绳系在一起， 故 vA 有一分速度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结vM 和与 vM垂直的速度 v ，就 vMvA cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 ABO 中，由正弦定理得hOAhsin 90sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此得 vMhsin，此即物体 M 的速度绳上各点沿绳方向的速度大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结均与物体 M 的速度大小相同 解法二：相对角速度法，想象杆子是静止不动的，墙转动过来，就直接有：vMhsin学问点睛3. 过程问题，小量分析，微元方法微元法是高中竞赛必学的一个基本方法，它包蕴着微积分的基本思想之一：通过分析小量之间的关系来求得宏观的结论应用微元方法的时候肯定要留意，哪些量可以忽视二阶小量 ，哪些量是不行以忽视的，一阶小量4. 求极值 ,物理竞赛中用到的方法主要有: 矢量几何方法求极值,二次函数极值,一元二次方程的0 求极值 ,微元法求极值 ,均值定理求极值 ,利用导数求极值等等 .学问点睛高一·物理·竞赛班·第5 讲·老师版叙述高端的真正的物理学4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 8】 体会一下什么是包络线： 就是一个曲线可以把我们给定的图形围起来。请分析下面的图形的包络线：女王的冲击波：【例 9】 二次世界大战中物理学家曾经争论，当大炮的位置固定， 以同一速度 v0沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危急？换句话讲 ,求一个虚线 ,这个虚线包围了全部可能被打到得范畴.这个线高一·物理·竞赛班·第5 讲·老师版叙述高端的真正的物理学5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们叫做包络线 .【解析】结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是全部炮弹抛物线的包络线此抛物线为v2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在大炮上方 h证明如下：x v0 cost2g 处，以v0 平抛物体的轨迹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y v0sint1 gt 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结消掉 t 得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ytanxg 2v212cos2xtanxg 2v2x2 tan2g22v2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000处理方法有许多种： 第一种：当做一个关于tan的方程来处理：就肯定有解， 并且在有重根的时候有可能取到包络线。由于包络线以内的任意点都有两种打击方式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2gx2x2v2 ygx2 2v22v0 得到： y02ggx2 2v2此际包络线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次种：可以看出，当任意给定一个x ，都有一个 y 的最大值这个最大的肯定是包络线上的点把 y 当做一个关于tan的函数ym 满意的点 ym, x 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 ymbv2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 tan也就是02agx时候可以取到极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结vv222y0 xgx20mgx2v2gxg22v2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00v02gx202 g2v2于是就得到了包络线的数学表达式高一·物理·竞赛班·第5 讲·老师版叙述高端的真正的物理学6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 10】 设湖岸 MN 为始终线，有一小船自岸边的A 点沿与湖岸成15 角方向匀速向湖中心驶去有一人自 A 点同时动身， 他先沿岸走一段再入水中游泳去追船已知人在岸上走的速可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结度为 v14m/s ，在水中游泳的速度为v22m/s试问船速可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结至多为多少，此人才能追上船？【解析】 解法一由等效法求解如图，设人在B 点刚好追上船，就人可能走许多途径，如ACB ， ADB ，AEB 等等在这些路径中， 费时最少者即对应着答应的最大船速如图， 在湖岸这边作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结NAP30，自 C 、 D 、 E 各点分别向 AP 引垂线 CK 、 DH 设 BDH 刚好为始终线和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EF 设想图中 MN 的下侧也变成是湖水区域，就人由K 点游泳至 C 点的时间与人在岸上由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 点走至 C 点的时间是相等的由于v12v2 ，而 AC2KC ，故交按题给情形经路径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A C B 所用的时间和假想人全部在水中游过路径 K C B 等时同理，与上述的另两条实际路径等时的假想路径是 H D B 和 F E B 由于在这些假想路径中，速度大小都一样，故通过的路径最短费时最少，明显通过直线HDB 费时最少由以上分析知，人沿等效路径 HDB 刚好在 B 点追上船时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对应着答应船速的最大值，设其为v ，就有ABBHvv2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 AHB 为等腰直角三角形，故AB2BH ，故得v2v222 m/s解法二 由微元法求解如图， 设人在 B 点刚好能追上船， 且在人到达 B 点的各种实际路径中， 以自 D 处入水游泳所用的总时间最少， 就假设自D 点左侧邻近的某点 C 入水，必在 D 点右侧有一入水点 E 与之对应， 使得在 C 点和 E 点入水两种情形下刚好追到船所用的总时间相等 在 BC 段上取 BF BE ，就应有人走 CE 段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和游 CF 段所用的时间相等，即CECF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结v1v2当 C 点无限靠近 D 点时， E 点必同时向 D 点靠拢，由图可见此时将近似有EFBC ，故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosCF1 ，所以60 由于此时 C 点是无限靠近D 点的，故 BC 与 BD 接近重合，CE2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 BDN60 由上得出：当人自某点入水沿与岸成角60 方向游泳刚好追到船时，此情形下对应的船速为人能追上船的最大答应速度，设其为v ，如图，过相遇点B 作 BKBD 交 MN 于 K ，由于60 ，所以 DK2DB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 v12v2 ，就人游 DB 段与走 DK 段的距离所用的时间相等故交自动身到在 B 点追上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结船的时间等于他由A 点走到 K 点的时间，即ABAKvv1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 ABK 中，由正弦定理有v1ABsin301AKsin1352，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结v22 m/s2【例 11】 回忆这个题目，摸索各种方法三只小蜗牛所在位置形成一个等边三角形，三角形的边长为 60cm第一只蜗牛动身向其次只蜗牛爬去，同时，其次只向第三只爬去，第三只向第一只爬去，每只蜗牛爬行的速度都是5cm/min 在爬行的过程中，每只蜗牛都始终保持对准自己的目标经过多长时间蜗牛们会相遇？相遇的时候，它们各自爬了多少路程？课后摸索题： 它们经过的路线可以用怎样的方程来描述？假设将蜗牛视为质点，那么它们在相遇前，围着它们的最终相遇点转了多少圈？【解析】 解法一：相对速度法高一·物理·竞赛班·第5 讲·老师版叙述高端的真正的物理学7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将蜗牛 2 的速度矢量在指向蜗牛1 的方向和与之垂直的方向上分解见图就两只蜗牛彼可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此靠近的相对速度为v1 v3 v7.5cm / min ，因此它们将在60cm/7.5cm/min =8 min 后可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22相遇事实上， 8 min 后三只蜗牛将相遇在一起，由于它们的实际速度为5 cm/min ，因此在相遇前，它们爬过的路程为40 cm解法二：分速度法将速度矢量在其他坐标系中分解可以得到相同的结果，比方以蜗牛为原点，指向三角形的中心为一个坐标轴，其垂直方向为另一个坐标轴，如以下图很明显，最终蜗牛们将在中心点相遇，而在此坐标系中的速度矢量的分解可以得到蜗牛将以恒定的速度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 / 2v53 / 2cm / min爬向中心点同时，环绕中心爬行的速度为v / 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以很简单运算出蜗牛在初始状态距离中心点603 / 3cm ，因此它们将在603 / 3cm8min53 / 2cm / min后相遇 解法三：边长经受了特别小的一段时间t 之后，变成了：l 'lvtv t cos60所以边长减小的 “速度 ”就是：v1cos60 所以总的时间应当为tl608minv1cos60 5112模拟轨迹如下 : 线速度不变 ,角速度逐步增加 ,半径不断减小的运动 :高一·物理·竞赛班·第5 讲·老师版叙述高端的真正的物理学8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为了保证竞赛班学习的质量，请同学们花1 分钟填写下面内容：学习成效反馈： 代课老师：通过今日学习，你觉得：1. 本讲讲义内容设置：A. 太难太多，吃不透B. 难度稍大，个别问题需要下去连续摸索C. 稍易，较轻松D. 太简单，来点给力的2. 本节课老师讲解你明白了：A .40% 以下B .40% 到 80%C .80%以上但不全懂D .自以为都懂了3有什么东西期望老师下节课再复习一下么？可填题号，学问点，或者填无高一·物理·竞赛班·第5 讲·老师版叙述高端的真正的物理学9可编辑资料 - - - 欢迎下载