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精品名师归纳总结数学学业水平复习学问点第一章 集合与简易规律1、 集合（ 1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合。集合中的每个对象叫集合的元素。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。表示一个集合要用 。（ 2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）。（ 3）、集合的分类： 有限集、 无限集和空集 （记作, 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集）。（ 4）、元素 a 和集合 A 之间的关系： a A,或 aA。（ 5）、常用数集：自然数集：N 。正整数集： N。整数集： Z 。整数： Z。有理数集： Q。实数集： R。2、子集（ 1）、定义： A 中的任何元素都属于B,就 A 叫 B 的子集。记作： AB, 留意： AB 时, A 有两种情形： A 与 A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、性质：、AA,A 。、如 AB, BC ,就 AC 。、如 AB, BA 就 A=B 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、真子集（ 1）、定义： A 是 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于A 。记作： AB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、性质：、A,4、补集A 。、如 AB, BC ,就 AC 。CU AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、定义：记作：CU A x | xU ,且xA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、性质：ACU A, ACU AU, C（UCU A） A。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、交集与并集（ 1）、交集： AB x | xABA且xB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质：、AAA, A、如 ABB ,就 BA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、并集： AB x | xA或xBAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质：、AAA, AA 、如 AB B ,就 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）判别式： =b2-4ac000yyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xax2bxca0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次方程有两相异实数根有两相等实数根没有实数根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2bxc0a0 的根x1, x2x1x2 bx1x22a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次不等式 x | xx1, xx2 x | xb R2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2bxc0 a0 的解集“”取两边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次不等式 x | x1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2bxc0a0 的解集“”取中间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式解集的边界值是相应方程的解22含参数的不等式 axb x c>0 恒成立问题含参不等式 ax b x c>0 的解集是 R。其解答分 a 0验证 bxc>0 是否恒成立 、a 0（ a<0 且 <0）两种情形。7、肯定值不等式的解法：（“”取两边,“”取中间）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）、当 a0 时, | x |a 的解集是 x | xa, xa , | x |a 的解集是 x |axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、当 c0 时,| axb |caxbc, axbc , | axb |ccaxbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）、含两个肯定值的不等式：零点分段争论法：例：| x3 | 2 x1 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、简易规律：（ 1）命题： 可以判定真假的语句。 规律联结词 ：或、且、非。简洁命题 ：不含规律联结词的命题。复合命题 ：由简洁命题与规律联结词构成的命题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三种形式 ： p 或 q、p 且 q、非 p。 判定复合命题真假 ：1 、思路：、确定复合命题的结构,、判定构成复合命题的简洁命题的真假,、利用真值表判定复合命题的真假。2 、真值表： p 或 q,同假为假,否就为真。p 且 q,同真为真。非 p,真假相反。（ 2）、四种命题：原命题 ：如 p 就 q。 逆命题 ：如 q 就 p。否命题 ：如 p 就 q。 逆否命题 ：如 q 就 p。原命题如 p 就 q互否否命题如 p 就 q互逆逆命题如 q 就 p互否为逆互为逆否互否逆否命题互逆如 q 就 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结互为逆否的两个命题是等价的。原命题与它的逆否命题是等价命题。（ 3）、反证法步骤 ：假设结论不成立推出冲突否定假设。（ 4）、充分条件与必要条件：如 pq ,就 p 叫 q 的充分条件。 如 pq ,就 p 叫 q 的必要条件。如 pq ,就 p 叫 q 的充要条件。其次章 函数1、映射： 根据某种对应法就f ,集合 A 中的任何一个元素,在B 中都有唯独确定的元素和它对应,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 f： A B,如 aA,bB ,且元素 a 和元素 b 对应,那么 b 叫 a 的象, a 叫 b 的原象。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、函数： （ 1）、定义：设 A , B 是非空数集,如按某种确定的对应关系f,对于集合 A 中的任意一个数x,集合 B 中都有唯独确定的数f（ x）和它对应,就称f： A B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作y=f（ x）,（ 2）、函数的三要素：定义域,值域,对应法就。自变量x 的取值范畴叫函数的定义域,函数值f（ x） 的范畴叫函数的值域,定义域和值域都要用集合或区间表示。（ 3）、函数的表示法常用：解析法,列表法,图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）、区间：满意不等式axb 的实数 x 的集合叫闭区间,表示为： a ,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结满意不等式 axb 的实数 x 的集合叫开区间,表示为：（a ,b）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结满意不等式 axb 或 ax b 的实数 x 的集合叫半开半闭区间,分别表示为： a , b）或（ a , b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）、求定义域的一般方法：、整式：全体实数,例一次函数、二次函数的定义域为R。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、分式：分母0 , 0 次幂：底数0 ,例： y12| 3x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、偶次根式：被开方式0 ,例： y25x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、对数：真数0 ,例： ylog1a 1|x|x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）、求值域的一般方法：、图象观看法：y0.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、单调函数：代入求值法：y log2 3x1, x 1 ,323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、二次函数：配方法：yx4x, x1,5 ,yxx2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、“一次”分式：反函数法：y2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、“对称”分式：分别常数法：2sin xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、换元法： yx12 x2sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 7）、求 f（ x）的一般方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、待定系数法：一次函数f（ x）,且满意3 f x12 f x12 x17 ,求 f（ x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、配凑法：f x1 x 2x1 , 求 f（ x）x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、换元法：f x1x2x ,求 f（ x）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、解方程（方程组）：定义在（-1 , 0）（ 0,1）的函数 f（ x）满意3、函数的单调性：2 f xf x,求 f（ x）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）、定义：区间 D 上任意两个值x1 , x2 ,如x1x2 时有f x1f x2 ,称f x 为 D 上增函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 x1x2 时有f x1 f x2 ,称f x 为 D 上减函数。（一样为增,不同为减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、区间 D 叫函数f x 的单调区间,单调区间定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）、判定单调性的一般步骤：、设,、作差,、变形,、下结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）、复合函数 yf h x的单调性：内外一样为增,内外不同为减。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、反函数 ：函数 yf x 的反函数为 yf 1 x。函数 yf x 和 yf 1 x互为反函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反函数的求法： 、由 yf x ,解出 xf 1 y,、 x,y 互换,写成 yf 1 x,、写出 yf 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的定义域（即原函数的值域）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反函数的性质：函数yf x 的定义域、值域分别是其反函数yf 1 x的值域、定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x 的图象和它的反函数yf 1 x 的图象关于直线 yx 对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点（ a,b）关于直线 yx 的对称点为（ b,a）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、指数及其运算性质：（1）、假如一个数的n 次方根等于 a（ n1, nN * ）,那么这个数叫a 的 n 次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方根。n a 叫根式,当 n 为奇数时,n ana 。当 n 为偶数时,n an| a |a a0aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、分数指数幂：正分数指数幂：ma nnam 。负分数指数幂： a n1mman可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 的正分数指数幂等于1, 0 的负分数指数幂没有意义（0 的负数指数幂没有意义）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）、运算性质：当a0, b0, r , sQ 时： arasar s, ar sa rs , ab rar br , r a1ar 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、对数及其运算性质： （1）、定义：假如 abN a0, a1 ,数 b 叫以 a 为底 N 的对数,记作log a Nb,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 a 叫底数, N 叫真数,以 10 为底叫常用对数：记为lgN ,以 e=2.7182828为底叫自然对数：记为lnN（ 2）、性质： ：负数和零没有对数, 、1 的对数等于 0： log a 10 ,、底的对数等于 1：log a a1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、积的对数：loga MN log a Mlog a N, 商的对数：Mlog annNlog a Mlog a N ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结幂的对数：loga Mn log a M,方根的对数：log aM1 logM ,an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、指数函数和对数函数的图象性质函数指数函数对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义yax（ a0且a1 ）ylog ax （ a0且 a1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a>10<a<1a>10<a<1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象（非奇非偶）y=axy1Oxy=axy1Oxyy=log axO1xyxO1y=log ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域（ -, +）（-, +）（ 0, +）（ 0, +）值域（ 0, +）（0, +）（ -, +）（ -, +）性单调性在（ -, +）在（ -, +）在（ 0, +）在（ 0,+）上是增函数上是减函数上是增函数上是减函数1, x01, x00, x10, x11, x0a x1, x0log a x0, x1log a x0, x11, x01, x00,0x10,0x1函 数 值x变化a质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图定 点a01,过定点（ 0, 1）log a 10,过定点（ 1, 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x图象a象特点0,图象在 x 轴上方x0,图象在 y 轴右边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象y关系ax 的图象与 ylog ax 的图象关于直线 yx 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三章 数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（一）、 数列：（ 1）、定义： 按肯定次序排列的一列数叫数列。每个数都叫数列的项。数列是特别的函数：定义域：正整数集N（或它的有限子集 1 , 2,3, n ）, 值域：数列本身,对应法就：数列的通项公式。（ 2）、通项公式 ：数列 an 的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系式。例：数列1, 2, n 的通项公式 an =n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1, -1, 1, -1,的通项公式an = 1。0, 1, 0, 1,0,的通项公式an1 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）、递推公式 ：已知数列 an 的第一项,且任一项an 与它的前一项an 1（或前几项）间的关系用一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式表示,这个公式叫递推公式。例：数列an ： a11 , an11an 1,求数列 an 的各项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）、数列的前 n 项和： Sna1a2a3an 。 数列前 n 项和与通项的关系：ana1S1 n1SS n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1（二）、等差数列：（1）、定义 ：假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、通项公式 ： ana1n1) d（其中首项是a1 ,公差是 d 。整理后是关于 n 的一次函数）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）、前 n 项和： 1 Snna12an 2.Snna1n n21 d（整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）、等差中项： 假如 a , A ,b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。 即： Aab 或 2 Aab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 说明 ：在一个等差数列中,从第2 项起,每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。事实上等差数列中某哪一项与其等距离的前后两项的等差中项。（ 5）、等差数列的判定方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、定义法：对于数列an,如an 1and 常数 ,就数列an 是等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、等差中项：对于数列an ,如2an 1anan2 ,就数列an 是等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）、等差数列的性质：、等差数列任意两项间的关系：假如an 是等差数列的第 n 项,am 是等差数列的第 m 项,且 mn ,公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结差为 d ,就有 an、等差数列anamn,如 nmmdpq ,就 anamapaq 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也就是： a1ana2an 1a3an 2,如下列图：a1 , a2 , a3 , an2 , an1, an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如数列a是等差数列,S 是其前 n 项的和, kN * ,那么S , SS , SS成等差数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnk2 kk3k2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如下图所示： a1a2a3SkakakS3k1S2 ka2 kSka2k1S3kS2 ka3k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、设数列an是等差数列,S奇 是奇数项的和,S偶 是偶数项项的和,Sn 是前 n 项的和,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有：前 n 项的和 SnS奇S偶 , 当 n 为偶数时, S偶S奇n d2,其中 d 为公差。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 为奇数时,就S奇S偶a中 , S奇n1a中S偶2,n1a中2（其中a中是等差数列的中间一项）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、等差数列a的前 2n1 项的和为 S,等差数列 b的前 2n1 项的和为 S'anS2n 1Sb,就。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2 n 1n2 n 1'n2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（三）、等比数列：（ 1）、定义 ：假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比 ,公比通常用字母q 表示（ q0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、通项公式： ana qn1（其中：首项是a1 ,公比是 q ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1na1 , q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）、前 n 项和 Snna1anqa11q , q（推导方法：乘公比,错位相减）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q1q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： Sna1 11qn q1q2Sna1an q q11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 当 q1 时为常数列, Snna1 ,非 0 的常数列既是等差数列,也是等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）、等比中项：假如在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与b 的等比中项 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也就是,假如是的等比中项,那么（ 5）、等比数列的判定方法：Gb ,即 G 2aGab （或 Gab ,等比中项有两个）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、定义法：对于数列an,如an 1an2q q0 ,就数列an 是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、等比中项：对于数列（ 6）、等比数列的性质：an ,如an an 2an 1 ,就数列an 是等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、等比数列任意两项间的关系：假如an 是等比数列的第 n 项,am 是等比数列的第 m 项,且 mn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公比为 q ,就有 anamq n m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、对于等比数列an ,如 nmuv ,就 anamauav可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也就是： a1ana2a n 1a3a n 2。如下列图：a1 , a2 , a3 ,a1 an, an2 , an1, an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、如数列an 是等比数列,Sn 是其前 n 项的和, kN * ,那么Sk , S2kSk , S3kS2k成等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如下图所示： a1a2a3SkakakS3k1S2 ka2 kSka2k1S3kS2 ka3k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结