高一数学抽象函数常见题型解法综述.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -抽象函数常见题型解法综述赵春祥抽象函数是指没有给出函数的详细解析式，只给出了一些表达函数特点的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1. 已知函数f x 2 的定义域是1，2，求 f （x）的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f x 2 的定义域是1， 2，是指 1x2 ，所以f x2 中的22x满意 1x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而函数f （ x）的定义域是1， 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：一般的， 已知函数f x的定义域是A ，求 f（ x ）的定义域问题， 相当于已知f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中 x 的取值范畴为A ，据此求 x 的值域问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 已知函数f x 的定义域是 1，2 ，求函数f log 1 32x的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：fx的定义域是1，2，意思是凡被f作用的对象都在1，2中，由此可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1log 1 3x22 1 223x 1 121x114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以函数f log 1 32x的定义域是1，114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析： 这类问题的一般形式是：已知函数f （ x）的定义域是A ，求函数f x的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正确懂得函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域 B ，且 BA ，据此求x 的取值范畴。例2 和例 1 形式上正相反。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、求值问题例3. 已知定义域为R的函数f （ x ），同时满意以下条件：f 21， f61 。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xyf xf y ，求 f（ 3）， f （ 9）的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 取 x2， y3 ，得f 6f 2f 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因 为 f21， f61，所以5f 345可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又取 xy3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 f 9f 3f 385可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：通过观看已知与未知的联系，奇妙的赋值，取1x2， y3 ，这样便把已知条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 21， f6与欲求的f（ 3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、值域问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4. 设函数f （x）定义于实数集上，对于任意实数x 、y，f xyf x f y 总成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且存在x1x2 ，使得f x1 f x2 ，求函数f x的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 令 xy0 ，得f 0 f 0 2 ，即有f 0 0 或 f01。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f 00 ，就f xf x0f x f00 ，对任意xR 均成立，这与存在实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2 ，使得f x1 f x2 成立冲突，故f 00 ，必有f 01 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 于 f xyf x f y 对任意x、 yR 均成立，因此，对任意xR ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf xx 22f x f 2 x 2 f x 202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面来证明，对任意xR， fx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设存在 x0R ，使得f x0 0 ，就f 0f x0x0 f x0 f x0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这与上面已证的f 00 冲突，因此，对任意x R， f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 f x0评析： 在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特别转化的必要手段。四、解析式问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5. 设对满意 x0， x1 的全部实数x，函数f x 满意f xf x1 x1x，求 f（ x ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的解析式。解： 在f xf x 1ff x11x x12 x11 中以 2x1 代换其中x ，得：x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x再在（ 1）中以x1x1代换 x ，得x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1x1f xx2 x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123 化简得：f xx3x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析： 假如把 x 和x1 分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结键。通常情形下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消逝”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例6.设f （ x ）定义于实数集上，当x0 时，f x1 ，且对于任意实数x 、 y ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xyf xf y ，求证：f x 在 R 上为增函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明： 在f xyf xf y 中取 xy 0 ，得f 0 f 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f 00 ，令 x0， y0 ，就f x0 ，与f x1 冲突可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 f00 ，即有f 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0 时，f x10 。当 x0 时，x0， f x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 f xf x f 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 fx10f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又当 x0 时，f 010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以对任意xR ，恒有f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设x1x2，就 x2x10， f x2x1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 fx2 f x1 x2x1 f x1 f x2x1 f x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 yf x 在 R 上为增函数。评析： 一般的，抽象函数所满意的关系式，应看作给定的运算法就，就变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例7.已 知 函 数f x xR， x0对 任 意 不 等 于 零 的 实 数x1、x2都 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1x2 f x1 f x2 ，试判定函数f（ x ）的奇偶性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 取 x11，x21 得： f 1f 1f 1，所以f 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又取 x1x21得：f 1f 1f 1，所以f 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再取 x1x，x21 就 f xf 1f x ，即 f xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因 为 fx 为非零函数，所以f x为偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七、对称性问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8. 已知函数yf x 满意f xf x2002 ，求 f1 xf1 2002x 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 已知式即在对称关系式f axf ax2b 中取 a0， b2002，所以函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x 的图象关于点（0，2002）对称。依据原函数与其反函数的关系，知函数yf1 x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象关于点（2002， 0）对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 f1 x1001f1 1001x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将上式中的x 用 x1001 代换，得f1 xf1 2002x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析： 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b 均为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常数， 函数 yf x 对一切实数x 都满意f axf ax2b ，就函数 yf x 的图象关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于点（ a， b）成中心对称图形。八、网络综合问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9. 定义在 R 上的函数f（ x ）满意：对任意实数m， n，总有f mnf mf n ，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x>0 时， 0<f （ x） <1。（ 1）判定 f（ x ）的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设 A x， y |f x 2 f y 2 f 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Bx， y |f axy21， aR ，如 AB，试确定a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： （ 1 ）在f mnf mf n 中，令m1， n0 ，得f 1f 1f 0，由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 10 ，所以f 01 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 f mnf mf n 中，令 mx，nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于当 x0 时， 0f x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以当 x0 时x0，0f x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 f xf x f 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 fx110f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又当 x=0 时，f 010 ，所以，综上可知，对于任意xR ，均有f x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设x1x2，就 x2x10，0f x2x1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f x2 f x1x2x1 f x1 f x2x1 f x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 yf x 在 R 上为减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由于函数y=f （ x）在 R 上为减函数，所以f x2 f y2 f x 2y 2 f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即有 x 2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f axy2 1f 0 ，依据函数的单调性，有axy20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 AB， 所 以 直 线 axy20 与 圆 面x2y21 无 公 共 点 。 因 此 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221 ，解得a11a1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评析：（1）要争论函数的单调性必定涉及到两个问题：一是 f（ 0）的取值问题， 二是 f（ x）>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特别到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的摸索和解决。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载