高中数学个热点问题-排列组合中的常见模型 .docx

精品名师归纳总结第 80 炼 排列组合的常见模型一、基础学问：一处理排列组合问题的常用思路：1、特别优先：对于题目中有特别要求的元素，在考虑步骤时优先支配，然后再去处理无要求的元素。例如：用 0,1,2,3,4 组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？A4解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4 种选择，而其余数位没有要求，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为N4496 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、查找对立大事：假如一件事从正面入手，考虑的情形较多，就可以考虑该事的对立面， 再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。例如：在 10 件产品中，有 7 件合格品， 3 件次品。从这10 件产品中任意抽出3 件，至少有一件次品的情形有多少种解：假如从正面考虑，就“至少1 件次品”包含 1 件， 2 件， 3 件次品的情形，需要进行分3类争论， 但假如从对立面想，就只需用全部抽取情形减去全是正品的情形即可，列式较为简可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结107单。 NC 3C85 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3、先取再排 先分组再排列 ：排列数Am 是指从 n 个元素中取出m 个元素， 再将这 m 个元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结素进行排列。 但有时会显现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。例如： 从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人， 分别从事 3 项不同的工作， 假设这 3 人中只有一名女生，就选派方案有多少种。解：此题由于需要先确定人数的选取，再能进行安排排列，所以将方案分为两步，第一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结步：确定选哪些同学，共有21C 4 C3 种可能，然后将选出的三个人进行排列：A3 。所以共有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3C C A213433108 种方案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二排列组合的常见模型1、捆绑法整体法 ：当题目中有“相邻元素”时，就可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的次序即可。例如： 5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3 个元素排列，就共有4A4 种位置，其次步考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结虑甲乙自身次序，有2 种位置，所以排法的总数为NA4A248 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A2422、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，就可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：1要留意在插空的过程中是否可以插在两边2要从题目中判定是否需要各自排序例如：有 6 名同学排队，其中甲乙不相邻，就共有多少种不同的排法2解：考虑剩下四名同学 “搭台”，甲乙不相邻， 就需要从 5 个空中选择 2 个插入进去， 即有 C5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。所以NC 2A4A2480 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5423、错位排列：排列好的n 个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为这 n 个元素的一个错位排列。例如对于a,b, c, d ，就d,c, a, b 是其中一个错位排列。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个元素的错位排列有2 种，4 个元素的错位排列有9 种，5 个元素的错位排列有44 种。以上三种情形可作为结论记住例如：支配 6 个班的班主任监考这六个班，就其中恰好有两个班主任监考自己班的支配总数有多少种？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班，共有2C6 种选法，然后剩下4 个班主任均不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结监考自己班，就为4 个元素的错位排列，共9 种。所以支配总数为NC 29135可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结64、依次插空：假如在 n 个元素的排列中有 m 个元素保持相对位置不变，就可以考虑先将这m 个元素排好位置，再将nm 个元素一个个插入到队伍当中留意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：已知A, B, C,D, E, F 6 个人排队，其中A, B,C 相对位置不变，就不同的排法有多少可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结种解：考虑先将A,B,C 排好， 就 D 有 4 个空可以选择， D 进入队伍后， E 有 5 个空可以选择，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以此类推， F 有 6 种选择，所以方法的总数为N456120 种5、不同元素分组：将n 个不同元素放入 m 个不同的盒中6、相同元素分组：将n 个相同元素放入 m 个不同的盒内，且每盒不空，就不同的方法共有1nCm 1 种。解决此类问题常用的方法是“挡板法”，由于元素相同，所以只需考虑每个盒子里可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所含元素个数，就可将这n 个元素排成一列，共有n1 个空，使用m1 个“挡板”进入空档处，就可将这n 个元素划分为 m 个区域，刚好对应那m 个盒子。例如：将6 个相同的小球放入到4 个不同的盒子里，那么6 个小球 5 个空档，选择3 个位置放“挡板” ，共有C3520 种可能7、涂色问题：涂色的规章是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可依据选择颜色的总数进行分类争论， 每削减一种颜色的使用， 便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色仍要留意两两不相邻的情形，先列举出全部不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？解：可依据使用颜色的种数进行分类争论1使用 4 种颜色，就每个区域涂一种颜色即可：N1A442使用 3 种颜色，就有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首先要选择不相邻的区域：用列举法可得：I , IV不相邻A3所以涂色方案有：N 243使用 2 种颜色，就无法找到符合条件的情形，所以争论终止43总计 SA4A448 种二、典型例题：例 1：某电视台邀请了6 位同学的父母共 12 人，请 12 位家长中的 4 位介绍对子女的训练情形，假如这 4 位中恰有一对是夫妻，就不同选择的方法种数有多少思路：此题解决的方案可以是：先选择出一对夫妻，然后在选择出两个不是夫妻的即可。C1第一步：先挑出一对夫妻：6C52其次步：在剩下的10 个人中选出两个不是夫妻的，使用间接法：10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以选择的方法总数为NC1 C 25240 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结610答案： 240 种例 2：某老师一天上3 个班级的课， 每班上 1 节， 假如一天共 9 节课， 上午 5 节， 下午 4 节， 并且老师不能连上3 节课第 5 节和第 6 节不算连上，那么这位老师一天的课表的全部不同排法有A.474 种B.77 种C.462 种D.79 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路：此题假如用直接法考虑，就在支配的过程中仍要考虑两节连堂，并且会受到第5,6节课连堂的影响，分类争论的情形较多，不易求解。假如使用间接法就更为简单。第一在无可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结任何特别要求下，支配的总数为A3 。不符合要求的情形为上午连上3 节：A3 和下午连上三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结943333节： A3 ，所以不同排法的总数为：A9A4A3474 种答案： A例 3： 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，就不同排法的种数是A.60B.48C.42D.36思路：第一考虑从 3 位女生中先选中相邻的两位女生，从而相邻的女生要与另一女生不相邻， 就可插空， 让男生搭架子， 由于男生甲不站两端， 所以在插空的过程中需有人站在甲的边上，再从剩下的两个空中选一个空插入即可。C3第一步：从三位女生中选出要相邻的两位女生：2其次步： 两位男生搭出三个空， 其中甲的边上要进入女生， 另外两个空中要选一个空进女生，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2所以共有C1 种选法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三步：排列男生甲，乙的位置：2A2 ，排列相邻女生和单个女生的位置：2A2 ，排列相邻女可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2生相互的位置： A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以共有NC 2C1A2A2A248 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32222答案： B例 4：某班班会预备从甲，乙等7 名同学中选派4 名同学发言，要求甲，乙两名同学至少有一人参与，且假设甲乙同时参与，就他们发言时不能相邻，那么不同的发言次序种数为A.360B.520C.600D.720思路：由于选人的结果不同会导致支配次序的不同，所以考虑“先取再排”，分为“甲乙” 同时选中和“甲乙只有一人选中”两种情形争论：假设甲乙同时被选中，就只需再从剩下5222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结人中选取 2 人即可： C5，在支配次序时， 甲乙不相邻就 “插空”，所以支配的方式有：A3A2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而第一种情形的总数为：N1C5A3A2120 种，假设甲乙只有一人选中，就第一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先从甲乙中选一人，有C 1 ，再从剩下 5 人中选取三人，有3C5 ，支配次序时就无要求，所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2其次种情形的总数为：NC 1C 3A4480 种，从而总计 600 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2254答案： C例 5：从单词“ equation”中选取 5 个不同的字母排成一排，含有“qu”其中“ qu”相连且次序不变的不同排列共有 种思路：从题意上看，解决的策略要分为两步：第一步要先取出元素，由于“qu”必需取出，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以另外 3 个元素需从剩下的6 个元素中取出，即3C6 种，然后在排列时，由于要求“qu”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4相连， 所以采纳 “捆绑法”，将 qu 视为一个元素与其它三个元素进行排列：A4 ，由于“ qu”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次序不变，所以不需要再对qu 进行排列。综上，共有：C 3A4480 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结64答案： 480例 6：设有编号 1,2,3,4,5 的五个茶杯和编号为 1,2,3,4,5 的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A. 30种B. 31种C. 32种D. 36种NC思路： 此题可依据相同编号的个数进行分类争论，有两个相同时， 要先从 5 个里选出哪两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5相同，有C 2 种选法，就剩下三个为错位排列，有2 种情形，所以22 ，有三个相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15时，同理，剩下两个错位排列只有一种情形交换位置，所以 N 2C 3 1 ，有四个相同时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结523可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就最终一个也只能相同，所以N31 ，从而SC52C5 1131 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： B例 7：某人上 10 级台阶，他一步可能跨1 级台阶，称为一阶步，也可能跨2 级台阶，称为二阶步。最多能跨 3 级台阶，称为三阶步，假设他总共跨了6 步，而且任何相邻两步均不同阶，就此人全部可能的不同过程的种数为A.6B.8C.10D.12答案： A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路：第一要确定在这6 步中，一阶步，二阶步，三阶步各有几步，分别设为x, y, zN，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x4x3x2，解得：y0,y2,y4 ，由于相邻两步不同阶，所以符合z2z1z0xyz6就有x2 y3z10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要求的只有x 3y 2 ，下面开头支配次序，可以让一阶步搭架子，就二阶步与三阶步必需插z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结入一阶步里面的两个空中，所以共有 2 种插法， 二阶步与三阶步的前后支配共有3 种三二二，三二三，二三三 ，所以过程总数为N236答案： A例 8：某旅行社有导游9 人，其中 3 人只会英语， 2 人只会日语，其余4 人既会英语又会日语，现要从中选6 人，其中 3 人负责英语导游，另外三人负责日语导游，就不同的选择方法有种思路： 在步骤上可以考虑先选定英语导游，再选定日语导游。 英语导游的组成可按只会英语的和会双语的人数组成进行分类争论，然后再在剩下的人里选出日语导游即可。第一种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结没有会双语的人加入英语导游队伍，就英语导游选择数为3C3 ，日语导游从剩下6 个人中选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结择，有360C 中，从而 N33C3C6，其次种情形：有一个会双语的人加入英语导游队伍，从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而可得NC1C2C ，依次类推，第三种情形。两个会双语的加入英语导游队伍，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31435可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结213NCCC ，第四种情形，英语导游均为会双语的。就NC 3C 3 ，综上所述，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2434343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不同的选择方法总数为SC3 C3C1C2C 3C2C1C 3C3C3216 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3643543443答案： 216 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9：如图，用四种不同颜色给图中A, B,C, D , E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，就不同的涂色方法有A.288 种B.264 种C.240 种D.168 种思路：假如用四种颜色涂六个点，就需要有两对不相邻的点涂相同的颜 色 。 所 以 考 虑 列 举 出 不 相 邻 的 两 对 点 。 列 举 的 情 况 如 下 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A,CB, D，A, CB, E，A,CD,F，A, FB, D，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A, FB, E，A, FC, E ，B, DC, E ，B, ED, F，C, ED, F 共九组，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A所以涂色方法共有 94216可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A4假如用三种颜色涂六个点，就需要有三对不相邻的点涂相同的颜色，列举情形如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A,CB, ED, F，A, FC, EB, D 共两组，所以涂色方法共有2348可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4综上所述，总计 264 种答案： B例 10：有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要求3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，就不同的排法共有A. 1344种B. 1248种C. 1056种D. 960种思路：中间行数字和为5 只有两种情形，即 1,4 和 2,3 ，但这两组不能同时占据两行，假设按题意摸索，以 1,4 占中间行为例，就在支配时既要考虑另一组2,3 是否同时被选中，仍要考虑同时被选中时不能呆在同一行，情形比较复杂。所以考虑间接法，先求出中间和为5的全部情形，再减去两行和为5 的情形解：先考虑中间和为5 的全部情形：2第一步：先将中间行放入1,4 或 2,3 ： C 1A2其次步：中间行数字的左右次序：24第三步：从剩下 6 个数字中选择4 个，填入到剩余的四个位置并排序：A6124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以中间和为5 的情形总数为SC2A2A41440可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在考虑两行和为 5 的情形：C2第一步： 1,4 ， 2,3 两组中哪组占用中间行：1C1其次步：另一组可选择的行数：2A A22第三步： 1,4 ， 2,3 在本行中的左右次序：22A4第四步：从剩下 4 个数中选取 2 个填入所剩位置并排序：211222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以两行和为5 的情形：NC 2C2A2A2A4192可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而仅有中间行为5 的情形为 SN答案： B1248种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载