高中数学三角函数知识点总结实用版5.docx

精品名师归纳总结三角函数1. 与（ 0° 360 °） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ）：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|k360, kZ3sinxy2sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在 x 轴上的角的集合：终边在 y 轴上的角的集合：|k180|k180, kZ90 , kZ4cosxcosx 11cosxxcosx4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在坐标轴上的角的集合：终边在 y=x 轴上的角的集合：|k90 , k|k180Z45 , kZsinxsinx23SIN COS三角函数值大小关系图1、 2、 3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在 yx 轴上的角的集合：|k18045 , kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如角与角的终边关于 x 轴对称,就角与角的关系：360 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如角与角的终边关于 y 轴对称,就角与角的关系：360 k180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如角与角的终边在一条直线上,就角与角的关系：180 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角与角的终边相互垂直,就角与角的关系：360 k90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 角度与弧度的互换关系：360 °=2180 °=1° =0.01745 1=57.30 ° =57 ° 18留意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结、弧度与角度互换公式：1rad 180 ° 57.30°=57 ° 181°1800.01745（ rad）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、弧长公式： l| r .扇形面积公式：s扇形112lr| r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结224、三角函数：设是一个任意角,在的终边上任取（异于ya的终边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原点的）一点 P（x,y ） P 与原点的距离为r ,就siny 。rP（ x,y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosx 。tanr。cotyxx 。sec yr 。.xcscr .royx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、三角函数在各象限的符号： （一全二正弦,三切四余弦）Tyyyy+-+-+Poxoox-+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-+-OMA x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正弦、余割余弦、正割正切、余切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、三角函数线正弦线： MP;余弦线： OM;正切线： AT.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角函数定义域8、同角三角函数的基本关系式：tansin 2cotcos21csc1sinsec12tansin cossectancossincotcoscsc21cot 216. 几个重要结论:2111y2y9、诱导公式：|sinx|>|cosx|把k2的三角函数化为的三角函数,概括为：sinx>cosxO|cosx|>|sinx|xO|cosx|>|sinx|xcosx>sinx“奇变偶不变,符号看象限”|sinx|>|cosx|3 如 o<x< 2 ,就sinx<x<tanx三角函数的公式： （一）基本关系公式组一sinx·cscx=1sin x2cosx· secx=1tanx= cos xcos xx= sin xsin x+cos x=121+tan x =sec x22公式组二sin2k cos2k tan2k公式组三xxxsin x cosxtan xsin costanxxxsin x cosxtan x7. 三角函数的定义域：f xf xsinxcosxx | xx | xRRf xtanxx | xR且 xk12, kZf xcotxx | xR且xk, kZf xsecxx | xR且 xk12, kZf xcscxx | xR且xk, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanx·cotx=121+cot2x=csc xcot2kxcot xcotxcot x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式组四公式组五公式组六sinxsin xsin2xsin xsinxsin xcosxcosxcos2xcosxcosxcosxtanxtan xtan2xtan xtanxtan xcotxcot xcot2xcot xcotxcot x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（二）角与角之间的互换公式组一公式组二coscoscossinsinsin 22 sincoscoscossinsincos 2cos2cossin22 cos2112 sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsincoscossintan22 tan1tan 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsincoscossinsin21cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantantancos1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tantan22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantantantan1cossin1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 tantan2 1cos1 cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式组三公式组四公式组五可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2 tan2sincos1 sin21sin1cos2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tan 221tan 2coscossincossin21 cos 2sincossin 12tan 1coscot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos21tan 2sinsin1 cos 2cos21cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan22 tan2sin sinsin sin2 sin22 cos2cos2sin22tan 12cot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tan22coscoscoscos2 cos22sincos2sin1sin2cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 15cos 7562 , , tan 154cot 75223 ,.2tan 75cot1523可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 7562cos154可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysin xycosxytan xycot xyA sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域RRx | xR且xk1 , kZ 2x | xR且xk , kZ（ A 、 0）R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域1, 11, 1RRA, A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结周期性222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当当0, 非奇非偶0, 奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2k1,。k,kk , k1上为减函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k,22k22数（ kZ ）2k2 A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k2上 为 增 函数。上 为 增 函数 2k,2k1上 为 增 函 数（ kZ ）12k2A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调性2k, 2上 为 减 函数上为增函数。2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32k2（ kZ ）2 A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上 为 减 函2k32A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数（ kZ ）上 为 减 函 数（ kZ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：ysin x 与ysin x 的单调性正好相反。ycosx 与ycos x 的单调性也同样相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反.一般的,如 yf x 在a, b 上递增（减） ,就 yf x 在 a, b 上递减（增） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysin xy与 ycosx 的周期是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysinx 或 ycos x （0 ）的周期 T2.xO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ytan x 2的周期为 2（ TT2,如图,翻折无效）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysinx 的对称轴方程是 xk2 （ kZ ）,对称中心（k,0 ）。 ycos x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称轴方程是xk （ kZ ）,对称中心（ k1,0 ）。y 2tanx 的对称中心（ k2,0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ycos 2x原点对称ycos2 xcos 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 tan·tan1,k k2Z 。 tan·tan1,k k2Z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ycosx 与 ysin x2k 2是同一函数 ,而 yx 是偶函数,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yxsin xk1cos 2x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数ytan x在 R 上为增函数 .（ ×） 只能在某个单调区间单调递增. 如在整个定义域,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ytan x为增函数,同样也是错误的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域关于原点对称是f x 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件： 一是定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义域关于原点对称（奇偶都要）,二是满意奇偶性条件,偶函数：f xf x,奇函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：义域不关于原点对称）ytan x 是奇函数, ytan x1 是非奇非偶 .（定3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇函数特有性质：如0x 的定义域,就f x 肯定有f 00 .（ 0x的定义域,就无此性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结质）yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysin x 不是周期函数。ysin x为周期函数（ T）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ycos x 是周期函数（如图） 。ycosx为周期函数（ T）。x1/2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ycos 2xy= cos|x| 图象1 的周期为（如图）,并非全部周期函数都有最小正周期,例如：2y=|cos2x+1/2|图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x5 ya cosf x b sink , kR .22absincosb22有aby .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y Asin（ x ）的振幅 |A| ,周期 T2 ,频率 f1| ,相位x; 初相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|T2（即当 x0 时的相位）（当 A 0, 0 时以上公式可去肯定值符号） ,由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长 （当 |A| 1）或缩短 （当 0 |A|1）到原先的 |A|倍,得到 y Asinx 的图象, 叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A替换 y）由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长 （ 0 | | 1）或缩短（ | | 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到原先的| 1 | 倍,得到 y sin x 的图象,叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换 用 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结替换 x由 y sinx 的图象上全部的点向左 （当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位, 得到 y sin（ x ）的图象,叫做 相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移 用 x 替换 x由 y sinx 的图象上全部的点向上 （当 b 0）或向下 （当 b 0）平行移动 b个单位, 得到 y sinx b 的图象叫做沿y 轴方向的平移 （用 y+-b 替换 y）由 y sinx 的图象利用图象变换作函数y Asin（ x ）（ A 0, 0）（ x R）的图象, 要特殊留意： 当周期变换和相位变换的先后次序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区分。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结高中数学三角函数常见习题类型及解法221. 三角函数恒等变形的基本策略。（ 1 ） 常 值 代 换 ： 特 别 是 用 “ 1 ” 的 代 换 , 如 1=cos +sin=tanx ·cotx=tan45 °等。（2） 项的分拆 与角的 配凑 。如 分拆 项：sin 2x+2cos2x=sin 2x+cos2 x+cos 2x=1+cos2x。配凑角：=（ +）,=2等。2（3） 降次与升次。（ 4）化弦（切）法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 引入帮助角。 asin +bcos=a 2b 2sin + ,这里帮助角所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在象限由 a、b 的符号确定,角的值由 tan= b 确定。a2. 证明三角等式的思路和方法。（1） 思路：利用三角公式进行化名,化角,转变运算结构,使等式两边化为同一形式。（2） 证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3. 证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。4. 解答三角高考题的策略。（1） 发觉差异：观看角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。（2） 查找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系。（3） 合理转化：挑选恰当的公式,促使差异的转化。四、例题分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1已知的值.tan2 ,求（1）coscossin sin。（2）sin 2sin.cos2 cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（1） coscossin sin1sin cos1sin cos322 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin 2sin 2sincos2 cos2 sin2 cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos2cos22sin22121tan121tan12sin2sin sin 2coscos22432.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos2说明：利用齐次式的结构特点（假如不具备,通过构造的方法得到）,进行弦、切互化,就会使解题过程简化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2求函数 y1sin xcos xsin xcos x 2 的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 tsin xcosx2 sinx 2, 2 ,就原函数可化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yt 2t1t1 23 ,由于 t42, 2 ,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当t2 时, y2432 ,当 t1 时, y3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结max所以,函数的值域为 y2 3 32 。min4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3已知函数,42f x4sinx2sin 2 x2, xR 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 求f x 的最小正周期、f x的最大值及此时 x 的集合。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 证明：函数 f x的图像关于直线 x对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f x4sin 2 x2sin 2 x22sin x8212sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin 2x2cos 2x22 sin2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 所以4f x 的最小正周期 T,由于 xR,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,当 2x 2k xk 3x最大值为 22 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,即f时,428可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 证明：欲证明函数f x 的图像关于直线 x对称,只要证明对任意xR,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 f xf 8x 成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结88可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 f x2 2 sin2 x2x22 cos2 x ,2 x22 cos2x ,22 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8842f x2 2 sin2 x22 sin8842可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 f xf x 成立,从而函数f x的图像关于直线 x对称。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结88例 4 已知函数 y= 12cos2x+83 sinx ·cosx+1（ x R） ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合。（2） 该函数的图像可由 y=sinxx R的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？（解：（ 1）y= 1 cos2x+3 sinx ·cosx+1= 1 2cos 2x1+1 +32sinx ·cosx ）22444+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= 1 cos2x+3 sin2x+ 5 = 1 cos2x ·sin+sin2x · cos+ 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4= 1 sin2x+2442664+ 564可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 y 取最大值时, 只需 2x+=+2k,（ k Z）,即 x=+k,（ k Z）。626所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为 x|x=+k,k Z6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数 y=sinx 的图像向左平移,得到函数 y=sinx+ 的图像。66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原先的函数 y=sin2x+ 的图像。6（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原先的1 倍（纵坐标不变）,得到21 倍（横坐标不变）,得到2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y= 12sin2x+ 的图像。6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（iv ）把得到的图像向上平移2的图像。5 个单位长度,得到函数4y= 12sin2x+ 564可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上得到y= 12cos x+3 sinxcosx+1 的图像。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：此题是 2000 年全国高考试题,属中档偏简单题,主要考查三角函数的图像和性质。 这类题一般有两种解法： 一是化成关于 sinx,cosx的齐次式, 降22幂后最终化成 y=absin x+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。此题（ 1）仍可以解法如下：当 cosx=0 时, y=1。当 cosx0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 cos2 xy= 23 sin2x cos x1+1= 23 tan x2+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 2 xcos2 x1tan2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化简得： 2y 1tan x 3 tanx+2y 3=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanx R, =38y 12y 3 0, 解之得：3 y 744可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ymax= 7 ,此时对应自变量 x 的值集为 x|x=k +46,k Z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5已知函数f xsinxx2 xcos3 cos.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结333（）将 fx 写成 Asinx 的形式,并求其图象对称中心的横坐标。2（）假如 ABC的三边 a、b、c 满意 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x的范畴及此时函数 fx的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f x1 sin 2x3 1cos 2x 1 sin 2x3 cos 2x3sin 2 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由232 xsin32323 =0 即 2 xkk 3332z得x323k12332kz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即对称中心的横坐标为2（）由已知 b =ac3k1 , kz 2可编辑资料 - -