高考数学新增分大一轮+第二章-函数- .docx

精品名师归纳总结§ 2.7 对数函数考情考向分析对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类争论及运算才能为主，考查形式主要是填空题，难度为中低档同时也有综合性较强的解答题显现，难度为中低档1. 对数函数的定义形如 y log axa>0，a 1的函数叫作对数函数， 其中 x 是自变量， 函数的定义域是 0， 2. 对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域： 0， 值域： R性质过点 1,0，即当 x 1 时， y 0在0 ， 上是单调增函数在0 ， 上是单调减函数3. 反函数指数函数 y axa>0 且 a 1与对数函数y loga xa>0 且 a1互为反函数，它们的图象关于直线 y x 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结概念方法微摸索如图给出 4 个对数函数的图象比较a， b，c， d 与 1 的大小关系提示0< c<d<1< a<b.题组一摸索辨析1判定以下结论是否正确请在括号中打“”或“×”(1) 对数函数 y logaxa>0 且 a 1在0， 上是增函数 × (2) 函数 y ln1x与 y ln1 x ln1 x的定义域相同 1xa(3) 对数函数 y logaxa>0 且 a 1的图象过定点 1,0且过点 a,1， 1， 1 ，函数图象只在第一、四象限 4假设 am>ana>0， a 1，就 m>n.×题组二教材改编可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 P83 例 2 已知1c，3a2 3 , b log21log 121 , 就 a， b，c 的大小关系为3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案c>a>b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 0<a<1， b<0 ， clog 121 log2 3>1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 c>a>b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 P85 练习 T2 函数 ylog 2 2 x1 的定义域是3答案12， 1解析由 log 2 2 x31 0, 得 0<2 x 1 1. 1<x1.2 函数 ylog 2 x1231 的定义域是2， 1 .题组三易错自纠x4. 函数 fx log 23 a 在 ， 1上是减函数，就 a 的取值范畴是 答案1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析由已知可得a>1， 3a 0，解得 1<a 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 函数 fx log 23x 1的值域为 答案0， 解析3x>0 . 3x 1>1. log 23x 1>log 21 0.故 fx的值域为 0， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 假设 log3a4<1a>0 且 a 1，就实数 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3答案0， 4 1， 33解析当 0<a<1 时， loga4<log aa 1， 0<a<4。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a>1 时， loga34<log aa 1， a>1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 实数 a 的取值范畴是 0， 4 1， 题型一对数函数的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 1已知函数 fx|lg x|， 0<x 10，1假设 a， b， c 互不相等，且 fa f b fc ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x 6， x>10 ，abc 的取值范畴是 答案10,12解析作出函数 f x的大致图象如下由图象知，要使 f a fb fc，不妨设 0< a<b<c，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 lg alg b 1c6.2 lg a lg b 0， ab1， abc c.由图知 10< c<12， abc 10,12 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2当 0<x时， 42<log ax，就 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，答案2122解析由题意得，当 0<a<1 时，要使得 4x<log ax 0< x 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即当 0<x1时，函数2y 4x 的图象在函数 y logax 图象的下方又当x 11时，422, 即函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 y4x的图象过点122，2 .把点12， 2 代入 y logax，得 a22 .假设 0<x1时，函数 y 4x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 <a<1的图象在函数 y log x 图象的下方，就需2如下图 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 a>1 时，不符合题意，舍去所以实数 a 的取值范畴是2， 1 .2引申探究可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设本例 2变为方程 4x log1ax 在 0，2上有解，就实数 a 的取值范畴为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案0， 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解析假设方程 4x log ax 在 0， 1上有解， 就函数 y 4x 和函数 y logax 在 0，1上有交点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由图象知0< a<1，alog 1 2，2解得 0< a 2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思维升华 1 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性单调区间 、值域 最值 、零点时，常利用数形结合思想求解2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跟踪训练 1 1如图是对数函数 y log ax 的底数 a 的值分别取3， 就相应的 C1，C2， C3，C4 的 a 的值依次是43153， ，10时所对应的图象，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案34313， ， ，510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知函数 fxlog2x ，x>0，3x， x 0，且关于 x 的方程 fx x a 0 有且只有一个实根，就实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的取值范畴是 答案1， 解析如图，在同一坐标系中分别作出y fx与 y x a 的图象，其中 a 表示直线在 y 轴上的截距由图可知，当 a>1 时，直线 y xa 与 y fx只有一个交点题型二对数函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结命题点 1比较对数值的大小例 2 1 设 a log 412， blog 515，c log6 18，就 a， b， c 的大小关系为 用“ >” 连接 答案a>b>c解析a 1 log43， b 1 log53， c 1 log6 3， log 43>log 53>log 63， a>b>c.212已知a133,b143, c log3，就a，b， c 的大小关系为 用“ <”连接答案a<b<c解析由指数函数的性质可得，212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 310 1,0< b 1 31 31,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0<a3< 342可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 yx 3 递增， a<b，又由对数函数的性质可得c log3 >log3 3 1， a<b<c.命题点 2解对数方程、不等式例 3 1 方程 log 2x 1 2 log2 x 1的解为 答案x 5解析原方程变形为log2x1 log 2x 1 log 2x2 1 2， 即 x2 14，解得 x ± 5，又 x>1，所以 x 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知不等式 log x2x2 1<log x3x<0 成立，就实数x 的取值范畴是答案1， 132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析原不等式 . 0<x<1，2x2 1>3x>1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x>1 ，或2x2 1<3 x<1，解不等式组 得1<x<1，不等式组 无解32所以实数 x 的取值范畴为 1， 1 .32思维升华 对数函数的性质以定义域作为基础，要留意底数与1 的关系和 “ 同底 ”原就跟踪训练 2 1设 a log 32，b log 52，c log 23，就 a，b，c 的大小关系是用“ >” 连接 答案c>a>b解析a log 32<log 33 1， blog 52<log 55 1.又 c log 23>log 22 1，所以 c 最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 1<log 23<log 25，得 1log 23>1log25，即 a>b，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 c>a>b.2已知函数 f x x2 2x，就不等式 f log2x<f 2的解集为 答案0,1 4， 解析 二次函数 fx x2 2x 的对称轴为 x1， f0 f2 结合二次函数的图象可得log2 x<0 或 log 2x>2， 解得 0<x<1 或 x>4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 不等式的解集为 0,1 4， 题型三对数函数的综合应用例 4 已知函数fx 3 2log 2x， gx log2x.1当 x 1,4 时，求函数 hx fx 1 ·gx的值域。2假如对任意的 x 1,4，不等式 fx2 ·fx>k·gx 恒成立，求实数 k 的取值范畴解1 hx 4 2log 2x · lo2xg 2log 2x 12 2，由于 x 1,4，所以 log 2x 0,2 故函数 hx 的值域为 0,22由 f x2 ·fx> k·gx得3 4log 2x3 log2 x>k· lo2gx.令 t log2x，由于 x 1,4 ，所以 t0,2 ，所以 34t3 t>k·t 对一切 t 0,2 恒成立 当 t 0 时， k R。3 4t3 t 当 t 0,2 时， k<t恒成立，即 k<4 t t 15 恒成立，9由于 4t 99t 12，当且仅当 4t3t ，即 t 时取等号，2所以 4t 9t 15 的最小值为 3，即 k ， 3思维升华 解对数函数的综合问题，要搞清题中复合函数的构成，保证变形过程的等价性跟踪训练 3 1 假设函数 fx log2 x2 ax 3a 在区间 ， 2 上是减函数，就实数a 的取值范畴是答案 4,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析由题意得x2 ax 3a>0 在区间 ， 2 上恒成立且函数y x2 ax 3a 在 ， 2 上单调递减，就 a 2 且 22 2a 3a>0 ，解得实数 a 的取值范畴是 4,4 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 函数 fx log2x·log2 2 x 的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案 14解析依题意得 f x 1log2x· 2 2log 2x log 2x2 log2x log 2x 1 21 122 4 4，当 log 2x 1，即 x 2fx的最小值为 1422 时等号成立，所以函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 已知函数 fxa 1 x 4 2a， x<1， 1log 2x， x1，假设 fx的值域为 R ，就实数 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 答案1,2解析当 x 1 时， f x 1 log 2x1，当 x<1 时， fx a1 x 4 2a，要满意 fx的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 R，需a 1>0 ，a 1 4 2a 1，解得 a 1,2 比较指数式、对数式的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1) 比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量。有时也可用数形结合的方法(2) 解题时要依据实际情形来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，假如指数相同，而底数不同就构造幂函数，假设底数相同而指数不同就构造指数函数，假设引入中间量，一般选 0 或 1.例 1设 alog 3，b log23，c log 32，就 a， b， c 的大小关系是 答案a>b>c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析由于 alog3 >log33 1，b log23<log 221，所以 a>b，1log 23b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又c1 log 23>1， c>0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log 322所以 b>c，故 a>b>c.(2) 已知 a log23log 23， blog 29 log23，c log32，就 a，b，c 的大小关系是 答案a b>c2解析由于 a log 23 log 23 log233 3log 23>1 ， b log 29 log23 log 233 a， clog32<log 33 1， 所以 a b>c.(3) 假设实数 a，b， c 满意 loga2<log b2<log c2，就以下关系中不行能成立的是 填序号 a<b<c。 b<a<c。 c<b<a。 a<c<b.答案解析由 loga2<log b 2<log c2 的大小关系，可知a， b， c 有如下可能： 1<c<b<a。 0<a<1< c<b。 0<b<a<1< c。 0<c<b<a 中关系不行能成立(4) 已知函数 y fx 2的图象关于直线x 2 对称，且当x0， 时， fx |log2x|，假1设 af 3， b f4 ， c f2 ，就 a， b， c 的大小关系是答案b>a>c解析易知 y fx是偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x 0， 时， fx f1x |log2x|，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且当 x 1 ， 时， f x log 2x 单调递增，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4又 af 3 f3 ， b f 1 f4，所以 b>a>c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 函数 fx ln x1 x的定义域为 答案0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析由题意可得x>0， 1x 0，解得 0<x 1，故所求函数的定义域为0,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设 a， b log0.3， c log 80.4，就 a， b， c 的大小关系是 用“ <”连接 答案c<a<b解析 0<a0 1， b log0.3>log0.4 1， c log80.4<log 81 0， a， b， c 的大小关系是 c<a<b.log2x， x>0，1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知函数 fx3 x 1， x 0， 就 ff1 flog 32 的值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案5解析由题意可知f1 log 21 0，ff1 f0 30 1 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 log 3 2log 3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结flog 32 3131213，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1所以 ff1 flog32 5.4. 假设函数 gx log3ax2 2x 1有最大值 1，就实数 a.答案 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析令 hx ax2 2x 1，由于函数 gx log 3hx是递增函数， 要使函数 gx log 3ax22x 1有最大值 1，应使 hxax2 2x 1 有最大值 3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此有a<0， 4 4a>0， 4a 44a 3，1解得 a .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 设函数 fx21 x， x 1， 1 log 2x， x>1 ，就满意 f x 2 的 x 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案0 ， 2解析当 x 1 时，由 21 x 2，解得 x0，所以 0 x 1。 当 x>1 时，由 1 log2 x2，解得 x 1，所以 x>1.综上可知 x 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 已知函数 fxlnexe xe，假设 f2 0192e f2 0192 018e f2 019 1 009a b，就 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b2 的最小值为 答案2解析 fx fe x 2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e f2 019 f2e2 019 f2 018e2 019 2 018，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 009a b 2 018， a b2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a2 b2ab 222，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 a b 1 时取等号 a2 b2 的最小值为 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 假设函数 fx log a区间为x2 3x a>0，a 1在区间21， 内恒有 f x>0，就 fx的单调递增2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案0， 解析令 M x2 3x，当 x122， 时， M 1， ，由于 f x>0 ，所以 a>1，所以函数y logaM 为增函数，又 M x342916，因此 M 的单调递增区间为 ， .34又 x 232x>03，所以 x>0 或 x< ，2所以函数 f x的单调递增区间为0， 8已知函数 fx log a8 axa>0，且 a 1，假设 fx>1 在区间 1,2 上恒成立，就实数a 的取值范畴是答案81， 3解析当 a>1 时， f x log a8 ax在 1,2 上是减函数，由f x>1 在区间 1,2 上恒成立，就 fxminlog a8 2a>1，且 8 2a>0，解得 1<a<8.3当 0<a<1 时， fx在1,2 上是增函数，由 fx>1 在区间 1,2 上恒成立，知 fxminlog a8 a>1 ，且 8 2a>0. a>4，且 a<4，故不存在8综上可知，实数 a 的取值范畴是1，3 .9. 设实数 a， b 是关于 x 的方程 |lg x|c 的两个不同实数根，且a<b<10，就 abc 的取值范畴是答案0,1解析由题意知，在 0,10 上，函数 y |lg x|的图象和直线 y c 有两个不同交点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ab1,0< c<lg 10 1， abc 的取值范畴是 0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x10. 已知函数 fx ln，假设 fa fb 0，且 0<a<b<1，就 ab 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x1答案0， 4解析由题意可知lna lnb 0，1 a1 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab即 ln×a 0，从而b× 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 a1 b1 a1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化简得 a b 1，故 ab a1 a a2 a a1 212 4，又 0<a<b<1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 0<a<10< a 12 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2，故24<4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11设 fx log a1x log a3 xa>0，且 a 1，且 f1 2. 1求 a 的值及 fx的定义域。32求 f x在区间 0， 2 上的最大值解1 f1 2， loga4 2a>0，且 a1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x>0 ， a3 x>0 ，得 1<x<3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 函数 fx的定义域为 1,3 2f x log 21 xlog 23 x log 21 x3 x log2 x 12 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 x 1,1 时， fx是增函数。 当 x 1,3时， fx是减函数，3故函数 fx在 0，2 上的最大值是 f1 log2 4 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 已知函数 fx是定义在 R 上的偶函数， f0 0，当 x>0 时，f xlog 1 x.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求函数 fx的解析式。 2解不等式 f x2 1> 2. 解1 当 x<0 时， x>0，就 f xlog 1 x2由于函数 f x是偶函数，所以 f x fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 x<0 时，f xlog 1 2x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以函数 f x的解析式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log 12f x0, xx, x0,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log 1 2x, x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 由于f 4log 1 42 ， fx是偶函数，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以不等式 fx2 1> 2 可化为 f|x2 1|>f4 又由于函数 fx 在0， 上是减函数，所以 0<|x2 1|<4，解得5<x<5且 x ±1， 而 x2 10 时， f0 0> 2，所以5<x<5. 所以不等式的解集为 5， 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 已知 a，b>0 且 a 1， b 1，假设 log ab>1，就以下结论正确的选项是号 a 1 b 1<0 。 a 1 a b>0 。 b 1 b a<0 。 b 1 b a>0.答案 填序可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析由 a， b>0 且 a 1， b 1，及 log ab>1 log aa 可得，当 a>1 时， b>a>1，当 0<a<1 时，0<b<a<1，代入验证只有 满意题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 已知函数 f x log2x a在区间 1， 2上恒有 fx>0，就实数 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a233答案1， 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析当 0<a<1 时，函数 fx 在区间12 上是减函数，所以log a3，2