高中数学必修知识点总结与练习 .docx

精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结必修 1 学问点第一章集合与函数概念名称【1.1.1】集合的含义与表示（ 8）交集、并集、补集记号意义 x | xA, 且【 1.1.3 】集合的基本运算示意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB（1）集合的概念交集集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法表示正整数集,AB性质（ 1） AAA（2） ） A（3） ） ABAABB（ 1） AAA（ 2） AA（ 3） ABAABBxB x | xA, 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N 表示自然数集,N或 N（ 3）集合与元素间的关系Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集 .并集ABABxB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一.（ 4）集合的表示法1 A e U A2 A e U A U可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.补集列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.eU A x | x U , 且 xA痧A B UA) . BUU可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结痧A BA. B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集.UUU【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含肯定值的不等式的解法不等式解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）子集、真子集、集合相等【1.1.2】集合间的基本关系| x | aa0 x | axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名称记号意义性质示意图| x |aa0x | xa 或 xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子集真子集AB（或BAAB（或 BA）A中的任一元素都属于 BAB ,且 B 中至少有一元素不属于 A(1) AA23 如 AAB且BC,就AC4 如 AB且BA,就AB（ 1 ）A （ A 为非空子集）(2) 如 AB 且 BC,就 ACABBA或BA| ax b | c,| ax b | cc0（ 2）一元二次不等式的解法判别式b2,把 ax b 看 成 一 个 整 体 , 化 成 | x |a| x | aa0 型不等式来求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4ac000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结集合A中的任一元素都属AB于 B , B 中的任一元相等素都属于 A(1) AB(2) BAAB二次函数y ax 2bxca0O的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 7）已知集合 A 有 nn1 个元素,就它有2n 个子集,它有2n1 个真子集,它有2 n1 个非空子集,它有2 n2非空真子集 .一元二次方程bb 24acx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax 2bx c 0a 01,22ax1x2b 2a无实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的根（其中x 1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2bxc0a0b x | x x 1 或 xx 2 x | xR观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法： 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的解集2a判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a yx 2b yxc y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2bxc0a0的解集（ 1）函数的概念 x | x 1xx2 1.2 函数及其表示【 1.2.1 】函数的概念就在 a y0 时,由于 x, y 为实数,故必需有b2 y4a y c y0 ,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的 最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A 、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合 B 中都有唯独确定的数f x 和它对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A 到 B 的对应法就f ）叫做集合A 到 B 的数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个函数,记作f : AB （ 5）函数的表示方法【 1.2.2】函数的表示法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的三要素: 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（ 2）求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1 ytan x 中, xkkZ 2零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知f x 的定义域为 a,b ,其复合函数f g x 的定义域应由不等式 ag xb 解出对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大） 数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函 数值域与最值的常用方法：表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应 关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映射的概念设 A 、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的映射,记作f : A B 给定一个集合A 到集合 B 的映射,且aA, bB 假如元素a 和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）函数的单调性定 1.3 函数的基本性质【 1.3.1】单调性与最大（小）值假如对于函数fx 定义域内（ 1 ）利用定义（要先任意一个 x ,都有 f x= fx,判肯定义域是否关于那么函数 fx叫做偶函数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义及判定方法函数的定义性 质图象判定方法原点对称）（ 2 ）利用图象（图象关于 y 轴对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 x 2 , 当 x 1< x 2 时,都有 fx 1 <fx 2 , 那 么 就 说fx在这个区间上是增函数 yy=fXfx 1 ofx 2 （ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象 （在某个区间图如函数 f x 为奇函数,且在x0 处有定义,就f 00 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的单调性x 1x 2x象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 1）作图利用描点法作图：补充学问函数的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x 2 ,当 x 1 < x 2 时,都有 fx 1 >fx 2 , 那 么 就 说fx在这个区间上是减函数 yy=fXfx 1 fx 2 ox1x2 x（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数确定函数的定义域。化解函数解析式。争论函数的性质（奇偶性、单调性）。画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图 象平移变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减 函数减去一个增函数为减函数yf xh 0,左移h 个单位右移yf x h yf xk0,上移k 个单位下移yf x k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,如对于复合函数yf g x,令 ug xyf u为增,ug x为增,就yf g x为增。伸缩变换h0,伸01,| h|个单位k0,缩0A 1,| k |个单位可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 yf u 为减 , ug x 为 减 , 就 yf gx 为增 。 如 yf u 为 增 , ug x 为 减 ,就yf g x 为减。如 yf u 为减, ug x 为增,就 yf g x 为减yf x对称变换yf x缩yf xyf x1,轴xyf xyf x伸A 1,轴yyyAf xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）函数的奇偶性定义及判定方法函数的【 1.3.2】奇偶性原点yf xyf x直线 y x1yf xyf xyfx去掉 y 轴左边图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义图象判定方法性 质假如对于函数fx 定义域内（ 1）利用定义（要先任意一个x,都有 f x= yf x（ 2）识图保留 y 轴右边图象,并作其关于y轴对称图象保留 x 轴上方图象y| f x |yf | x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结判肯定义域是否关于将 x 轴下方图象翻折上去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的奇偶性fx,那么函数 fx叫做奇函数原点对称）（ 2）利用图象（图象关于原点对称）对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（ 3）用图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数图象形象的显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题 结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）根式的概念其次章基本初等函数 【 2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 4）指数函数函数名称定义【2.1.2】指数函数及其性质指数函数函数 ya x a0 且 a1 叫做指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如n,1 ,且xaa R x R nn N,那么叫做x的次方根当an是奇数时,n的次方ana10a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 表示,负的n 次方根用符号a 表示。 0根用符号 n a 表示。当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 nn的 n 次方根是 0。负数 a 没有 n 次方根yya xya xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式子 n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数当a0 n 为奇数时,a 为任意实数。当n 为偶数时,图象y 1y 10,10,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根式的性质： n a na 。当 n 为奇数时, n ana 。当 n 为偶数时, n an| a |aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）分数指数幂的概念m正数的正分数指数幂的意义是：nnm 0, , 且 naa01 0 的正分数指数幂等于0定义域值域OxOxR0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaam n N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m正数的负分数指数幂的意义是：a nm1 nn 1ma0,m, nN , 且 n 1 0的负分数指过定点图象过定点0,1,即当x0 时,y 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa数幂没有意义留意口诀： 底数取倒数,指数取相反数（ 3）分数指数幂的运算性质 ar asar s a0,r , s R ar sars a 0, r , s R奇偶性单调性非奇非偶在 R 上是增函数在 R 上是减函数ax1 x 0ax1 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 rrr 0,0,函数值的ax1 x 0ax1 x 0变化情形ax1 x 0ax1 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba babrRa 变化对图象的影响在第一象限内,a 越大图象越高。在其次象限内,a 越大图象越低 2.2 对数函数【 2.2.1 】对数与对数运算（1） ）对数的定义x如aN a0,且 a1 ,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作xlog a N ,其中 a 叫做底数,N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互x化：loga NaxN a0, a 1, N0（2） ）几个重要的对数恒等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log a 1 0 , log a a 1 , log a a（ 3）常用对数与自然对数常用对数：,即lg Nlogbb 函数值的变化情形log alog alog aa x0 x1x0 x1logx0 x1logx0 0x 1loga x0 x1a x0 0x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10N 。自然对数：ln N ,即 log e N （其中 e2.71828 , ） （ 4）对数的运算性质假如 a0, a 1,M0, N0 ,那么a 变化对图象的影响在第一象限内,a 越大图象越靠低。在第四象限内,a 越大图象越靠高 2.3 幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法：loga Mloga Nlog a MN 减法： log a Mlog a Nlog aMN（ 1）幂函数的定义一般的,函数yx 叫做幂函数,其中x 为自变量,是常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数乘： n log a Mlog a M n nR alog a NNnn换底公式：log b N log ab Mlog a M b 0, nRlog a Nb0, 且 b 1（ 2）幂函数的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b（ 5）对数函数函数名称【 2.2.2 】对数函数及其性质对数函数log b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义函数 y log a xa 0 且 a1 叫做对数函数a 10a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1yylog axx1yy log a x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象1,0O1,0xOx（3） ）幂函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 图象分布： 幂函数图象分布在第一、二、三象限, 第四象限无图象幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限 图象关于 y 轴对称 。是奇函数时,图象分布在第一、三象限图象关于原点对称 。是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域0,值域过定点图象过定点1,0R,即当x1 时,y0奇偶性非奇非偶单调性在 0, 上是增函数在0, 上是减函数限 过定点：全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1 单调性：假如0 ,就幂函数的图象过原点,并且在 0, 上为增函数假如0,就幂函数的图象在0,上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与 y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性：当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数当（其中 p, q 互质, p 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结qqqZ ）,如 p 为奇数 q 为奇数时,就yx p 是奇函数,如p 为奇数 q 为偶数时,就yx p 是偶函数,如p 为偶q就比较区间端点函数值来确定。一、方程的根与函数的零点第三章函数的应用, 把 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 q 为奇数时,就yx p 是非奇非偶函数1 、 函 数 零 点 的 概 念 ： 对 于 函 数 y f x xD yf x xD 的零点。f x0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象特点：幂函数y x , x0, ,当1 时,如 0x1 ,其图象在直线yx 下方,如 x1 ,其2、函数零点的意义：函数 yf x 的零点就是方程f x0 实数根, 亦即函数 y交点的横坐标。即：f x的图象与轴x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图象在直线 yx 上方,当1 时,如 0x1,其图象在直线yx 上方,如 x1 ,其图象在直线yx 下方补充学问二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式方程 f x0 有实数根函数 yf x 的图象与 x 轴有交点函数 yf x 有零点3、函数零点的求法：的零点：求函数 yf x1 （代数法）求方程f x0 的实数根。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般式：f x ax2bxc a0 顶点式：f x a x h 2k a 0 两根式： （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数找出零点4、二次函数的零点：二次函数yax2bxca0 yf x 的图象联系起来,并利用函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x a x x 1 xx2 a0（ 2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时,宜用一般式）,方程零点ax2bxc0 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式如已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求（ 3）二次函数图象的性质更便利f x）,方程ax 2bxc0 有两相等实根（二重根）,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点）,方程ax 2bxc0 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数 f xax2bxc a0 的图象是一条抛物线,对称轴方程为xb , 顶点坐标是2ab4ac b 2,2a4ab当 a0 时,抛物线开口向上,函数在, 上递减,在 b, 上递增,当xb 时,2a2a2afmin x4acb2 。当 a0时,抛物线开口向下,函数在,b 上递增,在 b , 上递减,当4a2a2ab4acb2x时, f max x2a4a二次函数 f xax2bxc a0当b24ac0 时,图象与x 轴有两个交点M1 x1 ,0,M 2 x 2,0,|M 1M 2 | | x 1x2 |a|（ 5）二次函数f xax2bxca0 在闭区间 p, q 上的最值：要争论对称轴与定义域区间的位置。当对称轴在定义域区间外时,函数最值在区间端点处取得。当对称轴在区间内时,函数其中一个最值在顶点出取得,另一个可编辑资料 - - - 欢迎下载