高中数学经典解题技巧和方法数列求和及综合应用.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学经典的解题技巧和方法（数列求和及综合应用）【编者按】 数列求和及综合应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末仍是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士训练网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了详细的解题技巧和方法，期望能够帮忙到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下数列求和及综合应用的经典解题技巧。第一，解答数列求和及综合应用这两个方面的问题时，先要搞清晰以下几个方面的基本概念性问题，同学们应当先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1明白数列求和的基本方法。2能在详细问题情形中识别数列的等差、等比关系，并能用有关学问解决相应问题。3明白等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。好了， 搞清晰了数列求和及综合应用的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的详细的解题技巧。一、可转化为等差、等比数列的求和问题考情聚焦： 1可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。2 该类问题出题背景挑选面广，易与函数方程、递推数列等学问综合，在学问交汇点处命题。3多以解答题的形式显现，属于中、高档题目。解题技巧： 某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：1 凑配、消项变换如将递推公式（ q、d 为常数， q 0 ， 1）。通过凑配变成。或消常数转化为2 倒数变换如将递推公式（ c 、d 为非零常数）取倒数得3 对数变换如将递推公式取对数得4 换元变换如将递推公式（ q 、 d为非零常数，q 1 ， d 1 ）变换成，令，就转化为的形式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1：（ 2021·福建高考文科·7） 数列 a中 a 1 ，前 n 项和S 满意n 1S- S 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1n33（ nN * ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 I 求数列 an 的通项公式an 以及前 n 项和Sn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II ）如 S1, t S1+S2 , 3 S2+S3 成等差数列，求实数t 的值。【命题立意】此题考查数列、等差数列、等比数列等基础学问，考查运算求解才能，考查函数方程思想、化归转化思想。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【思路点拨】第一步先求a n 的通项，可知a n 为等比数列，利用等比数列的前n 项和求解出Sn 。其次步利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用等差中项列出方程求出t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【规范解答】I 由 SSn 11得 an 1311nN，又 a1 ，故 ann331 nN，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3n 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 Snn111nN23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1413可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II ）由 I S1, S2, S3, 从而由 S1, t S1+S2 , 3 S2+S3 成等差数列可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3927141314可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32392739t, 解得 t2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【方法技巧】要求数列通项公式，由题目供应的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项。题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结目要求的是项的问题，这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般的，含有Sn 的递推关系式，一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结般利用 anS1,SnSnn1 , n1化“和”为“项” 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、错位相减法求和考情聚焦： 1 错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。2 该类问题背景挑选面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等学问综合，在学问交汇点处命题。3 多以解答题的形式显现，属于中、高档题。解题技巧： 几种求通项及求和方法（ 1）已知，求可用叠加法，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）已知，求可用叠乘法，即（ 3）设 为等差数列，为等比数列，求数列的前 n 项和可用错位相减法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2：（ 2021 ·海南宁夏高考·理科T17） 设数列an满意a12 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 求数列an的通项公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（） 令 bnnan ，求数列bn的前 n 项和Sn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【命题立意】此题主要考查了数列通项公式以及前n 项和的求法，解决此题的关键是认真观看形式，找到规律，利用等比数列的性质解题.【思路点拨】由给出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前n 项和 .【规范解答】 （ 由已知，当n1时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1 an 1an anan 1 a2a1 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322n 12 2 n 32222 n1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 a12 ，满意上述公式，所以an的通项公式为an22n 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由bnnann22 n1可知，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ns12223325n2 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n从而22 s123225327n2 2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得12 s2n2222n 12n2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结35212n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即Sn3n9122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和.三、裂项相消法求和考情聚焦： 1 裂项相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。2 该类问题背景挑选面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等学问综合，在学问交汇点处命题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3 多以解答题的形式显现，属中、高档题目。解题技巧： 裂项求和的几种常见类型（ 1）。（ 2）。（ 3）。（ 4）（ 5）如是公差为d 的等差数列，就。（ 6）。（ 7）（ 8）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3：（2021·山东高考理科·18） 已知等差数列an满意：a37 ， a5a726 ，an的前n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结项和为Sn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求a 及 S 。（ 2）令 b1 n*，求数列b 的前 n 项和 T 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1nnn2N nnn【命题立意】此题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和, 考查了考生的逻可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结辑推理、等价变形和运算求解才能.【思路点拨】1 设出首项和公差，依据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求an 及Sn 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由 1 求出bn 的通项公式，再依据通项的特点挑选求和的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【规范解答】 （ 1）设等差数列an的公差为d，由于a37 ， a5a726 ，所以有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1 2a12d7 10d，解得26a13,d2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 an3（2 n1=2n+1 。 Sn =3n+nn-1 212 = n +2n .2111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由（ 1）知 an2n+1 ，所以 bn=2an=2=1 （2n+114nn+1=- ，4nn+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n所以 T = 11-1 + 11 + 1 -1 = 11-1=n，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4223nn+14n+14n+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即数列b的前 n 项和 T =n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn4n+1【方法技巧】数列求和的常用方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，留意对公比q1 的争论 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾如干项，留意一般情形下剩下正负项个数相同.5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广.四、与不等式有关的数列问题考情聚焦： 1数列综合问题，特殊是数列与不等式的综合问题是高考中常常考查的重要内容。2该类问题可与函数的单调性、基本不等式、导数函数等学问交汇，综合命题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3多以解答题的形式显现，属高档题。例 4：（ 2021·天津高考文科·22）在数列an中，a1 =0，且对任意kN * ，a2k 1 ,a 2k ,a 2k+1 成等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结差数列，其公差为2k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）证明a4 ,a 5 ,a 6 成等比数列。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求数列an的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）记 Tn2232a2a3n23，证明an22nTn（2 n2）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础学问，考查运算才能、推理论证才能、综合分析和解决问题的才能及分类争论的思想方法【思路点拨】 （）（）应用定义法证明、求解。（）对n 分奇数、偶数进行争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【规范解答】 （ I ）由题设可知，a2a122 ， a3a224 ， a4a348 ， a5a4412 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa618 。从而 a6a53 ，所以a ， a ， a 成等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结65a5a42456可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II ）由题设可得a2k 1a2 k14 k, kN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 a2k 1a1a2 k 1a2k 1a2 k 1a2k 3. a3a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4k4 k1.412kk1 , kN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 a0 ，得 a2kk1 ，从而 aa2k2k 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 k 12 k2 k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n212, n为奇数n211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2所以数列an的通项公式为ann, n为偶数或写为 an24， nN * 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ III）由（ II ）可知a2 k 122kk1， a2k2k 2 ，以下分两种情形进行争论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当 n 为偶数时，设n=2mmN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 m1，就 2nnk222k 2 ak2 ，如 m2 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nk2m2km 12k1m 4 k 2m 1 4 k24k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa2 k 22kk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 2kk 12kk 12 k 1k 1k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 14k 24k12mm 12m2111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 12kk1 2kk1k 12kk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2m2 m11112 n31 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2nk所以 2n2m31 ，从而 32n2 n2nk2,n4,6,8,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 2 ak2n2k 2 ak可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）当n 为奇数时，设n2m1mN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nk22m k 222m1314m22m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 2 akk 2 aka2 m 122m2mm1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4m112n3122 m12n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 2nnk 231，从而 32nnk22,n3,5,7,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 2 ak2n12k 2 ak可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综合（ 1）和（ 2）可知，对任意n2, nN *,有 32nT2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载