高中数学解题方法之分离变量法 .docx

精品名师归纳总结别离变量法别离变量法是近年来进展较快的思想方法之一. 高考数学试题中，求参数的范畴经常与分类争论、方程的根与零点等基本思想方法相联系. 其中与二次函数相关的充分表达数形结合及分类思想方法的题目最为常见. 与二次函数有关的求解参数的题目,相当一部分题目都可以躲开二次函数 , 使用别离变量 , 使得做题的正确率大大提高. 随着别离变量的广泛使用, 越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.别离变量法：是通过将两个变量构成的不等式 方程 变形到不等号 等号 两端，使两端变量各自相同 , 解决有关不等式恒成立、不等式存在有解和方程有解中参数取值范畴的一种方法 . 两个变量，其中一个范畴已知，另一个范畴未知.解决问题的关键 : 别离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题 . 别离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循 . 以下定理均为已知 x 的范畴，求 a 的范畴：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1不等式f xg a 恒成立f xming a求解f x 的最小值。不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式 f xg a 恒成立f xmaxg a 求解f x 的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 2不等式f xga 存在解f xmaxga求解f x 的最大值。不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等式 fxga 存在解f xminga 即求解f x 的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 3方程f xg a 有解g a 的范畴f x 的值域求解f x 的值域 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解决问题时需要留意： 1确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个。2确定是求最大值、最小值仍是值域.再现性题组：1、已知当 xR 时，不等式 a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、假设 fx=x23x3 在 x1,4 上有f xx2a1 恒成立，求 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、假设 fx=x23x3 在 x1,4 上有f xx2a25a1恒成立，求 a 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结围。4、假设方程 4 x2 a 2 x10 有解，恳求 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、已知 y1 x31 ax2x1 是 0, 上的单调递增函数，就a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. a320B .2a2C . a2D . a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、求使不等式asin xcos x, x0, 恒成立的实数 a 的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再现性题组答案：1、解：原不等式4sin xcos 2 xa5 当 xR 时，不等式 a+cos2x<5-4sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结恒成立a+5 >4sinx+cos2x max，设 fx= 4sinx+cos2x就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx= 4sinx+cos2x=2sin2 x+4sinx+1=2sinx12 +3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a+5>3a<2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、解：x23 x3x2a1 恒成立，即2 ax24 x2 在 x1,4 上恒成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需 2a x24x2min，解得 a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、解： x23 x3x2a25a1 在 x1,4 上恒成立2a 25ax24 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 x1,4 上恒成立2a 25a31a32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、解 :令 t2xt>0 ，就 t 22at102at12a1t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、解： y 'x2ax1 0 在 0,上恒成立ax1 x在 0, 上恒成立a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、解：由于函 asin xcos x2 sin x, x4344 , 4 ，明显函数有最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值2 ，a2 。示范性题组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.已知函数fxx2ax1, x0,1 , 且 |fx |3 恒成立 , 求 a 的取值范畴 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】法一 二次函数 : 问题转化为不等式组xax13, xx2ax130,1 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx2ax1在 x0,1 上的最大值与最小值以对称轴与定义域端点进行比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2分类 , 争论单调性 . 正确率较低 .法二 别离变量 : 问题转化为4x2x2a在 x0,1 上恒成立 除 x 时留意符号 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由定理 1 得4x2 xamax2x2xmin. 求相应函数最值 , 正确率较高 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 已知函数增f x1 ax 222 xa0, g xln x.假设hxf xg x存在单调递可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间，求 a 的取值范畴 .ax22x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】问题转化为有解 .h 'x0在 xx0 上有解 , 即 ax 22 x1 0 在 x0 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：法一 二次函数 : 此题f 010 , 分类是只需留意开后和轴, 较为简捷 . 正确率不高 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结缘由在于没有留意特别点, 将问题分为 1 解,2 解, 想得过于复杂 .12 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二 别离变量 : 问题转化为a12x2在 xx0 上有 存在 解由定理1.2得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2xmin. 求解相应范畴上的最小值, 正确率较高 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 已知 a 是实数， 函数点，求 a 的取值范畴 .f x2ax22x3a. 假如函数yf x 在区间 1,1 上有零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【分析】方法一 根的分布 : 这个题目是一个标准的根的分布问题, 解题时需要考虑 :开口方向, 判别式 , 对称轴 , 特别点的函数值 . 解题时需要分为大3 类, 小 5 类. 同学能够部分得分, 很难列出全部不等式组 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二 别离变量 : 问题转化为2ax 22 x3a0 在 x1,1 上恒有解别离变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结量得 a32 x , x1,2 2 ,2 2 ,1 有解由定理 1.3得只需求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x212222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 g x32x 在 x1,2 2 ,2 2 ,1 上的值域即可 ,2 单独可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2122222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考虑 . 此法思维两较小 , 运算量较二次函数略大 , 得分率略有增加 ./通过对上述三道题目解答过程中显现的两种做法的比较 ,不难体会到 ,别离变方法的优越性:思维量小 ,过程简捷明快 ,思维严谨性的要求有所降低 .不足之处 :个别时候 ,别离后产生的函数 ,在求解其最值或值域时运算量较大 .总体来说 ,多数时候 ,应优先使用别离变量法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4、已知函数f xx33ax1 的导函数为f x ，g xf / xax3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1假设x g / x60 对一切 x2 恒成立，求实数 a的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设对满意 0a1 的一切 a 的值，都有gx0 ，求实数 x 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：1f / x3x23ag x3x23aax3g / x6xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 6x2ax 660 对一切 x2 恒成立即 a6 x/6对一切 xx62 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记 h x6 x，就在 xx2 上 ah x 恒成立，h x62 在 xx2 上恒大于 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结h x6 x6 在 x2 上单调递增， xhxminh215a15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2即gx3x23aax3 对一切 0a1恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 x3 ，就g x3x23aax3240 不满意x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 x3 ，就 a33x2对一切 0a1恒成立33x2110x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 x3 ，就 a33x2对一切 0a1恒成立33x2033 x20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x3x1x1x综上所述： 0x13稳固性题组：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、已知函数 fxlgxa2 ，假设对任意 x2,x恒有 fx0 ，试确定 a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、已知 x,1 时，不等式1 2xaa 24x0 恒成立，求 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、已知函数f xx2xx4 ,g xxax7 . 假设对任意的x0, 都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结322f 'xg x ，求实数 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、设函数f x1 x331a x24ax24a ，其中常数 aR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1当 a1 时，求函数f x 的单调区间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2假设 x3 时，f ' x0 恒成立，求实数 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、在ABC中，已知求实数 m的范畴。f B4 sinB sin 2 4B cos 2B, 且 | 2f Bm |2 恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、求使不等式asin xcosx, x, 344 恒成立的实数 a 的范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 xa 4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、设f xlg,其中 aR ，假如 x 3.1 时，f x 恒有意义，求 a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、设函数是定义在 , 上的增函数，假如不等式f 1axx2 f 2a 对于任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结意 x0,1 恒成立，求实数 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结别离变量法稳固训练题答案：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、解：依据题意得：xa21 在 x2,x上恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： ax23x 在 x2,上恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 fxx23x ，就2fxx3924可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x2 时，fx max2所以 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、解：令 2xt ，x,1t0,2所以原不等式可化为：a2at1t2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要使上式在 t0,2上恒成立，只须求出ftt1t2在 t0,2上的最小值即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11111111ttt24t222ftt,t 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ftf23a 2a31a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结min4422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、解：f 'xg x 即 3x24x1x2ax7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax2 x24x8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 x0 ，就 08 恒成立，aR888可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 x0 ，就 a2 x4 ， 又x2 x422 xxx412 ，a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述：4、解：1a12f xx221ax4ax2 x2a ，又 a1 ，由 f x0 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x,22 a, ，由 fx0 得 2x2 a ，因此f x 的单调增区间有 , 2 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 a, ， f x 的单调减区间有 2, 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x3 时，f 'x0 恒成立x3 时，x221a x4a0 恒成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3 时， x2 x2a0 恒成立x3 时， 2ax 恒成立，2a3a32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、解 :f B4 sinB sin 2 4B cos 2 B 22 sin B1,0B,sin B0,1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f B1,3 ，| f Bm |2 恒成立，2f Bm2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mf B即mf B2恒成立，2m1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、解：由于函 asin xcos x2 sin x, x440, ，令 y2sin xcos x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就由于 ysin xcos x的最大值取不到2 ，即 a 取 2 也满意条件，所以a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、解：假如 x.1 时，f x恒有意义12 xa 4 x0 ，对 x,1 恒成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 xx2xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a4x22 x.1恒成立。令 t2， gttt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 x.1 就t1, 2agt 对t1 ,2 恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 gt 在t1, 上为减函数， 2gt max133g， a。244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、分析：此题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1 axx22 a 对于任意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0,1恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：fx 是增函数f 1axx2 f 2a 对于任意 x0,1 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1axx22a 对于任意 x0,1 恒成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2ax1a0 对于任意 x0,1 恒成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 gxx2ax1a ， x0,1 ，所以原问题g xmin0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g0,a01a,a02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 gxminga,222,aa0 即2g xminaa42,a1, 2a02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易求得 a1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载