高中数学必修空间几何典型例题及讲解.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数学必修 2 第一章一、学习目标：1. 熟识柱、锥、台、球及其简洁组合体的结构特点，并能运用这些特点描述现实生活中简洁物体的结构。2. 能画出简洁空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。二、重点、难点：重点： 空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特点。空间几何体的三视图与直观图的画法。难点： 柱、锥、台、球结构特点的概括。识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面绽开图，运算组合体的表面积和体积。三、考点分析：三视图是新课程改革中显现的内容，是新课程高考的热点之一，几乎每年都考， 同学们要予以足够的重视。在高考中常常以挑选、填空题的形式显现，属于基础或中档题，但也要关注三视图以供应信息为目的，显现在解答题中。 这部分学问主要考查同学的空间想象才能与运算求解才能。1. 多面体棱柱、棱锥、棱台2. 旋转体圆柱、圆锥、圆台、球3. 三视图（ 1）正视图、侧视图、俯视图（ 2）三种视图间的关系4. 直观图水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4. 多面体的面积和体积公式名称侧面积（ S 侧 ）全面积（ S 全）体 积（ V ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结棱棱柱直截面周长 ×lS 侧+2S 底S 底·h=S 直截面 ·h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结柱直棱柱chS 底·h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结棱锥各侧面面积之和棱11S 侧+S 底3 S 底 ·h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结锥正棱锥ch 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结棱台各侧面面积之和棱11S 侧+S 上底 +S 下底3hS 上底 +S 下底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结台正棱台2c+c h +S上底S下底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表中 S 表示面积， c 、c 分别表示上、下底面的周长，h 表示高度， h表示斜高， l 表示侧棱长。5. 旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S 侧2 rl rl 1r+r 2l2S 全2 rl+r rl+r 1r+r 2l+ 21r+r224R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结V2h2l ）12rh12 hr +r r+r2 R3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r（即 r311 22433可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表中 l、h 分别表示母线长、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径， r1、r2 分别表示圆台上、下底面的半径，R 表示半径。学问点一柱、锥、台、球的结构特点例 1. 以下表达正确选项（）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。两个底面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台。有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。通过圆锥侧面上一点，有很多条母线。以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。A.B. C.D. 思路分析 ：遇到概念判定问题，肯定要在懂得透彻相关概念的基础上，认真分析，假如判定它是正确的，必需能紧扣定义，而不是模棱两可的去作判定。假如判定它是错误的，只需找到一个反例即可。解答过程 ：如下列图，由图（1）可知是错误的。由图（2）可知是错误的。由图（3）可知是错误的。由图（4）可知是错误的。由于通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有很多条母线。 ”是错误的，即是不正确的。以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的应当是球面，半圆面旋转一周形成的才是球体。所以是错误的。所以只有是正确的。故应选D。解题后的摸索：在作判定的时候没有严格的依据定义进行多角度分析，而是只抓住定义中的某一点就作出判定，简洁导致错误。学问点二组合体例 2. 如图，以下组合体是由哪几种简洁几何体组成的？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解答过程：（ 1）由一个三棱锥和一个四棱锥组成，为左右结构（ 2）由两个三棱锥组成，为上下结构（ 3）由圆锥和圆台组成，为上下结构学问点三柱、锥的侧面绽开图例 3. 小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是： A 、B 、C、D、E、F， 其平面绽开图如下列图，那么在该正方体盒子中，和“ A ”相对的面所写的字母是哪一个？思路分析 ：在每个格子中标明你所想象的面的位置，如将A 格标明“上”，将 B 格标明 “前”等等。解答过程： 为字母“ E”解题后的摸索：此题突出考查了同学将正方体各面绽开图复原为正方体的空间想象才能。例 4. 如下列图，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出 A ，B ，C，D，E，F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所观察的表面上的字母已标明，就字母 A ， B， C 对面的字母分别是（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -A. D ，E， FB. F ， D， EC. E， F， DD. E ， D， F思路分析 ：此题处理方法比较敏捷，要将几个图结合起来一起分析。解答过程 ：由（ 1）（2）两个图知， A与 B， C，D相邻，结合第（3）个图知， B， C与 F 共顶点，所以A 的对面为F，同理 B， C 的对面分别为D， E，故挑选B。解题后的摸索：此题考查推理才能以及空间想象才能。也可先结合图（1）（ 3）进行判断。例 5. 用长和宽分别是3和的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的底面半径？思路分析 ：要留意哪条边是圆柱的母线，哪条边是圆柱底面的圆周。解答过程 ：设圆柱底面圆的半径为r ，由题意可知矩形长为底面圆的周长时，32 r ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 r3 。矩形宽为底面圆的周长时，212 r ，解得r1 。故圆柱的底面半径为3 或22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结。2解题后的摸索：此题同学常常会丢解，即主观认为只有图中所示的情形，即以3作为底面周长，而忽视了它也可作为母线这种情形。学问点四旋转体中的有关运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6. 一个圆台的母线长12cm，两底面面积分别为4 cm2 和 25 cm2 ，求：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）圆台的高。（ 2）截得此圆台的圆锥的母线长。思路分析 ：通过作截得此圆台的圆锥的轴截面，构造直角三角形与相像三角形求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程 ：（ 1）作A1HOA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r 24r2R 225R5AH3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1 H12232315可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）VA1O1 与VA O 相 似可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VA1 VAA1 O1 AO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结VA20解题后的摸索： 通过构造旋转体的轴截面，将立体问题转化为平面问题。例 7. 已知球的两个平行截面的面积分别为5和 8，且距离为3，求这个球的半径。 思路分析 ：两截面的相互位置可能显现两种情形，一种是在球心O 的同侧，另一种是在球心 O 的异侧。解答过程 ：（ 1）当两截面在球心O 的同侧时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如下列图，设这两个截面的半径分别为的半径为 R。r1, r2 ，球心O 到截面的距离分别为d1 , d 2 ，球可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2r15,225, r 28。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r2d8,r21rR又22211ddrr222212212d 2 ，r223 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 d1d 2 d1d 2 3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又d1d 23 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d1d 2d1d 23,d12,解得1,d 21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又d20,这种情形不成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当两截面在球心O 的异侧时，d1d 23 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由上述解法可知d1d2 d1d 2 3 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d1d 2d1d 23,d12,解得1,d21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d22Rr11543 。综上所述，这个球的半径为3。解题后的摸索：同学们要留意不要只对同侧的情形进行争论，而忽视对另一种位置关系的争论。学问点五画几何体的三视图例 8. 画出如下列图的三棱柱的三视图。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -思路分析 ：在正视图中， 中间的竖线看不到，应画成虚线。 侧视图是从左侧看三棱柱投射到竖直的正对着的平面上的正投影， 所以不是三棱柱的一个侧面， 而应当是过底面正三角形的一条高线的矩形。解答过程 ：解题后的摸索： 画三视图的时候要做到“长对正、宽相等、高平齐”，仍要留意实线与虚线的区分。学问点六三视图中的估计问题例 9. 依据以下三视图，说出各立体图形的外形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -思路分析 ：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。正视图反映物体的主要外形特点， 主要表达物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和正视图共同反映物体的长相等。侧视图和俯视图共同反映物体的宽相等。据此就不难得出该几何体的外形。解答过程 ：（ 1）圆台。（ 2）正四棱锥。 （3）螺帽。解题后的摸索：三视图的画法里要留意“长对正”，“高平齐”，“宽相等”，另外，仍要熟识基本空间几何体的三视图。七、直观图的仍原与运算问题例 10. 已知 AB是C水平放置的边长为a 的正三角形ABC的斜二测水平直观图，那么AB的C面积为 。思路分析 ：先依据题意，画出直观图，然后依据AB直C观图的边长及夹角求解。解答过程 ：如图甲、乙所示的实际图与直观图。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A BABa, O C1 OC23a。 在 图 乙 中 作CD A B于D， 就4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C D2 O C 26 a 2 。6a 。 所 以8S A B C1 A BC D21a6 a286 a 2 。 故 填16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16解题后的摸索：该题求直观图的面积，因此应在直观图中求解，需先求出直观图的底和高，然后用三角形面积公式求解。此题旨在考查同学们对直观图画法的把握情形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11. 如下列图， 正方形 OA B C的边长为就原图形的周长是 。1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路分析 ：先依据题意，由直观图画出原图形解答过程 ：逆用斜二测画法的规章画出原图如下图所示，由BC/OA且 BC=OA ，易知OABC 为平行四边形。在上图中，易求OB =2 ，所以 OB= 22 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 OA=1 ，所以在Rt BOA 中， AB 22 2123 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故原图形的周长是2318cm，应填8cm 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题后的摸索：该题考查的是直观图与原图形之间的关系，及逆用斜二测画法的规章。例 12：已知正三棱台 （上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）的上、下底面边长分别是2cm 与 4cm，侧棱长是6 cm，试求该三棱台的体积。思路分析： 利用棱台的体积运算公式，求出棱台的高，上、下底面的面积，代入公式即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程： 如下列图，O 、 O 是上、下底面的中心，连结OO 、 O B、 OB ，在平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -面 BOO B 内 作 B EOB 于 E 。A B C 是边长为2 的等边三角形，O 是中心，O B22323 ，3234323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理 OB，就 BE 3OBO B。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtB EB 中， BB6 ， BE23 ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42B E，即棱台高为342cm。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以三棱台的体积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1V棱台3423163434431634447143（ cm ） 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题后的摸索：将求体积的立体问题转化为平面问题求解，是立体几何中的常用方法。例 13：一个球内有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49cm2 和 400cm2，求球的表面积和体积。思路分析： 求球的表面积和体积关键是求出球的半径，可考虑球的轴截面。解答过程：（ 1）当截面在球心的同侧时，如下列图为球的轴截面。由球的截面性质，知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AO1 / BO2 ，且O1 、 O2 分别为两截面圆的圆心，就OO1AO1 ， OO2BO2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -设球的半径为R 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2O2 B49，O2 B7 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理，O A2400，O1 A20 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设 OO1x ，就OO2x9 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在 RtOO1A 中， R 2x 220 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在 RtOO2 B 中， Rx9 27 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x220272x9，解得 x15 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R 2x 220 2252 ，R25 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2S球4 R2500（ cm2）， V4R3362503（ cm3），可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结球的表面积为2500cm2，体积为球625003cm 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当截面位于球心O 的两侧时，如下列图为球的轴截面。由球的截面性质，知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O1 A / O2 B ，且半径为 R 。O1 、 O2 分别为两截面圆的圆心，就OO1AO1 ， OO2O2 B 。设球的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2O2 B49，O2 B7 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理，O A2400，O1 A20 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设 O1Ox ，就OO29x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在 RtOO1A 中，R 2x 2400 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtOO2 B 中， R29x49 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x240029x49 ，解得 x15 ，不合题意，舍去。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，球的表面积为2500cm2，体积为625003cm 。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解题后的摸索： 解题时要留意， 球的截面可能位于球心的同侧，也可能位于球心的两侧。例 14： 求半径为 R 的球内接正方体的表面积。思路分析： 正方体内接球时， 球与正方体关系如图 （ 1），过不相邻的两条棱的平面截球， 所得截面如图（2），只有深刻懂得其相互关系，才能画出正确的截面图进行解题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解答过程： 如图（1）所示，设正方体棱长为x ，B1D 为正方体的对角线， 那么3x 22 R 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x23 R ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S正方体表面积2623 R38R 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即正方体的表面积为8R2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题后的摸索： 组合体问题， 特别是球与其他几何体的组合问题，始终是高考中的热点，所以同学们在平常的解题中应留意观看，有关球的组合体中各图形的位置关系。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（答题时间： 60 分钟）一、挑选题：1. 以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A. B. C. D. 2. 将正三棱柱 （底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱）截去三个角 （如图甲所示， A 、B、C 分别是 GHI 三边的中点） 得到几何体如图乙所示，就该几何体按如下列图方向的侧视图为（）3. 假如用表示一个立方体， 用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么下图中由7 个正方体叠加而成的几何体的正视图是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -