高二圆锥曲线知识点总结与例题.docx

精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、椭圆1、椭圆概念高二圆锥曲线学问点总结与例题分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面内与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数2 a （大于| F1F2| ）的点的轨迹叫做椭可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。 如 M 为椭圆上任意一点,就有 | MF1 | MF2 |2a 。x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆的标准方程为：221 （ abab0 ）（焦点在 x 轴上）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 2x2或a 2b 21 （ ab0 ）（焦点在 y 轴上）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：以上方程中a, b 的大小 ab0 ,其中 b2a2c 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2y2y2在 a2b 21和 a 2x2b21 两个方程中都有 ab0 的条件, 要分清焦点的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结位置,只要看x2 和y2 的分母的大小。22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如椭圆 xymn1（ m0 , n0 , mn ）当 mn 时表示焦点在x 轴上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆。当 mn 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。2、椭圆的性质 范畴 ：x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由标准方程成的矩形里 。 对称性 ：221 知 | x | aba , | y |b ,说明 椭圆位于直线xa , yb 所围可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称 。这时, 坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心, 椭圆的对称中心叫椭圆的中心。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 四个顶点 ：A1 a,0, A2 a,0, B10,b ,B2 0,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线段 A1A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和 2b , a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a 。在 Rt OB2F2 中, | OB2 |b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| OF |c , | B F |a ,且 | OF |2| B F |2| OB|2 ,即 c2a2b 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 离心率 ：椭圆的焦距与长轴的比3、点与椭圆的关系ec 叫椭圆的离心率。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 Px2, y 和椭圆 x2y1 （ ab0 ）的关系 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00a 2b 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）点Px0, y0 在椭圆外x0y0a 2b 21。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）点Px0, y0 在椭圆上22xy0022 1。ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 3）点Px0, y0 在椭圆内0022ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、双曲线1、双曲线的概念平 面 上 与 两 点 距 离 的 差 的 绝 对 值 为 非 零 常 数 的 动 点 轨 迹 是 双 曲 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| PF1 | PF2留意：|2a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式中是差的肯定值,在02a| F1F2 | 条件下。| PF1 | PF2 |2a 时为双曲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线的一支。| PF2| PF1 |2a 时为双曲线的另一支（含F1 的一支）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 2a| F1F2| 时,| PF1| PF2|2a 表示两条射线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 2a| F1F2| 时, | PF1 | PF2|2a 不表示任何图形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两定点F1, F2 叫做双曲线的焦点,| F1F2| 叫做焦距。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义| PF1 | PF2|2 a2 a| F1F2 | PF1| PF2|2a 2a| F1F2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2方程a 2y 2b 21x 2y 2b 2a 21x 2y 2a 2b21y 2x 2a 2b 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点F c,0F 0,cF c,0F 0,c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：要分清焦点的位置,由x 2 , y 2 项系数的正负打算,焦点在系数为正的坐标轴上2、双曲线的性质 范畴 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2从标准方程 xa 2外侧。 对称性 ：2y1 ,看出曲线在坐标系中的范畴：双曲线在两条直线b2xa 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 两个顶点 ： A a,0 A2 a,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实轴 ：线段虚轴 ：线段A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于2a, a 叫做双曲线的实半轴长。B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结渐近线 ： xa , yb 围成的矩形的两条对角线,称为双曲线的渐近线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2双曲线 xa 22y1渐近线为 y b 2b x 。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 等轴双曲线 ：1） 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab 。2） 等轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为： yx 。（ 2）渐近线相互垂直（3）离心率为 e2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3） 留意到等轴双曲线的特点ab ,就等轴双曲线可以设为： 当0 时交点在 x 轴,当0 时焦点在 y 轴上。x 2y20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、抛物线（ 1）抛物线的概念平面内与肯定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F 不在定直线 l 上 。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程 y 22 pxp0 叫做抛物线的标准方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上,焦点坐标是F（p ,0 ）,它的准线方2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结程是 xp。2（ 2）抛物线的性质2一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情形,所以抛物可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线的标准方程仍有其他几种形式：y 22 px , x 22 py , x2 py .这四种抛物线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标准方程y22 pxy22 pxx22 pyx22 py可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 p0 p0 p0 p0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l y图形o FxyylFFoxlox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点坐标p ,02p ,020, p 20,p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结准线方程xpxpypyp 2222范畴x0x0y0y0对称性x 轴x 轴y 轴y 轴顶点0,00,00,00,0离心率e1e1e1e1说明：（1） 焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打算开口方向。（2） 抛物线的几何性质的特点：有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线。（3） 留意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。四、直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1）相交：0直线与椭圆相交。0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有0 ,当直线与双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的渐近线平行时, 直线与双曲线相交且只有一个交点,故0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件。0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不肯定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。（ 2）相切：0直线与椭圆相切。0直线与双曲线相切。0直线与抛物线相切。（ 3）相离：0直线与椭圆相离。0直线与双曲线相离。0直线与抛物线相离。特殊提示 ：（ 1）直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为Ax1, y1, Bx2, y2 ,就它的弦长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB1k 2 xx1k 2 xx 24 x x11yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12121 2212k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已因可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 y1y2k x1x2 ,运用韦达定理来进行运算.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当直线斜率不存在是 ,就ABy1y2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2b 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在椭圆1 中,以P x , y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 200x2y2a 2 y0b2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在双曲线1中,以 P x , y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0a 2b 200a 2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在抛物线y22 px p0 中,以P x , y 为中点的弦所在直线的斜率k=p 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00y0高二圆锥曲线例题分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、 F 、Fx2是椭圆y1 的左、右焦点,点P 在椭圆上运动,就| PF| | PF|的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212124大值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： .| PF| | PF| | PF1| PF2|2a24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122例 2、 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线 xy10 交于 A 、 B 两点, M 为AB 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：由题意,设椭圆方程为xy21 ,由xy120,得 1a 2 x22a 2x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xx1x2a 21a 2, y1xxy 21a 21,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M2a 2MM1a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y MkOMx M112a 24 , a4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 xy 21 为所求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 设双曲线 x22y1上两点 A 、B , AB 中点 M （ 1, 2）,求直线 AB 方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：方法一：ykx2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显 AB 斜率存在设 AB ： y- 2=kx- 1 由x2y得： 2- k2x2- 2k2- kx- k2+4 k- 6=0212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 >0 时,设 A （ x ,y）, B（ x ,y ） 就x1x2k2k k=1,满意 >0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 直线 AB ：y=x+122y 2x 2122 k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法二： 设 A（ x1,y1 ）,B（ x2,y2 ）就122x2y222两式相减得： x1- x2 x1+x2= 121y1 - y2y1+y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy2xx 21y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 x21212k AB1 AB ：y=x+1 代入x21 得： >0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2y1y222评注：法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。在利用点差法时,必需检验条件>0 是否成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4. 椭圆中心是坐标原点O,焦点在 x 轴上, e=Q两点, |PQ|= 20 ,且 OP OQ,求此椭圆的方程 .93 ,过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于 P、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y2解: 设椭圆方程为2 +2ab=1, a>b>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2PQ x 轴时, F- c,0,|FP|= ba,又 |FQ|=|FP|且 OP OQ, |OF|=|FP|,即 c= b2a ac=a2- c2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e2+e- 1=0, e=51 与题设 e=23 不符 ,所以 PQ不垂直 x 轴.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PQ y=kx+c,Px1,y1, Qx2,y2, e=324221 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a =c ,b23=c ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以椭圆方程可化为 :3x2+12 y2- 4c2=0, 将 PQ方程代入,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得3+12 k2x2+24 k2cx+12 k2c2- 4c2=0,x1+x2=224k c22212k c4c,x1x2 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结312k 2312k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由|PQ|= 20 得21k·24k 2c22 412k 2c 24c2 2= 20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9312k312k9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPOQ,y1 · y2= - 1 即 x x +y y =0, 1+k2xx +k2cx +x +c2k2=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x21 21 21 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把 x1x2 ,x1 x2代入,解得 k =4 ,把 k 22114 代入解得 c =3211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2=4,b2=1,就所求椭圆方程为x+y2=1.24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-y例 5. 双曲线 3x22=1 上是否存在关于直线y=2x 对称的两点 A 、B. 如存在, 试求出 A、B 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点的坐标。如不存在,说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 AB： y=122x+m, 代入双曲线方程得11x +4mx4 m + 1 =0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这里 = 4m 2 4× 11 4 m2+1 =16 2m2+11 0 恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,AB 的中点为 M x0,y0, 就 x1+x 2=4m ,x0=112m,y0=111x0+m=212m,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A 、B 关于直线 y=2x 对称,就 M 必在直线 y=2x 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 12m =114 m 得 m= 1, 由双曲线的对称性知,直线y=111x 与双曲线的交点的A 、B 必关2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于直线 y=2x 对称 .存在 A 、B 且求得 A2,111 ,B112, 11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 6、求椭圆 x3解：方法一： 方法二：y21 上的点到直线 xy60 的距离的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设椭圆上的点为3 cos,sin,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 cossin62sin 36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就距离为 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 sin321 时,d最小值222 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7、设 x , yR , 2x23y 26 x ,求 x2y 22 x 的最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题的关键是利用形数结合,观看方程2 x23y 26 x 与椭圆方程的结构一样可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 x2y22xm ,明显它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关系求得最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 2x2x3 y22326 x ,得y 2其中心在点3 ,02点,焦点在 x 轴上,且过（ 0,0 ）点和（ 3,0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结293142设 xy 22 xm,就22x1ym1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可见它表示一个椭圆,它表示一个圆,其圆心为（1, 0）半径为m1 m1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在同一坐标系中作出椭圆及圆,如下列图观看图形可知,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当圆过 （0,0）点时, 半径最小, 即m11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时 m0 。当圆过（ 3,0）点时, 半径最大, 即 m14 , m15 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x2y22x 的最小值为 0,最大值为 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2例 8、已知椭圆1 内有一点A1 , 1 , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结95椭圆上一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 PAPF1的最大值、最小值及对应的点P 坐标。解： 1如上图, 2a设 P 是椭圆上任一点,6 , F2 2 , 0 ,AF22 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 PF1PF22a6 , PAPF2AF2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAPF1PF1PF2AF22aAF262 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等号仅当 PAPF2AF2时成立, 此时 P 、A 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F2 共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 PAPF2AF2 , PAPF1PF1PF2AF22aAF262 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等号仅当PAPF2AF2时成立,此时P 、 A 、F2 共线建立A 、F2 的直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 方 程组xy20,22得两 交 点9P1152 , 5152 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2P 91525x, 5159 y452 714714可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结714714可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述, P 点与P1 重合时, PAPF1取最小值 62 , P 点与P2 重合时, PAPF2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结取最大值 62例 9、设椭圆 ax2 by21 与直线 x y 1 0 相交于 A、B 两点,点 C 是 AB 的中点,如 |AB|,求椭圆的方程22, OC 的斜率为22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 Ax1, y1, Bx2, y2,那么 A、B 的坐标是方程组ax2 by2 1, x y 10的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122由 ax2 by21, ax2 by2 1,两式相减,得ax1 x2 x1 x2 by1y2 y1 y2 0,可编辑资料 - - -