高等代数使用教材及辅导材料 .docx

精品名师归纳总结高等代数使用教材及辅导材料课程：高等代数高等代数北京高校数学系几何与代数教研室高等训练出版社1978高等代数丘维声高等训练出版社1996高等代数张禾瑞 郝炳新高等训练出版社1983高等代数习题课教材钱芳华 黎有高卜淑云 邓培民广西师范高校出版社1997高等代数解题方法许甫华 张贤科清华高校出版社2001高等代数习题课参考书张均本高等训练出版社1991线性代数试卷选解魏宗宣中南工业高校出版社1986用 MAPLEV学习线性代数丘维声 <译）高等训练出版社施普林格出版社2001高等代数教案大纲数学与应用数学专业高等代数教案大纲一、课程说明：高等代数是河北师范高校数学与应用数学专业<数学系）的一门重要的基础课，其主要任务是使同学获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统学问。它一方面为后继课程<如近世代数、数论、离散数学、运算方法、微分方程、泛涵分析）供应一些所需的基础理论和学问。另一方面仍对提高同学的思维才能，开发同学智能、加强“三基” <基础学问、基本理论、基本理论）及培育同学制造型才能等重要作用。二、教案目的及要求：通过本课程教案的主要环节<讲授与争论，习题课，作业，辅导等），使同学对多项式理论、线性代数的“解读理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的熟悉和懂得，从而有助于学生正确懂得高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的才能。三、教案重点及难点：带余除法、最大公因式的性质、不行约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等。运算行列式的一些方法。线性方程组及其相关理论的懂得及应用。矩阵理论的敏捷应用。正定二次型的等价条件及二次型的标准形。向量空间一些基本概念的懂得及相关理论的敏捷应用。线性变换与矩阵的联系、矩阵相像、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特点值、特点向量及子空间理论。一些基本概念 内积空间、欧氏空间、正交矩阵、酉空间 >的懂得。四、与其它课程的关系：本课程为一门基础课，是学习近世代数、数论、离散数学、运算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础。五、学时、学分： 142 学时， 8 学分六、教案内容：第 1 章多项式<27 学时）本章主要教案内容：数域 一元多项式 整除的概念最大公因式因式分解定理重因式多项式函数复系数与实系数多项式的因式分解有理系数多项式 多元多项式对称多项式 本章教案目的及要求：1 1把握数域的定义 , 并会判定一个代数系统是否是数域。1 2正确懂得数域 P 上一元多项式的定义, 多项式相乘 , 次数, 一元多项式环等概念。把握多项式的运算及运算律。1 3正确懂得整除的定义, 娴熟把握带余除法及整除的性质。1 4正确懂得和把握两个 或如干个 >多项式的最大公因式, 互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结多项式的最大公因式。1 5 正确懂得和把握不行约多项式的定义及性质。深刻懂得并把握因式分解及唯独性定理。把握标准分解式。1 6正确懂得和把握 k 重因式的定义。1 7把握多项式函数的概念 , 余数定理 , 多项式的根及性质。正确懂得多项式与多项式函数的关系。1 8懂得代数基本定理。娴熟把握复<实）系数多项式分解定理及标准分解式。1 9 深刻懂得有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。把握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。1. 10 懂得多元多项式、对称多项式的定义，把握对称多项式基本定理。本章教案重点及难点：整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不行约多项式概念、性质、因式分解及唯独性定理、k 重因式与 k 重根的关系、复 <实）系数多项式分解定理、本原多项式、 Eisenstein判别法。第 2 章行列式<15 学时）本章主要教案内容： 引言 排列 n 级行列式 n 级行列式的性质 行列式得运算 行列是按一行 <列）绽开 克兰姆法就本章教案目的及要求：2. 1 懂得并把握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。把握排列的奇偶性与对换的关系。2 2 深刻懂得和把握n 级行列式的定义 , 能用定义运算一些特别行列式。2 3 娴熟把握行列式的基本性质。2 4 正确懂得矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质运算一些简洁行列式。2 5 正确懂得元素的余子式、代数余子式等概念。娴熟把握行列式按一行<列）绽开的公式。把握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等运算行列式的技巧。2 6 娴熟把握克莱姆 Cramer> 法就。2. 7正确懂得和把握行列式的一个k 级子式的余子式等概念、娴熟把握拉普拉斯Laplace> 定理. 懂得行列式的乘法规章。本章教案重点及难点： n 级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行 <列）绽开的公式、克莱姆Cramer> 法就、拉普拉斯 Laplace> 定理。第 3 章线性方程组<13 学时） 本章主要教案内容：消元法 n 维向量组 线性相关性3. 4矩阵的秩 线性方程组有解判别定理 线性方程组解的结构本章教案目的及要求：3 1 正确懂得和把握一般线性方程组, 方程组的解 , 增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。把握阶梯形方程组的特点及作用。会求线性方程组的一般解。3 2懂得和把握 n 维向量及两个 n 维向量相等的定义。娴熟把握向量的运算。深刻懂得n 维向量空间的概念。3 3正确懂得和把握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。把握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻懂得向量组的极大无关组、秩的定义，会求向量组的一个极大无关组。3 4深刻懂得和把握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。把握矩阵的秩与其子式的关系。3 5娴熟把握线性方程组的有解判别定理。懂得和把握线性方程组的公式解。3. 6正确懂得和把握齐次线性方程组的基础解系, 解空间的维数与概念。娴熟把握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解。本章教案重点及难点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n 维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解的全部解。第 4 章 矩阵<15 学时）本章主要教案内容：矩阵的概念 矩阵的运算 矩阵乘积的行列式与秩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 矩阵的逆 矩阵得分块 初等矩阵 分块矩阵的初等变换及应用举例本章教案目的及要求：4. 1明白矩阵概念产生的背景。4 2把握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其运算规律。4 3把握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。4 4正确懂得和把握可逆矩阵、逆矩阵、相伴矩阵等概念，把握一个n 阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。4 5懂得分块矩阵的意义，把握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。4 6正确懂得和把握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，娴熟把握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件。会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。4. 7懂得分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。本章教案重点及难点：矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆 矩阵、逆矩阵、相伴矩阵、n 阶方阵可逆的充要条件、用公式法逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法逆矩阵、分块矩阵的逆。第 5 章二次型<12 学时）本章主要教案内容：二次型的矩阵表示 标准形 唯独性 正定二次型本章教案目的及要求：5. 1正确懂得二次形和非退化线性替换的概念。把握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系。把握矩阵的合同概念及性质。5 2懂得二次型的标准形，把握化二次型为标准型的方法<配方法、初等变换法）。5 3 正确懂得复数域和实数域上二次型的规范性的唯独性。把握惯性定理。5. 4 正确懂得正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念。娴熟把握正定二次型及半正定二次型的等价条件。本章教案重点及难点：非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范性的唯独性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。第 6 章线性空间<16 学时）本章主要教案内容：集合映射 线性空间的定义与简洁性质 维数，基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构本章教案目的及要求：6. 1把握映射、单射、满射 <映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。6 2正确懂得和把握线性空间的定义及性质。会判定一个代数系统是否是线性空间。6 3懂得线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念。正确懂得和把握n 维线性空间及的概念及性质。6 4正确懂得和把握基变换与坐标变换的关系。6 5正确懂得线性子空间的定义及判别定理。把握向量组生成子空间的定义及等价条件。6 6把握子空间的交与和的定义及性质。娴熟把握维数公式。6 7深刻懂得子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。6. 8懂得和把握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。本章教案重点及难点：线性空间、判定一个代数系统是否是线性空间、n 维线性空间及的概念及性质、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。第 7 章线性变换<23 学时）本章主要教案内容：线性变换的定义 线性变换的运算 线性变换的矩阵 特点值与特点向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 对角矩阵 线性变换的值域与核 不变子空间 如当标准形介绍 最小多项式本章教案目的及要求：7. 1懂得和把握线性变换的定义及性质。7 2把握线性变换的运算及运算规律，懂得线性变换的多项式。7 3深刻懂得和把握线性变换与矩阵的联系。把握矩阵相像的概念和线性变换在不同基下的矩阵相像等性质。7 4懂得和把握矩阵的特点值、特点向量、特点多项式的概念和性质。会求一个矩阵的特点值和特点向量。把握相像矩阵与它们的特点多项式的关系及哈密尔顿- 凯莱定理。7 5把握 n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。7 6把握线性变换的值域、核、秩、零度等概念。深刻懂得和把握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。7 7把握不变子空间的定义。会判定一个子空间是否是A- 子空间。深刻懂得不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。把握将空间V 按特点值分解成不变子空间的直和表达式。7 8把握标准型的定义。7. 9正确懂得最小多项式的概念。把握一个矩阵相像于一个对角阵与它的最小多项式的关系。 本章教案重点及难点：线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相像、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特点值、特点向量、特点多项式、求矩阵的特点值和特点向量、相像矩阵与它们的特点多项式的关系、哈密尔顿- 凯莱定理、线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间的定义、判定一个子空间是否是A- 子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系、将空间V按特点值分解成不变子空间的直和表达式、标准型的定义、最小多项式。第 8 章矩阵<3 学时）本章主要教案内容：8. 1矩阵8. 2矩阵在初等变换下的标准形不变因子8. 3不变因子8. 4矩阵相像的条件8. 5初等因子本章教案目的及要求：只介绍一些基本概念, 一些简洁结论，对定理的证明不作要求。本章教案重点及难点：矩阵及其标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。第 9 章欧几里得空间<18 学时）本章主要教案内容：定义与基本概念 标准正交基 同构 正交变换 子空间 对称矩阵的标准形 向量刀子空间的距离，最小二乘法 酉空间介绍本章教案目的及要求：9. 1 深刻懂得欧氏空间的定义及性质。把握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使同学把握各种概念之间的联系和区分。9 2正确懂得正交向量组、标准正交基的概念，把握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。9 3深刻懂得两个欧氏空间同构的定义。把握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。9 4 正确懂得和把握正交变换的概念及几个等价关系，让同学把握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。9 5正确懂得和把握两个子空间正交的概念，把握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯独的正交补的性质。9 6 深刻懂得并把握任一个对称矩阵均可正交相像于一个对角阵，并把握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。9 7、98 简洁介绍，只让同学明白。本章教案重点及难点：欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子空间正交的概念、正交与直和的关系、正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。七、教材及参考书1、教材：高等代数北京高校数学系几何与代数教研室小组编，高等训练出版社，年月。2、教案参考书：高等代数，张禾瑞，郝炳新编，高等训练出版社， 84 年 3 月。高等代数，丘维声编，高等训练出版社， 96 年 12 月。高等代数考试大纲数学与应用数学专业高等代数考试大纲一、课程说明：高等代数是河北师范高校数学系的一门重要的基础课，其主要任务是使同学获得数学 的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间 等方面的系统学问。它一方面为后继课程<如近世代数、数论、离散数学、运算方法、微分方程、泛涵分析）供应一些所需的基础理论和学问。另一方面仍对提高同学的思维才能，开发同学智能、加强“三基”<基础学问、基本理论、基本理论）及培育同学制造型才能等重要作用。二、与其它课程的关系：本课程作为一门基础课，是学习近世代数、数论、离散数学、运算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础。三、学时、学分： 142 学时， 8 学分四、考核内容及要求：第 1 章多项式<27 学时）本章考核内容：数域一元多项式 整除的概念最大公因式因式分解定理重因式多项式函数复系数与实系数多项式的因式分解有理系数多项式多元多项式对称多项式二、本章考核要求：考核要求：1.1 识记：数域定义，一元多项式定义，整除定义，最大公因式定义，互素定义，不行约多项式定义，k重因式定义，本原多项式定义。1.2 懂得：数域 P 上一元多项式的定义、多项式相乘、次数、一元多项式环等概念，整除的定义，两个 或如干个 >多项式的最大公因式, 互素等概念及性质，不行约多项式的定义及性质，k 重因式的定义，多项式与多项式函数的关系，代数基本定理，有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系，多元多项式、对称多项式的定义。1.3 简洁应用：判定一个代数系统是否是数域，多项式的运算及运算律，用辗转相除法求两个多项式的最大公因式，不行约多项式的定义及性质，标准分解式，k 重因式，多项式函数的概念、余数定理、多项式的根及性质，对称多项式基本定理。1.4 综合应用：带余除法及整除的性质，因式分解及唯独性定理，复<实）系数多项式分解定理及标准分解式，本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。第 2 章行列式<15 学时）本章考核内容：引言排列 n 级行列式 n 级行列式的性质行列式得运算行列是按一行 <列）绽开克兰姆法就本章考核要求：2.1 识记：排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义，n 级行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念。2.2 懂得：排列的奇偶性与对换的关系，n 级行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念，行列式的一个k 级子式的余子式等概念，行列式的乘法规章。2.3 简洁应用：用定义运算一些特别行列式，利用行列式性质运算一些简洁行列式，行列式按一行<列）绽开的公式。把握“化三角形法”、“递推降阶法”、“数学归纳法”等运算行列式的技巧。2.4 综合应用：克莱姆 Cramer> 法就。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第 3 章线性方程组 <13 学时）本章考核内容：消元法 n 维向量组线性相关性3 4矩阵的秩3. 线性方程组有解判别定理线性方程组解的结构 本章考核要求：3.1 识记： n 维向量及两个n 维向量相等的定义。3.2 懂得：一般线性方程组 , 方程组的解 , 增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质，阶梯形方程组的特点及作用，线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质，两个向量组等价的定义及等价性质定理，向量组的极大无关组、秩的定义，矩阵的行秩、列秩、秩的定义。3.3 简洁应用：线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质，两个向量组等价的定义及等价性质定理， 求向量组的一个极大无关组，求矩阵的秩，求齐次线性方程组的基础解系。3.4 综合应用：求一般线性方程组有解的全部解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本章考核内容：矩阵的运算 矩阵乘积的行列式与秩矩阵的逆 矩阵得分块 初等矩阵分块矩阵的初等变换及应用举例矩阵的概念第 4 章矩阵<15 学时）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本章考核要求：4.1 识记：矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其运算规律，可逆矩阵、逆矩阵、相伴矩阵等概念。4.2 懂得：矩阵乘积的行列式定理，分块矩阵的意义，分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系。4.3 简洁应用：矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系，n 阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵，分块矩阵的加法、乘法的运算及性质，4.4 综合应用：一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件，会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵，求分块矩阵的逆。第 5 章二次型<12 学时）本章考核内容：二次型的矩阵表示标准形唯独性正定二次型本章考核要求：5.1 识记：二次型的矩阵表示, 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念。5.2 懂得：二次形和非退化线性替换的概念,二次型与对称矩阵的一一对应关系, 合同概念及性质 ,复数域和实数域上二次型的规范性的唯独性。5.3 简洁应用：化二次型为标准型的方法<配方法、初等变换法） ,5.4 综合应用：正定二次型及半正定二次型的等价条件。第 6 章向量空间<16 学时）本章考核内容：集合映射线性空间的定义与简洁性质 维数，基与坐标 基变换与坐标变换线性子空间子空间的交与和子空间的直和线性空间的同构本章考核要求：6.1 识记：映射、单射、满射<映上的映射）、一一映射、逆映射等概念，线性空间的定义，子空间的定义，6.2 懂得：线性空间的定义及性质，线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念，基变换与坐标变换的关系，子空间的交与和的定义及性质，子空间的直和的概念，线性空间同构的定义。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6.3 简洁应用：判定一个代数系统是否是线性空间，基变换与坐标变换的关系，向量组生成子空间的定义及等价条件，维数公式。6.4 综合应用：子空间为直和的充要条件，两个有限维空间同构的充要条件。第 7 章线性变换<23 学时）本章考核内容：线性变换的定义线性变换的运算 线性变换的矩阵 特点值与特点向量 对角矩阵 线性变换的值域与核 不变子空间 如当标准形介绍 最小多项式本章考核要求：7.1 识记：线性变换的定义及性质，矩阵的特点值、特点向量、特点多项式的概念，线性变换的值域、核、秩、零度等概念，不变子空间的定义，最小多项式的概念。7.2 懂得：线性变换与矩阵的联系，矩阵相像的概念和线性变换在不同基下的矩阵相像等性质，矩阵的特点值、特点向量、特点多项式的概念和性质，不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，把握标准型的定义，最小多项式的概念。7.3 简洁应用：求一个矩阵的特点值和特点向量，相像矩阵与它们的特点多项式的关系及哈密尔顿- 凯莱定理， n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件，线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系，判定一个子空间是否是A- 子空间。7.4 综合应用：不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，一个矩阵相像于一个对角阵与它的最小多项式的关系。第 8 章矩阵 <3 学时）本章考核内容：8. 1矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本章考核要求：8. 2矩阵在初等变换下的标准形不变因子8. 3不变因子8. 4矩阵相像的条件8. 5初等因子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.1 识记：矩阵，行列式因子、不变因子、初等因子。2.2 懂得：矩阵的标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。第 9 章 欧氏空间 <18 学时）本章考核内容：定义与基本概念标准正交基 同构 正交变换 子空间 对称矩阵的标准形向量刀子空间的距离，最小二乘法酉空间介绍本章考核要求：2.1 识记：欧氏空间的定义，两个欧氏空间同构的定义，向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念，正交变换的概念。2.2 懂得：欧氏空间的性质，向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵的基本性质，正交向量组、标准正交基的概念，正交变换的概念及几个等价关系，正交与直和的关系。2.3 简洁应用：施密特正交化过程，把一组线性无关的向量化为单位正交的向量，两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系，正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系，欧氏空间中的每一个子空间都有唯独的正交补的性质。2.4 综合应用：任一个对称矩阵均可正交相像于一个对角阵，求正交阵的方法，用正交变换化实二次型为标准型。五、教材及参考书1、教材：高等代数北京高校数学系几何与代数教研室小组编，高等训练出版社，年月。2、教案参考书：高等代数，张禾瑞，郝炳新编，高等训练出版社， 84 年 3 月。高等代数，丘维声编，高等训练出版社， 96 年 12 月。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结申明：全部资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。可编辑资料 - - - 欢迎下载