高中数学竞赛的教案平面几何-第八讲---圆幂定理 .docx
精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、学问要点：第八讲圆幂定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。即：如图， PA· PC=PB· PDACOPBD2、 切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。即：如图， PA2=PB· PCCBAP3、 割线定理： 从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于A 、B、C、D ，就有 PA·PB=PC·PD。BADCP二、要点分析：1、相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。其可统一的表示为：过定点的弦被该点内分或外分成的两条线段的积为定值该点到圆心的距离与圆的半径的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平方差的肯定值 ，即 PA PB定值（OP 2r 2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、相交弦定理通常是通过相像三角形而得到的，所以，讨论圆中一些线段的比例关系总离不开相像三角形。3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段的比例关系，应用较多，特殊是在处理有关运算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、例题讲解：例 1、已知：如图，在ABC 中， AM 、AD 分别是其中线和角平分线，ADM交 AB 于L,交 AC 于 N,求证： BL=CNNLABMDC例 2、如图， O1 与 O2 相交于 M 、N,D 是 NM的延长线上的一点， O2O1 延长线交O1 于 B、A,AD 交 O1 于 C,MN 交 O2O1、 BC 于 E、G,求证： EM 2=ED· EGDCMGOA EB1O 2N例 3、在 RtABC 中， D 在斜边 BC 上， BD=4DC, 一圆过点 C，且与 AC 相交于 F，与AB 相切于 AB 的中点 G,求证： A D BFAFCGDB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4、如图， AB 是 O 中任意一弦， M为 AB 的中点，过 M任作两条弦 CD、EF, 连接 CE、DF分别交FCAB于 G、H, 求证： MG=MH 蝴蝶定理 AMGHBDE例 5、ABCD是圆内接四边形， AC是圆的直径， BDAC,AC与 BD的交点为 E, 点 F 在 DA的延长线上，连接 BF, 点 G在 BA的延长线上，使得 DG BF, 点 H 在 GF的延长线上 ,CH GF,证明： B、E、F、H四点共圆。GHFABEDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第八讲圆幂定理练习班级： 1、 O1 与 O2 外切于点 P，过 P 的直线与 O1， O2 分别相交于点 A 、C,AB 切 O2于 B, O1 与 O2 的半径分别是5、 3，就 AC ： AB=.CPO 2O1BA2、如图： O 与等边ABC 交于点 D 、E、F、G、H、J,假如 GF=13,FC=1,AG=2,HJ=7,那么 DE=.AGHJFB DEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 如图：在ABC 中，BAC90 ,D 在 BC 上， F 在 AC 上， G 是 AB 的中点，且满可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结足 AG 2=A F· AC,BFAD,就 BD:DC=.AFGCDB4、 AD、AE 分别为ABC 的角平分线和中线，过点A 、D 、E 的圆和 AB 、AC 分别交于M 、N ，求证： BM=CNANMBEDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、 如图， B 是 O的切线 PA的中点，过 B 引 O的割线与 O交于点 D、C,PD 的延长线交 O于 E,PC 交 O于 F, 求证： APEFABEDPOFC6、1 、已知，如图，四边形ABCD内接于圆，求证： AB·DC+BC· AD=AC· BDDCAB2、已知，如图，在凸四边形ABCD中， AB·DC+BC·AD=AC·BD，求证：四边形 ABCD为圆内接四边形。DCAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结附加题：1、 集合 A=yx, yy1x 的子集的个数为 1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 已知三个非零实数a,b, c , 集合 A= ab , bccca,ab，记 x 为集合 A 的全部元素之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和， y 为集合 A 的全部元素之积，假设x2 y ，就 xy 的值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 集合 A=1,3,5,7，B=2,4,6,8,20,假设 C=SS=a+b,a A,bB, 就集合 C 的元素个数为.可编辑资料 - - - 欢迎下载
