高考数学基础知识总结第四章三角函数2.docx

精品名师归纳总结§ 03.三角函数学问要点1. 与（0° 360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合） ：|k360, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在 x 轴上的角的集合：终边在 y 轴上的角的集合：|k180|k180, kZ90 , kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在坐标轴上的角的集合：终边在 y=x 轴上的角的集合：|k90 , k|k180Z45 , kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结终边在 yx 轴上的角的集合：|k18045 , kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如角与角的终边关于 x 轴对称,就角与角的关系：360 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如角与角的终边关于 y 轴对称,就角与角的关系：360 k180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如角与角的终边在一条直线上,就角与角的关系：180 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角与角的终边相互垂直,就角与角的关系：360 k90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.角度与弧度的互换关系： 360°=2180°=1°=0.01745 1=57.30°=57°18留意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.弧度与角度互换公式：1rad 180 ° 57.30° =57°181°180 0.01745（rad）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、弧长公式 ： l| r .扇形面积公式：s扇形1 lr1 | r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结224、三角函数的定义：设是一个任意角,在的终边上任取（异于原点的）一点Pya 的终边P （ x,y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（x,y ）P 与原点的距离为r ,就siny。cosrx 。tany 。rrxox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦,三切四余弦）yyyy+-+-+PToxoox-+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-+-OMA x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正弦、余割6、三角函数线余弦、正割正切、余切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正弦线： MP;余弦线： OM;正切线： AT.16. 几个重要结论:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1y2y|sinx|>|cosx|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinx>cosxOxcosx>sinx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|sinx|>|cosx|3 如 o<x<,就sinx<x<tanx27.三角函数的定义域：三角函数定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf xsinx cosxx | xRx | xR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xtanxx | xR且xk1, kZ2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、同角三角函数的基本关系式：9、诱导公式：sin cos sin 2tancos21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把 k的三角函数化为的三角函数,概括为： “奇变偶不变,符号看象限”2公式组一公式组二公式组四三公式组四公式组五可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin2k cos2 k tan2 kcot2kxsin xxcos xxtan xxcot xsin xcos xtan xcot xsin x cos xtan xcot xsin cos tancotxsin xxcos xxtan xxcot xsin 2 cos2 tan 2cot2xsin xxcos xxtan xxcot xsin cos tancotxsin xxcos xxtan xxcot x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式组六cos 12sinsin 12coscos12sinsin 12cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式公式组一公式组二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结coscoscoscoscoscossinsinsinsinsin 2cos 22 sin cos2cos sin 22 cos2112 sin 2（升幂公式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinsincoscossintan 22 tan1tan2cos1cos 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sintansintancostancossins i n 2c o s1 c o s 21c o ssin1cos 2 2（降幂公式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tantan22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tantantan1cossin1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tantantan21cos1cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式组三sin2 tan21tan 22cos1tan 2221tan2t a n2 t a n21t a n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 15cos 7562 , sin 754cos1562 , tan154cot 7523 , tan 75cot1523 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 三角函数的化简、运算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构 .即第一观看角与角之间的关系, 留意角的一些常用变式, 角的变换是三角函数变换的核心。 其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”。再次观看代数式的结构特点.基本的技巧有：(1) 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.·,如 , 2 ,2 , 2 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22等. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 三角函数名互化 切化弦 .(3) 公式变形使用如 tan ±tan tan±1.tan tan .21cos 221 cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 三角函数次数的降升 降幂公式： cos 2, sin 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结升幂公式： 1 cos 2 2cos2,1 cos 22sin 2.（ 5）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 帮助角公式 ： a sin xb cosxa2b2sin x其中角所在的象限由a, b 的符号确定,角的值由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanb 确定在求最值、化简时起着重要作用.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysin xycosxytan xyA sinx（A、0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域RRx | xR且xk1R, kZ2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值域1, 1 1, 1RA, A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结周期性222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性奇函数偶函数奇函数当当0, 非奇非偶0, 奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结, 2k 2k 22 2k ,2k2。上为增函数k,k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上为增函数。 2k, 2k 上为上 为 增 函 数用整体代换的思想求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单调性 2k 2k 3 22减函数,（ kZ ）（ kZ ）解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上 为 减 函 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对 称 中（ kZ ） k,0 kZk,0k,0k Z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k, 0 kZ 2 2k心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x无k Z 对称轴x kkZ k2x2 kZ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：ysin x 与ysin x的单调性正好相反。ycos x与ycosx 的单调性也同样相反 .一般的,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x 在 a, b上递增（减） ,就 yf x 在 a, b上递减（增） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysin x 与ycosx 的周期是.ytan x2的周期为 2（ TT2,翻折无效） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysinx 或 ycos x （0 ）的周期 T2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 tan·tan1,kk2Z 。tan·tan1,kk2Z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数ytan x在 R 上为增函数 .（×）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只能在某个单调区间单调递增. 如在整个定义域,ytan x 为增函数,同样也是错误的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义域关于原点对称是f x 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称（奇偶都要） ,二是满意奇偶性条件,偶函数：f xf x ,奇函数：f xf x ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：ytan x 是奇函数, ytanx1 是非奇非偶 .（定义域不关于原点对称）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶性的单调性：奇同偶反.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇函数特有性质：如0x 的定义域,就f x 肯定有f 00.（ 0x 的定义域,就无此性质）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ysin x 不是周期函数。ysin x为周期函数（ T）。y sin2x, y|sin x|的周期都是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ycosx 是周期函数。ycosx为周期函数（ T）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ycos 2x1 的周期为。y|sin x| |cos x|的周期为22,而y |2sin3x 612|,y |tan x|的周期不变 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 三角函数图象的作法： ）、几何法：）、描点法及其特例 五点作图法（正、余弦曲线） ,三点二线作图法（正、余切曲线）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）五点作图：令x依次为 0, , 3, 2,求出x与y ,依点 （ x,y）作图象 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结）、利用图象变换作三角函数图象22三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yAsin（ x ）的振幅 |A| ,周期 T2,频率 f1| ,相位x; 初相（即当 x 0 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|T2的相位）（当 A 0, 0 时以上公式可去肯定值符号）,由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当 0 |A| 1）到原先的 |A|倍,得到 yAsinx 的图象,叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A 替换 y）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长 （ 0| | 1）或缩短（| | 1）到原先的得到 ysin x 的图象,叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换 用 x 替换 x| 1 | 倍,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 y sinx 的图象上全部的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位, 得到 y sin（x ） 的图象,叫做 相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移 用 x替换 x由 y sinx 的图象上全部的点向上（当b0）或向下（当 b0）平行移动 b个单位,得到 y sinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 （用 y+-b替换 y）由 y sinx 的图象利用图象变换作函数y Asin（ x ）（ A 0, 0）（xR）的图象,要特殊留意：当周期变换和相位变换的先后次序不同时,原图象延x 轴量伸缩量的区分。15. 三角形中的有关公式(1) 内角和定理： 三角形三角和为 ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题不行遗忘任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 . 三内角都是锐角 . 三内角的余弦值为正值 . 任两角和都是钝角. 任意两边的平方和大于第三边的平方 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a(2) 正弦定理：b c2RR 为三角形外接圆的半径 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：正弦定理的一些变式：ab csin A sin B sin C。 sin A a ,sin B b , sin C c 。2R2R2Ra2Rsin A,b2Rsin B,c 2Rsin C。已知三角形两边一对角,求解三角形时,如运用正弦定理,就务必留意可能有两解,要结合详细情形进行取舍 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222b2c2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 余弦定理： ab c 2bccos A,cos A2bc等,常选用余弦定理鉴定三角形的外形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111(4) 面积公式： Sa absin C b c其中 r 为三角形内切圆半径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ah22r a可编辑资料 - - - 欢迎下载