全国各地中考数学解答题压轴题解析2.doc

【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流全国各地中考数学解答题压轴题解析2.精品文档.2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（2）1（湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在轴上运动（P不与Q重合）时，ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）过点B作BCy轴于点C，A(0,2)，AOB为等边三角形，AB=OB=2，BAO=60°，BC=，OC=AC=1。即B（）。（2）不失一般性，当点P在轴上运动（P不与O重合）时，PAQ=OAB=60°，PAO=QAB，在APO和AQB中，AP=AQ，PAO=QAB，AO=AB，APOAQB总成立。ABQ=AOP=90°总成立。当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，ABQ为定值90°。（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，AO与BQ不平行。当点P在轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若ABOQ，四边形AOQB即是梯形，当ABOQ时，BQO=90°，BOQ=ABO=60°。又OB=OA=2，可求得BQ=。由（2）可知，APOAQB，OP=BQ=，此时P的坐标为（）。当点P在轴正半轴上时，点Q在点B的上方，此时，若AQOB，四边形AOQB即是梯形，当AQOB时，ABQ=90°，QAB=ABO=60°。又AB= 2，可求得BQ=，由（2）可知，APOAQB，OP=BQ=，此时P的坐标为（）。综上所述，P的坐标为（）或（）。【考点】等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定。【分析】（1）根据题意作辅助线过点B作BCy轴于点C，根据等边三角形的性质即可求出点B的坐标。（2）根据PAQOAB=60°，可知PAO=QAB，得出APOAQB总成立，得出当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，ABQ为定值90°。（3）根据点P在的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。2.（湖南永州10分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90°得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE, 1=2，ABG=D=90°，ABG+ABF=90°90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45° 23=BADEAF=90°45°=45°1=2， 13=45°即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DEBF=EF 方法迁移：如图，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足EAF=DAB,试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）【答案】解：（1）EAF、EAF、GF。（2）DEBF=EF。证明如下：假设BAD的度数为，将ADE绕点A顺时针旋转得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE, 1=2，ABG=D=90°,ABG+ABF=90°90°=180°，点G，B，F在同一条直线上。EAF=， 2+3=BADEAF，即。1=2， 13=，即GAF=EAF。又AG=AE，AF=AF，GAFEAF（SAS）。GF=EF。又GF=BGBF=DE+BF， DEBF=EF。（3）当B与D互补时，可使得DEBF=EF。【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换（折叠问题），等量代换。【分析】（1）利用角之间的等量代换得出GAF=FAE，再利用SAS得出GAFEAF，得出答案。（2）利用旋转的性质，由已知得出GAF=FAE，再证明AGFAEF，即可得出答案。（3）根据角之间关系，只要满足BD=180°时，就可以得出三角形全等，即可得出答案：如图，将ADE绕点A顺时针旋转得到ABG后，此时AB与AD重合，由旋转可得：ABG=D，ABFD=180°，ABGABF=180°，点G，B，F在同一条直线上。EAF= , DAEBAF=BADEAF，即。BAG =DAE BAG +BAF =，即GAF=EAF。又AG=AE，AF=AF，GAFEAF（SAS）。GF=EF。又GF=BGBF=DEBF， DEBF=EF。3.（湖南常德10分）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C(7，)。（1）求抛物线的解析式；（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：CFE=AFE;（3）在y轴上是否存在这样的点P，使AFP与FDC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由。【答案】解：（1）设抛物线解析式为，将A、B、C三点坐标代入，得，解得。抛物线解析式为。（2）证明：设直线AC的解析式为，将A、C两点坐标代入，得，解得。直线AC的解析式为 。，D（4，2），E（4，4）。F与E关于D对称，F（4，8）。则直线AF的解析式为，CF的解析式为。直线AF，CF与轴的交点坐标分别为（，0），（，0）。4=4，两个交点关于抛物线对称轴=4对称。CFE=AFE。（3）解：存在设P（0，d），则由点P在点A下方，得AP=6d ，AF=，FD=2（8）=6，CF=。当AFPFDC时，即，解得d= ；当AFPFCD时，即，解得d=2。P点坐标为（0，）或（0，2）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）设抛物线解析式为，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式。（2）求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的解析式，确定两直线与轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可。（3）存在由CFE=AFE=FAP，AFP与FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根据AFPFDC，AFPFCD，两种情况求P点坐标。4.（湖南郴州10分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1m）（m为常数）（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（，）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，抛物线过原点O（0，0）c=0。把B、P两点的坐标分别代入，得，解得。（2）由（1）可知抛物线的对称轴是。过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变。（3）设抛物线的对称轴与轴交于点K，过点K作PB的垂直平分线交抛物线于Q1，Q2两点则Q1PB，Q2PB是等腰三角形。P点的坐标是（，），OP的解析式是，且Q1Q2OP，点K（，0），Q1Q2的解析式是：，抛物线的解析式为：。联立，即得直线和抛物线的交点Q1，Q2两点的坐标是【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解方程组。【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出，的值确定解析式。（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变。（3）作出对称轴与轴的交点为K，过K点作PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求。5.（湖南湘潭10分）已知，AB是O的直径，AB=8，点C在O的半径OA上运动，PCAB，垂足为C，PC=5，PT为O的切线，切点为T（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：POBT；（3）如图（3），设PT2=，AC=，求与的函数关系式及的最小值【答案】解：（1）连接OT， 当C点运动到O点时，PT为O的切线，OTPT,在RtPTO中，(2)连接AT，当C点运动到A点时，PCAB，PA是O的切线。PT为O的切线，PA=PT，PO平分APT。POAT。AB是O的直径，ATB是直角，即BTAT。POBT。连接OP、OT，AC=，在RtPCO中，在RtPOT中，,，即。当=4时，最小其值为9。与的函数关系式为， 的最小值是9。【考点】圆切线的性质，平行的判定，二次函数的最值，勾股定理。【分析】（1）连接OT，根据题意，由勾股定理可得出PT的长。（2）连接AT，由POAT和BTAT即可证出结论。（3）连接OP、OT，在RtPCO和RtPOT中应用勾股定理，可得出与之间的关系式，从而求得的最小值6.（湖南张家界12分）如图，抛物线经过点A（4，0）、B（2，2），连接OB、AB，（1）求该抛物线的解析式.（2）求证：OAB是等腰直角三角形.（3）将OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到OAB，写出AB的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上.（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）由A（4，0）、B（2，2）在抛物线图象上，得： ，解之得，。 该函数解析式为： 。（2）过点B作BC垂直于轴，垂足是点C。 易知：线段CO、CA、CB的长度均为2， ABC和OBC为全等的等腰直角三角形。 且ABO=900。OAB是等腰直角三角形。（3）如图，将OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到OAB其中点B正好落在轴上且BA轴又B和AB的长度为AB中点P的坐标为，显然不满足抛物线方程。点P不在此抛物线上。（4）存在。过点O，作OMAB交抛物线于点M易求出直线OM的解析式为：联立抛物线解析式得： 解之得，点M（6，6）。显然，点M（6，6）关于对称轴的对称点M（2,6）也满足要求，故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（6，6）和（2，6）。SABOM=SABOSAOM =×4×2+×4×6=16。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定，旋转的性质。【分析】（1）将A（4，0）、B（2，2）代入抛物线解析式，列方程组求、的值即可。（2）根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状。（3）根据OAB的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求A、B的坐标，根据中点坐标公式求P的坐标，代入抛物线解析式进行判断。（4）存在过点O，作OMAB交抛物线于点M，根据OAB为等腰直角三角形，可求直线OM的解析式，与抛物线解析式联立，可求M点坐标，同理，过点A，作AMOB交抛物线于点M，联立方程组可求M的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积相等，根据梯形面积公式求解。7. （湖南衡阳10分）已知抛物线（1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与轴总有两个不同的交点（2）如图，当抛物线的对称轴为直线=3时，抛物线的顶点为点C，直线=1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形【答案】解：（1）当=0时，得关于的一元二次方程该方程根的判别式=m24m+7=（m2）2+30方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个不同的交点。（2）由直线=1与抛物线交于A点，且在轴上，点A（1，0）代入二次函数函数式则m=3。二次函数式为：。当抛物线的对称轴为直线=3时，则=2，即顶点C为（3，2）。把=3代入直线=1则=2，即点D（3，2）。则AD=AC=2。设点P（，），由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等，得。解得：=3或=5则点P（3，2）（与点D重合舍去）或（5，0）。经检验点（5，0）符合，所以点P（5，0）。设直线CD平移个单位可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则M（3，2），N（3，（3）23（3）。根据平行四边形对边平行且相等的判定，只要MN=DC=4。（）当点M在点N上方，得（2）=4，整理，得22=0，解得，=0（与DC重合，舍去），=2。（）当点M在点N下方，得（2）=4整理，得2216=0，解得，=。综上所述，直线CD向右平移2或个单位或向左平移个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。【考点】二次函数综合题，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的判定，平移的性质，平行四边形的判定，解一元二次方程。【分析】（1）从函数的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得。 （2）由直线=1与抛物线交于A、B两点，求得点A，代入抛物线解析式得m，由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等，求得点P坐标。设定M、N的坐标，从MN与CD的位置关系解得。8.（湖南怀化10分）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E（1）求证：AEAO=BFBO；（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由【答案】解：（1）证明：E，F点都在反比例函数图象上，根据反比例函数的性质得出，AEAO=BFBO。（2）设经过O、E、F三点的抛物线的解析式为，点E的坐标为（2，4），AEAO=BFBO=8。BO=6，BF=，F（6，），把O、E、F三点的坐标分别代入二次函数解析式得：，解得：。经过O、E、F三点的抛物线的解析式为。（3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点G，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有：设BC'=，BF=，则C'F=CF=点的坐标F（6，），E（1.5，4）。EC'=EC=，在RtC'BF中， 。RtEGC'RtC'BF，（）：（）=4：=（）： 。解得：，F点的坐标为（6，）。OF= 。【考点】相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）的性质，勾股定理。【分析】（1）根据反比例函数的性质得出，即可得出AEAO=BFBO。（2）利用E点坐标首先求出BF= ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。9.（湖南益阳12分）图是小红设计的钻石形商标，ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，ACED，EAC=60°，AE=1（1）证明：ABECBD；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；（4）求线段BD的长【答案】解：（1）证明：ABC是等边三角形，AB=BC，BAC=BCA=60°。四边形ACDE是等腰梯形，EAC=60°，AE=CD，ACD=CAE=60°。BACCAE=120°=BCAACD。即BAE=BCD。在ABE和BCD中，AB=BC，BAE=BCD，AE=CD，ABECBD（SAS）。（2）存在答案不唯一如ABNCDN证明如下：BAN=60°=DCN，ANB=DNC，ANBCND其相似比为：。（3）由（2）得 ，CN=AN=AC同理AM=AC，AM=MN=NC。（4）作DFBC交BC的延长线于F，BCD=120°，DCF=60°。在RtCDF中，CDF=30°，CF=CD=。在RtBDF中，BF=BCCF=，DF=，【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰梯形的性质。【分析】（1）由ABC是等边三角形，得AB=BC，BAC=BCA=60°，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，ACD=CAE=60°，利用“SAS”判定ABECBD。（2）存在可利用ABCD或AEBC得出相似三角形。（3）由（2）的结论得 ，即CN=AC，同理，得AM=AC，可证AM=MN=NC。（4）作DFBC交BC的延长线于F，在RtCDF中，由CDF=30°，CD=AE=1，可求CF，DF，在RtBDF中，由勾股定理求BD。10.（湖南邵阳12分）如图所示，在平面直角坐标系O中，已知点A(，0)，点C(0，3)，点B是轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C（1）求ACB的度数；（2）已知抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使BOD为等腰三角形若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：(1) 以AB为直径的圆恰好经过点C ， ACB=900。(2) AOCABC，OC2=AO·OB。A(，0)，点C（0，3）， AO=，OC=3。 32=OB，OB=4。B（4，0）。设抛物线的解析式为把 C点坐标代入得 ，解得抛物线的解析式为，即。(3) 存在。分两种情况讨论： OD=OB , D在OB 的中垂线上，过D作DHOB,垂足是H ，则H 是OB 中点。DH=OC，OH=OB 。D（2，）。 BD=BO，过D作DGOB,垂足是G，则OC=3，OB=BD=4，BC=5，CD=1，DGCOOG:OB=CD:CB，即OG:4=1:5，OG=； DG:CO=BD:BC，即DG:3=4:5，DG=。D(，)。综上所述，线段BC上存在点D，使BOD为等腰三角形，点D的坐标为（2，），(，)。【考点】二次函数综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定，平行的性质。【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到ACB的度数。（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式。（3）分别以OB为底边和腰求出满足BOD是等腰三角形的点D的坐标。11.（湖南岳阳10分）九 （1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践应用探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：I如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在轴 上设矩形ABCD的周长为，求的最大值II如图，过原点作一条=的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作轴的垂线交抛物线于点Q问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25）， 设抛物线的解析式为。图象过（10，0）点，解得。抛物线的解析式为。（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，=2把=2代入解析式得：=0.25（25）2+6.25，=4。43.5=0.5，隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶。（3）I假设AO=，可得AB=102，AD=0.25（5）2+6.25。矩形ABCD的周长为为：=2+2（102）=0.52+20=0.5（1）2+20.5。l的最大值为20.5。II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P在=的图象上，设P（，）。过P点作轴的垂线交抛物线于点QPOA=OPA=45°，N点的坐标为（5，5）Q点的坐标为（，5）。把Q点的坐标代入，得，解得。使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：（，）或（，）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点和最值，等腰直角三角形的性质。【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可。（2）根据已知得出当=2时，正好是两辆汽车的宽度，求出即可。（3）I首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出。II利用等腰直角三角形的性质，以及P在=的图象上，即可得出P点的坐标。12.(湖南湘西20分)如图.抛物线与轴相交于点A和点B,与轴交于点C.(1)求点A、点B和点C的坐标.(2)求直线AC的解析式.(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点,且SMAB=6求点M的坐标.(4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从A运动(不与B,A重合),同时,点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t秒,请求出APQ的面积S与t的函数关系式,并求出当t为何值时, APQ的面积最大,最大面积是多少?【答案】解：（1）令，解得，A(3，0)，B.(1，0)。令，得，C(0，3)。(2)设直线AC的解析式为，将A、C的坐标代入，得 ， 解之得。直线AC的解析式为。(3)设M点的坐标为(,)，M在第二象限, >0。 又AB=4，由SMAB=6，得，解之，得,。当=0时，=3(不合题意，舍去)，当=-2时，=3，M点的坐标为(2，3) 。 (4)由题意，得AB=4，PB=4t, AQ=2t，AO=3，CO=3，ABC是等腰直角三角形。由AQ=2t和Q点在上，得Q点的纵坐标为t。S= 。又S=当t=2时APQ最大，最大面积是2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，诗定系数法，解一元二次方程和二元一次方程组，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）令=0求得抛物线与轴的交点坐标，令=0求得图象与轴的交点坐标。（2）利用已知的两点的坐标用待定系数法求得一次函数的解析式。（3）设出点M的坐标为(,)，然后表示出其面积 ，解得即可。（4）用t表示出APQ的底边和高，即可求出S与t的函数关系式，利用二次函数的性质求出S的最大值。13.（湖南娄底10分）在等腰梯形ABCD中，ADBC，且AD=2，以CD为直径作O1，交BC于点E，过点E作EFAB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0）（1）求C，D两点的坐标（2）求证：EF为O1的切线（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】解：（1）连接DE，CD是O1的直径，DEBC。四边形ADEO为矩形OE=AD=2，DE=AO=2。在等腰梯形ABCD中，DC=AB，CE=BO=2，CO=4。C（4，0），D（2，2）。（2）连接O1E，在O1中，O1E=O1C，O1EC=O1CE。在等腰梯形ABCD中，ABC=DCB，O1EAB。又EFAB，O1EEF。E在AB上，EF为O1的切线。（3）存在满足条件的点P如图，过P作PM轴于M，作PN轴于N，依题意得PC=PM，在矩形OMPN中，ON=PM，设ON=，则PM=PC=，CN=4，在RtABO中，tanABO=，ABO=60°，PCN=ABO=60°。在RtPCN中，cosPCN=，即，。PN=CNtanPCN=。满足条件的P点的坐标为（）。【考点】坐标与图形性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，等腰梯形的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）连接DE，由等腰梯形的对称性，根据线段的等量关系可求C，D两点的坐标。（2）连接O1E，由半径O1E=O1C，得O1EC=O1CE，由等腰梯形的性质，得ABC=DCB，故O1EC=ABC，可证O1EAB，由EFAB，证明O1EEF即可。（3）存在过P作PM轴于M，作PN轴于N，由PC=PM，设ON=，则PM=PC=，CN=4，在RtABO和RtPCN中，由锐角三角函数定义即可求。14.（湖南株洲10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=（如图1），求的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过B作轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标【答案】解：（1）设线段AB与轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， OA=OB=，AOB=900，AC=OC=BC=2。B(2，2)。 将B(2，2)代入抛物线得，。（2）过点A作轴于点E，点B的横坐标为，B (1，)。BF=。又AOB=900，易知AOE=OBF。又，AEO=OFB=900，AEOOFB，。 AE=2OE。设点A（，）（），则，。，即点A的横坐标为4。 （3）设A（，）（），B（，）（），设直线AB的解析式为：， 则 ，得，又易知AEOOFB，。由此可知不论为何值，线段AB恒过点（，2）。【考点】二次函数综合题，抛物线的对称性，等腰直角三角形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。【分析】（1）先求出B点坐标，代入抛物线得的值。（2）过点A作AE轴于点E，可证AEOOFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标。（3）设A（，）（），B（，）（），易知AEOOFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，2）。15.（湖北武汉12分）如图1，抛物线经过A（3，0），B（1，0）两点.   （1）求抛物线的解析式；    （2）设抛物线的顶点为M，直线与轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；    （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使PEF的内心在轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）抛物线经过A（3,0），B（1,0）两点  ，解得。抛物线的解析式为。（2）由（1）配方得，抛物线的顶点M（2，,1）。直线OD的解析式为。设平移的抛物线的顶点坐标为（h，h），平移的抛物线解析式为.当抛物线经过点C时，C（0，9），h2+h=9，   解得h=。 当 h< 时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点。 当抛物线与直线CD只有一个公共点时， 由y 得，=（2h2）24（h2h9）=0，  解得h=4。 此时抛物线y=（x4）22与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意。综上所述：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或h<.（3）将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为设EF的解析式为=k+3（k0）.    假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，HPEF的内心在y轴上，GEP=EPQ=QPF=HFP。GEPHFP。  2kE·F=（t3）（EF）  由，=k+3.得2k3=0， E+F=k, E·xF=3。2k（3）=（t3）k。k0,t=3。y轴的负半轴上存在点P（0，3），使PEF的内心在y轴上。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，平移的性质，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，三角形内心的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系。【分析】（1）根据抛物线经过点A（-3，0），B（-1，0）两点，代入解析式求出即可。（2）由（1）配方得，利用函数平移当抛物线经过点C时，当抛物线与直线CD只有一个公共点时，分别分析求出。（3）由三角形内心的性质，应用相似三角形的判定和性质和一元二次方程根与系数的关系，即可求得。16.（湖北黄石10分）已知二次函数（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。（2）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在抛物线上），请问：AMN的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。【答案】解：（1），的对称轴为。又当时，函数值随的增大而减小，由题意得，。（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与MN交于点B，则。设，。又为定值。（3）令，即时，有由题意，为完全平方数，令，即。为整数，的奇偶性相同。或，解得或。综合得，。【考点】二次函数综合题。【分析】（1）求出二次函数的对称轴，由于抛物线的开口向上，在对称轴的左边随的增大而减小，可以求出的取值范围。（2）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，得到三角形AMN的面积是无关的定值。（3）当时，求出抛物线与轴的两个交点的坐标，然后确定整数的值。17.（湖北十堰12分）如图，已知抛物线与轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），已知点H（0，1）.问在抛物线上是否存在点G（点G在轴的左侧），使得SGHC=SGHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图（2），抛物线上点D在轴上的正投影为点E（2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若EPF=BDF，求线段PE的长.【答案】解：（1）抛物线经过A（1，0）和点C（0，3）， ，解得。 抛物线的解析式是。(2)假设抛物线上存在点G，设G（m，n）,显然，当n=3时，AGH不存在。当n3时，可求得GH与轴的交点坐标（，0），可得SAGH= ，SGHC= m。由SAGH= SGHC得， mn1=0。解得 m= ,n= ,或m= , n=。点G在y轴的左侧，G（，）、当4n<3时，可得SAGH=, SGHC= m。由SAGH= SGHC得，3mn1=0。，解得 或 。点G在y轴的左侧，G（1，4）。存在点G（，）或（1，4）。(3) 如图，E(2,0), D点的横坐标是2，点D在抛物线上，D（2，3）。F是OC中点，F（0，）。直线DF的解析式为= 。则它与轴交于点Q（2，0），则QB=QD=5，BE=1