普通高等学校招生全国统一考试数学卷福建文含详解.doc

【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流普通高等学校招生全国统一考试数学卷福建文含详解.精品文档.2011福建文本试卷第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷4至6页。满分150分。注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据的标准差 其中为样本平均数柱体体积公式其中为底面面积，为高锥体公式，其中为底面面积，为高球的表面积、体积公式，其中为球的半径第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。 1若集合，则等于（） A B C D 【解】故选A 2是虚数单位等于（）. A B C D 【解】故选D3若，则“”是“”的（） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解】当时，有所以“”是“”的充分条件，反之，当时，所以“”不是“”的必要条件故选A 4某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有名，高二年级有名。现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A B C D【解】故选B5阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A B C D【解】运行相应的程序是第一步：，第二步：，输出故选B6 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A B C D【解】因为关于的方程有两个不相等的实数根，则，解得或故选 7（同理 4）如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于（） A B C D【解】因为，则点取自内部的概率故选C8已知函数，则实数的值等于（）A B C D【解】因为，则由得，于是，故选A9若，且，则的值等于（）A B C D 【解】由得，所以，即，因为，所以，于是，所以故选D10若，且函数在处有极值，则的最大值等于（ ）A BC D【解】，因为在处有极值，则，于是，因为，当且仅当时，等号成立此时，因此是一个极值点所以的最大值等于故选D11（同理7）设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（）A或 B或 C或 D或【解】因为，所以设，若为椭圆，则所以若为双曲线，则所以故选A12.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论：整数属于同一“类”的充要条件是“”其中，正确结论的个数为（）A BC D【解】，所以正确；，所以不正确；，正确；若整数属于同一“类”，则，则，所以正确由以上，正确，故选C第II卷（非选择题 共90分） 注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上。13.若向量，则等于_【解】14若的面积为，则边的长度等于_【解】所以，又，所以是等边三角形，于是15如图，正方体中，点为的中点，点在上，若，则线段的长度等于_【解】因为，且平面与平面的交线为，所以，又点为的中点，所以为的中位线，所以，因为，为正方形，所以，所以16.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价，最高销售限价（）以及常数（）确定实际销售价格，这里，被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数恰好使得是和的等比中项，据此可得，最佳乐观系数的值等于_【解】由得，设，则由题设，则，即，于是，因为，所以三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17.（本小题满分12分）已知等差数列中，（）求数列的通项公式；（）若数列的前项和，求的值【解】（）设等差数列的公差，则，由题设，所以（）因为，所以，解得或因为，所以18.（本小题满分12分）如图，直线与抛物线相切于点（）求实数的值；（）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程【解】（）解法1由得，因为直线与抛物线相切，所以，解得解法2设切点，由得，所以切线在点处的斜率为，因为切线的斜率为，则，又在抛物线上，所以，于是的坐标为，因为在直线s上，所以，（）由（），则由解得，于是的坐标为，设以点为圆心的圆的方程为，抛物线的准线为，而圆与抛物线的准线相切则，所以圆的方程为19.（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为现从一批该日用品中随机抽取件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（）若所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，等级系数为的恰有件，求的值；（）在（）的条件下，将等级系数为的件日用品记为，等级系数为的2件日用品记为，现从这件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率【解】（）由频率分布表得，即因为所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，所以，又因为所抽取的件日用品中，等级系数为的恰有件，所以，于是所以，（）从件日用品中任取两件，所有可能的结果为：所以所有可能的结果共个。设事件表示“从这件日用品中任取两件，等级系数恰好相等”则包含的事件为，共个，所以所求的概率为20.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，点在线段上，且（）求证：；（）若，求四棱锥的体积【解】因为，所以因为，所以又，所以（）由（），在中，又因为，则，又，所以四边形为矩形四边形为梯形因为，所以，于是四棱锥的体积为21（本小题满分12分）设函数，其中角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且（）若点的坐标为，求的值；（）若点为平面区域，上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的最小值和最大值【解】（）因为的坐标为，则（）作出平面区域，则为图中的的区域，其中，因为，所以，则，所以，所以当，即时，取得最大值，且最大值为；当，即时，取得最小值，且最小值为22.（本小题满分14分）已知为常数，且，函数，（是自然对数的底数）（）求实数的值；（）求函数的单调区间；（）当时，是否同时存在实数和（），使得对每一个，直线与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由【解】由，得；（）由（），定义域为从而，因为，所以(1) 当时，由得，由得；(2) 当时，由得，由得；因而，当时，的单调增区间为，单调减区间为，当时，的单调增区间为，单调减区间为（）当时，令，则当在区间内变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增因为，所以在区间内值域为由此可得，若，则对每一个，直线与曲线都有公共点，并且对每一个，直线与曲线都没有公共点综合以上，当时，存在实数和，使得对每一个，直线与曲线都有公共点