高等数学-同济第六版.pptx
会计学1高等数学高等数学-同济同济(tn j)第六版第六版7-1第一页，共21页。解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为1. 微分方程微分方程(wi fn fn chn)的基本概念的基本概念P294-1第1页/共21页第二页，共21页。例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts P294-2第2页/共21页第三页，共21页。代入条件代入条件(tiojin)后知后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502 . 02米米 s开始开始(kish)制动到列车完全停制动到列车完全停住共需住共需第3页/共21页第四页，共21页。微分微分(wi fn)(wi fn)方程方程: :凡表示未知函数、未知函数的导数或微分凡表示未知函数、未知函数的导数或微分(wi (wi fn)fn)及自变量之间关系的方程叫微分及自变量之间关系的方程叫微分(wi fn)(wi fn)方程方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质实质(shzh): (shzh): 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函未知函数以及未知函数的某些导数数的某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .第4页/共21页第五页，共21页。微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现微分方程中出现(chxin)(chxin)的未知函的未知函数的最数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. .分类分类(fn li)1: (fn li)1: 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程(wi fn fn chn);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类分类2:2:第5页/共21页第六页，共21页。分类分类(fn li)3: (fn li)3: 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类(fn li)4: (fn li)4: 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy第6页/共21页第七页，共21页。微分方程微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的解的解: :代入微分方程代入微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)能使方程成能使方程成为恒等式的函数称之为恒等式的函数称之. . ,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程微分方程(wi fn fn chn)的解的分类：的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任意常且任意常数的个数与微分方程的阶数相同数的个数与微分方程的阶数相同. .第7页/共21页第八页，共21页。(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意确定了通解中任意(rny)(rny)常数以常数以后的解后的解. ., yy 例例;xCey 通解通解, 0 yy;cossin21xCxCy 通解通解解的图象解的图象: : 微分方程的积分微分方程的积分(jfn)(jfn)曲线曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分积分(jfn)(jfn)曲线族曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .第8页/共21页第九页，共21页。过定点过定点(dn din)的积分曲线的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线过定点且在定点的切线(qixin)的斜率为定值的积的斜率为定值的积分曲线分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足求微分方程满足(mnz)(mnz)初始条件的解初始条件的解的问题的问题. .第9页/共21页第十页，共21页。例例 3 3 验证验证:函数函数ktCktCxsincos21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxdP297-3第10页/共21页第十一页，共21页。. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 第11页/共21页第十二页，共21页。答案：不是所有的微分方程都存在通解。答案：不是所有的微分方程都存在通解。22210 400,0yyyyyy 例例如如方方程程 和和 都都不不存存在在实实函函数数解解，而而方方程程 只只有有解解 。通解：如果微分方程的解中含有任意常数的个数与通解：如果微分方程的解中含有任意常数的个数与 它的阶数相同，则这个解称为通解。它的阶数相同，则这个解称为通解。以上三个方程，有的没有实函数解；有的有解，但解中不含任意常数。所以，上述三个方程都不存在以上三个方程，有的没有实函数解；有的有解，但解中不含任意常数。所以，上述三个方程都不存在(cnzi)通解。通解。第12页/共21页第十三页，共21页。答：微分方程的通解答：微分方程的通解(tngji)不一定包含它所有不一定包含它所有的解。的解。2240 )0yyyxcy 例例如如方方程程 有有通通解解 （，但但它它不不能能包包含含方方程程的的解解。特殊的：未知函数的最高阶导数的系数为特殊的：未知函数的最高阶导数的系数为1的线的线性微分方程性微分方程(wi fn fn chn)的通解能包含的通解能包含所有的解。所有的解。第13页/共21页第十四页，共21页。微分方程微分方程(wi fn (wi fn fn chn)fn chn)；微分方程微分方程(wi fn (wi fn fn chn)fn chn)的阶；的阶；微分方程微分方程(wi fn fn (wi fn fn chn)chn)的解；的解；通解通解; ;初始条件；初始条件；特解；特解；初值问题；初值问题；积分曲线积分曲线本节基本概念：本节基本概念：第14页/共21页第十五页，共21页。思考思考题题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?第15页/共21页第十六页，共21页。思考题解答思考题解答(jid),62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程故为微分方程(wi fn fn chn)的特解的特解.第16页/共21页第十七页，共21页。三三、设设曲曲线线上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q, ,且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(21CxCy 所含的参数所含的参数, ,使使 其满足初始条件其满足初始条件1 xy, ,0 xy. .练练 习习 题题第17页/共21页第十八页，共21页。四四、已已知知函函数数1 xbeaeyxx, ,其其中中ba ,为为任任意意常常 数数, ,试试求求函函数数所所满满足足的的微微分分方方程程 . .第18页/共21页第十九页，共21页。练习题答案练习题答案(d n)一、一、1 1、3 3； 2 2、2 2； 3 3、1 1； 4 4、2.2.二、二、.2, 121 CC三、三、02 xyy. .四、四、xyy 1. .第19页/共21页第二十页，共21页。第20页/共21页第二十一页，共21页。
