高考数学总复习苏教椭圆.pptx
会计学1高考高考(o ko)数学总复习苏教数学总复习苏教 椭圆椭圆第一页，共23页。标准方程 图形性质 范围 xa yb xb ya对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点A1 ,A2B1 ,B2 A1 ,A2B1 ,B2 轴 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 .焦距 F1F2=离心率 e= a,b,c的关系 c2=0)b1(abyax22220)b1（abxay2222ac-a-a-b-b(-a,0)(0,-b)(a,0)(0,b)(0,-a)(-b,0)(0,a)(b,0)2a2b2c(0,1)a2-b2第1页/共23页第二页，共23页。典例分析典例分析(fnx)题型一题型一 椭圆的定义椭圆的定义(dngy)及其标准方程及其标准方程【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线(chu xin)恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.分析 方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.354352第2页/共23页第三页，共23页。解 方法一：设椭圆(tuyun)的标准方程 或 ,两个焦点分别为F1、F2，则由题意知2a=PF1+PF2= , a= .在方程 中,令x=c,得y= ；在方程 中,令y=c,得x= .依题意知 = ,b2= .即椭圆(tuyun)的方程为0)b1(abyax22220)b1（abxay22225251byax22221bxay2222ab2ab2ab21103x5y1或103y5x2222532310方法(fngf)二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,则PF1= ,PF2= .由椭圆的定义,知2a=PF1+PF2= ,即a= .354352525第3页/共23页第四页，共23页。由PF1PF2知，PF2垂直于长轴.故在RtPF2F1中，4c2=PF12-PF22= ,c2=53，于是b2=a2-c2= .又所求椭圆的焦点(jiodin)可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程(fngchng)时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程(fngchng)，分别计算；有时也可以直接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 .9603101103x5y1或103y5x22220)n0,1(mnymx22a2b2第4页/共23页第五页，共23页。举一反三举一反三1. 1. 已知椭圆已知椭圆(tuyun)(tuyun)的中心在原点，焦点在坐的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的标轴上，长轴长是短轴长的3 3倍，且过点倍，且过点P(3,2),P(3,2),求椭圆求椭圆(tuyun)(tuyun)的方程的方程. .解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (ab0),则 解得 此时所求的椭圆方程为 22221xyab2223 2941abab 22455ab221455xy第5页/共23页第六页，共23页。(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (ab0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综上，所求的椭圆方程为 或 22221xyab2223 2941abab 2285859ab22918585xy221455xy22918585xy第6页/共23页第七页，共23页。题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆 (ab0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若 (0)，求证:F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.22221xyab12FPF2tan2b01290FPF分析 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解.12FPF1PFm2PFn121211sinsin22F PFSPFPFmn第7页/共23页第八页，共23页。解 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . 在 中， m+n=2a,1+cos 0, .由、得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号), e , e的取值范围为 ,1).1PFm2PFn12FPF121sin2F PFSmn12FPF222222cos()21 coscmnmnmnmn221 cosbmn2tan2Sb01290FPF22442camn222mnmna222442caa2212ca2222第8页/共23页第九页，共23页。学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率(xn l)等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.举一反三举一反三2. (2009北京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，若|P |=4,求|P |及 的大小.22192xy2F1F1F2F12FPF解析: , , ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6,|P |=2,又由余弦定理，得 29a 22b 22927cab122 7FF 1F1F2F2F22212242 71cos2 2 42FPF 012cos120FPF第9页/共23页第十页，共23页。题型三题型三 直线与椭圆的位置直线与椭圆的位置(wi zhi)关系关系【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准(biozhn)方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(dngdin)可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.第10页/共23页第十一页，共23页。解 （1）据题意设椭圆(tuyun)的标准方程为 ,由已知得a+c=3,a-c=1, .2a=2,c=1,b2=a2-c2=3,椭圆(tuyun)的标准方程为x24+y23=1. .4(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0, .6则由题意得=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,即3+4k2-m20.又x1+x2= ，x1x2= ，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= 80)b1(abyax222224k38mk224k33)4（m2224k3)4k3（m第11页/共23页第十二页，共23页。以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD=-1,即 ,y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, ,即7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2= ,且均满足3+4k2-m2012当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0).所以(suy)直线l过定点，定点坐标为( ,0). 1412xy2xy2211044k316mk4k33)4(m4k3)4k3（m22222272k72727272第12页/共23页第十三页，共23页。学后反思(fn s) (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.举一反三举一反三(j y fn sn)3. 若直线(zhxin)l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线(zhxin)l的方程.14y9x22第13页/共23页第十四页，共23页。解析： 设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然(xinrn)直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程，得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k= .所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0.29k49k18k2xx22219898第14页/共23页第十五页，共23页。【例4】如图，有一块半椭圆(tuyun)形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆(tuyun)的短轴，上底CD的端点在椭圆(tuyun)上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域. 题型四题型四 椭圆的实际椭圆的实际(shj)应用应用分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而(cng r)求出S与x的函数式.解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图），则半椭圆方程为 (y0),解得 (0 xr).14ryrx222222xr2y第15页/共23页第十六页，共23页。S= (2x+2r) = (x+r),由S0和C与D不重合(chngh)，得其定义域为x0 xAB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此(wi c)椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2.0)1(y3y4x2232第17页/共23页第十八页，共23页。易错警示易错警示(jn sh)【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .22189xyk12e 错解 由已知 , ,又 ,解得k=4.28ak29b 12cea2222221184cabkeaak错解分析 忽视了椭圆的焦点(jiodin)位置不确定，即焦点(jiodin)也有可能在y轴上的情况.正解 （1）若焦点在x轴上，即k+89时， , ,解得k=4;(2)若焦点在y轴上，即0k+8b0).c= , 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点，则 , 是上述方程的根，且有0,即 恒成立. 即 , .故所求椭圆方程为 22221xyba5 22250ab222232150yxxybb2222210512460bxb xbb11,M x y22,N xy64240218492000bbb 2122655bxxb225b 212216122255xxbb275a 2212575xy第20页/共23页第二十一页，共23页。12. (2008北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.2234xy解析：（1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 ,得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ， 2234xyyxn 2246340 xnxn212640n 4 34 333n11,x y22,xy第21页/共23页第二十二页，共23页。则 , 又 , ，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60,所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值 1232nxx212344nx x11yxn 22yxn 122nyy3,44n n3,44n n3144nn232SAC222212123162nACxxyy234 34 3316433Snn4 3第22页/共23页第二十三页，共23页。
