相似三角形培优精彩试题.pdf

实用文档1、 （本题满分 7 分）如图 10，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N求证： （1）AE CG；（2）AN DN CN MN.2、(本题满分 7 分)如图 11，已知ABC的面积为 3，且 AB=AC，现将ABC沿 CA 方向平移 CA 长度得到EFA（1）求四边形 CEFB 的面积；（2）试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由；（3）若BEC 15，求 AC 的长文案大全实用文档3、如图，在平行四边形ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFEB.(1) 求证：ADFDEC(2) 若 AB4,AD33,AE3,求 AF 的长.4 4 、 如 图 （ 4 ）， 在 正 方 形ABCD中 ，E、F分 别 是 边A D上 的 点 ，、 C D1连结D F， D CEF并延长交BC的延长线于点G4（1）求证：ABEDEF；EA（2）若正方形的边长为4，求BG的长A EE， D文案大全DFBC图（4）G实用文档5如图（15） ，在梯形ABCD中，DCAB，A90 ，AD 6厘米，DC 4厘米，动点P从A出发以 2 厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从BC的坡度i 3 4，点B出发以 3 厘米/秒的速度沿B C D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？6 6 （本题满分（本题满分 9 9 分）分）DCQABP图（5）一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面， 请甲、 乙两位同学进行设计加工方案， 甲设计方案如图 1，乙设计方案如图 2你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由 （加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）DEDF图AGF图C第第 6 6 题图题图文案大全实用文档7、 如图 1， O 为正方形 ABCD 的中心， 分别延长 OA、 OD 到点 F、 E， 使 OF=2OA，OE=2OD，连接 EF将EOF 绕点 O 逆时针旋转 角得到E1OF1（如图 2） （1）探究 AE1 与 BF1 的数量关系，并给予证明；（2）当 =30时，求证：AOE1 为直角三角形8、 （本题满分 12 分）将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到ABC 和ACD，如图 1 所示.将ACD 的顶点 A与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 D、A(A)、B 在同一条直线上，如图 2 所示观察图 2 可知：与 BC 相等的线段是，CAC=DA文案大全CCDCCCBAABDA(A)B图 1图 2实用文档问题探究如图3， ABC中， AGBC 于点G， 以A 为直角顶点， 分别以AB、 AC为直角边， 向ABC外作等腰 RtABE 和等腰 RtACF，过点 E、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为 P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸如图 4，ABC 中，AGBC 于点 G，分别以 AB、AC 为一边向ABC 外作矩形 ABME和矩形 ACNF，射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB=k AE，AC=k AF，试探究 HE 与 HF 之间的数EQAPFBG图 3C量关系，并说明理由.EAMHFNBG图 4C文案大全实用文档9.（本小题 12 分）如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合） ，在 AD 上适当移动三角板顶点 P：（1） 、 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能， 请你求出这时 AP的长；若不能，请说明理由；（2） 、再次移动三角板的位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B， 另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q， 与 BC 交于点 E， 能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由。文案大全实用文档参考答案参考答案1、 证明： （1）四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形AD CD,DE DG,ADC EDG 90 ,ADE CDG,ADE CDG，3 分AE CG4 分（2）由（1）得ADE CDG,DAE DCG,又ANM CND，AMNCDNANMN，即AN DN CN MNCNDN2、解： （1）由平移的性质得AF / BC且AF BC， EFAABC，四边形AFBC为平行四边形，SEFA SBAF SABC 3，3 分四边形EFBC的面积为9 （2）BE AF证明如下：由（1）知四边形AFBC为平行四边形BF / AC且BF AC，又AE CA， BF / AE且BF AE，四边形EFBA为平行四边形又已知AB AC， AB AE，5 分平行四边形EFBA为菱形， BE AF(3)作BD AC于D， BEC 15，AE AB， EBA BEC 15， BAC 2BEC 30,在RtBAD中,AB 2BD.设BD x,则AC AB 2x,SABC 3,11AC BD 2x x x2,x2 3,x为正数,x 3,AC 2 3.7分223、 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形且SABCADBC ABCDADF=CEDB+C=180AFE+AFD=180AFE=BAFD=CADFDEC(2)解：四边形 ABCD 是平行四边形ADBC CD=AB=4文案大全实用文档又AEBC AEAD在 RtADE 中，DE=ADFDEC4 4、（1）证明：AD2 AE2(3 3)232 63 3AFADAF AF=2 364DECDABCD为正方形，AD AB DC BC，AD 90 1 分AE13 分AE ED， AB21DF1又DF DC， 4DE2AEDF5 分ABE DEFABDE（2）解：ABCD为正方形，EDDF7 分EDBG CGCF1又DF DC，正方形的边长为 44ED 2，CG 69 分BG BCCG 105 5解： （1）作CE AB于点E，如图（3）所示，则四边形AECD为矩形1 分AE CD 4，CE DA6CE3EB42 分EB8，AB12又i 3 4， 在RtCEB中，由勾股定理得：BC CE EB 103 分CDQBAP E图（3）（2）假设PC与BQ相互平分由DCAB，则PBCQ是平行四边形（此时Q在CD上） 4 分文案大全22实用文档即CQ BP，5 分3t 10 122t2222即t 秒时，PC与BQ相互平分7 分，5510（3）当Q在BC上，即0t时，3解得t 作QF AB于F，则CEQFQFBQQF3t9t即8 分， QF CEBC6105119tSPBQPB QF (122t)225981=(t 3)29 分5581当t 3秒时，SPBQ有最大值为厘米210 分51014当Q在CD上，即t时，3311SPBQPB CE (122t)622=366t11 分易知S随t的增大而减小1010故当t 秒时，SPBQ有最大值为366 16厘米233925410t t，0t 5538116，y 510146t 36t33综上，当t 3时，SPBQ有最大值为6、 （本题满分 9 分）解：由AB 1.5m，SABC1.5m2，可得BC 2m由图 1，若设甲设计的正方形桌面边长为xm，由DEAB，得RtCDERtCBA，8112 分厘米25xB C xx 2x，即，A BB C1 . 523631.5x 2x，x m4 分3.57由图 2，过点B作RtABC斜边AC上的高BH交DE于P，交AC于H由AB 1.5m，BC 2m，AB BC 1.5 2 2.5（m）2222DxEF图得AC 文案大全实用文档由AC BH AB BC可得，BH AB BC1.526 分1.2mAC2.5DP设乙设计的桌面的边长为ym，D E A，CRtBDERtBAC，B PD EB HA C1.2 yy30即，解得y m1.22.537y63030，73537x2 y2，AGHF图C甲同学设计的方案较好7、答案： （1）用边角边证明AOE和BOF全等，即可证得 AE=BF(2)取 OE的中点 G,得到等边AOG，等到AGO=60，又由 AG=EG 得到AEO30，从而得到OAE是 90，即为直角三角形。8.解：情境观察AD（或 A D） ，90问题探究结论：EP=FQ.证明：ABE 是等腰三角形，AB=AE，BAE=90.BAG+EAP=90.AGBC，BAG+ABG=90，ABG=EAP.EPAG，AGB=EPA=90，RtABGRtEAP. AG=EP.同理 AG=FQ.EP=FQ.拓展延伸结论： HE=HF.理由：过点 E 作 EPGA，FQGA，垂足分别为 P、Q.四边形 ABME 是矩形，BAE=90，BAG+EAP=90.AGBC，BAG+ABG=90，ABG=EAP.AGABAGB=EPA=90，ABGEAP， =.EPEAAGAC同理ACGFAQ，=.FPFAABACAGAGAB=kAE，AC=kAF，=k，=. EP=FQ.EAFAEPFP文案大全EPHQAFMNBGC实用文档9解：结论：能设 AP=xcm，则 PD=(10-x)cm因为A=D=90，BPC=90，所以DPC=ABP所以ABPDPC则 AB/PD=AP/DC，即 ABDC=PDAP所以 44=X(10-X)，即 x2-10 x+16=0解得 x1=2，x2=8所以 AP=2cm 或 8 cm结论：能设 AP=Xcm，CQ=y cm由于 ABCD 是矩形，HPF=90，所以BAPECQ，BAPPDQ所以 APCE=ABCO，APPD=ABDQ，所以 2x=4y，即 y=x/2， x(10-x)=4(4+y)消去 y，得 x2-8x+16=0，解得 x1=x2=4，即 AP=4cm文案大全实用文档一、选择题（每小题 6 分，共 48 分）1在ABC 中，D、F 是 AB 上的点，E、H 是 AC 上的点，直线 DE/FH/BC，且 DE、FH 将ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=5 6，则 BC 的长为（）A15B10C.1562D21532在ABC 中，DE/BC，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，且 SADE：S四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（）A1：2B1：( 2 1)D( 3 1)：3C1：( 3 1)为（）A3在 RtABC 中，C=90，CD 是斜边 AB 上的高，AC=5，BC=8，则 SACD：SCBD58B2564C2539D25894如图 151，D、E、F 是ABC 的三边中点，设DEF 的面积为 4，ABC 的周长为 9，则DEF 的周长与ABC 的面积分别是（）9，1629C.，82A.B. 9，4D.9，1645如图 152，在ABC 中，ADBC 于 D，下列条件：（1）B+DAC=90；（2）B=DAC；（3）CDAC；ADAB（4）AB2=BDBC。其中一定能够判定ABC 是直角三角形的共有（）A3 个B2 个C1 个D0 个6如图 153，在正三角形 ABC 中，D，E 分别在 AC，AB 上，且AD1，AE=BE，则有（）AC3A. AEDBEDBAEDCBDC. AEDABDDBADBCD7如图154，PQ/RS/AC，RS=6，PQ=9，QC （）A.51SC，则AB 等于3D. 514B.634C.712文案大全实用文档8如图 155，平行四边形ABCD 中，O1、O2、O3是 BD 的四等分点，连接AO1，并延长交 BC 于 E，连接 EO2，并延长交 AD 于 F，则A3：1B3：1AD等于（）FDD. 7：3C3：29 如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形， 那么这个三角形必是（）A等腰三角形B. 任意三角形C直角三角形D直角三角形或等腰三角形10在ABC 和ABC中，AB： AC=AB：AC，B=B，则这两个三角形（）A相似，但不全等C一定相似B全等D无法判断是否相似11如图161，正方形ABCD 中，E 是 AB 上的任一点，作EFBD 于F，则EF为（）BE21AB22C63D212如图 162，把ABC 沿边 AB 平移到ABC的位置，它们的重叠部分 （图中阴影部分） 的面积是ABC 的面积的一半， 若AB 则此三角形移动的距离AA是（）A2 1B2，22C1D1213 如图 163， 在四边形 ABCD 中， A=135， B=D=90， BC=2 3，AD=2，则四边形 ABCD 的面积是（）A4 214如图164，平行四边形ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点，AG与 BD 交于点 E，与 DC 交于点 F，则图中相似三角形共有（）A3 对对15在直角三角形中，斜边上的高为 6cm，且把斜边分成 3：2 两段，则斜边上的中线的长为（）A.B4 对C5 对D 6B4 3C4D65 6cm2B4 6cmDC5 6cm53cm2文案大全实用文档16AD 为 RtABC 斜边 BC 上的高，作 DEAC 于 E，A1625B45C54AB5CE=（），则EAAC425D1617如图 165，ABC 中，AB=AC，A=36，BD 平分ABC，已n2知 AB=m， BC=n， 求 CD 的长。 甲同学求得 CD=mn， 乙同学求得CD ,m下列判断正确的是（）A甲、乙都正确B甲正确、乙不正确C甲不正确、乙正确D甲、乙都不正确18如图166，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3。如果边AB 上的点 P 使得以 P、A、D 为顶点的三角形和以P、B、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点 P 有（）A1 个B2 个C. 3 个D4 个二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）20 如图 156， 在 RtABC 中， ACB=90， CDAB， AC=6， AD=3.6，则 BC=_。21等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则此三角形的面积是_。22在ABC 中，BD，CE 分别为 AC、AB 边上的中线，M、N 分别是 BD，CE 的中点，则 MN：BC=_。23在 ABC 中，DE/BC，D、E 分别在 AB、AC 边上，若AD=1，DB=2，那么DE BC=_。DE24平行于ABC 的边 AB 的直线交 CA 于 E，交 CB 于 F，若直线 EF 把ABC 分成面积相等的两部分，则 CE：CA=_。25RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，该图中共有 x 个三角形与ABC 相似，则x=_。26 在ABC 中 ， 点 D 在线 段 BC 上 ，BAC=ADC，AC=8，BC=16，则CD=_。文案大全实用文档三、计算题（本大题共 86 分）27 如图 157， ABC 为直角三角形， ABC=90， 以 AB 为边向外作正方形 ABDE，连接 EC 交 AB 于 P 点，过 P 作 PQ/BC 交 AC 于点 Q。证明 PQ=PB。28 如图 158， 已知 DE/AB， EF/BC。 求证： DEFABC。29 在 RtABC 中， C=90， CDAB 于 D， S2BCD=SABC SADC。求证：BD=AC。30如图 159，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，在AD上取一点F， 使AF11， 连接FE交CB的延长线于H， 交AC于G， 求证AG AC。FD25文案大全实用文档34如图 1510，已知 AD 是ABC 的中线， 过ABC 的顶点 C 任作一直线分别交 AB、AD 于点 F 和点 E，证明：AEFB=2AFED。32如图 1511，在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c。点 P 是 AB上一个动点（P 与 A、B 不重合） 。连接 PC，过 P 作 PQ/AC 交 BC 于 Q 点。33 如图 167，在ABC 中， BD 是 AC 边上的中线， BE=AB,且 AE 与 BD 交于 F 点，求证：ABEF。BCAF34如图 168，APD=90，AP=PB=BC=CD，找出图中两个相似的三角形，并给出证明。文案大全实用文档35如图 169，AD、BE 是ABC 的高，DFAB 于 F，DF 交 BE 于 G，FD 的延长线交 AC 的延长线于 H，求证 DF2=FGFH。36如图1610，AP 是ABC 的高，点D、G 分别在 AB、AC 上，点E、F 在 BC 上，四边形 DEFG 是矩形，AP=h，BC=a， （1）设DG=x，S矩形DEFG=y，试用a、h、x 表示 y； （2）按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积和等于 ABC的面积？文案大全实用文档选修选修 4-14-1 第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试【试题答案】【试题答案】一、选择题（每小题 6 分，共 60 分）1. A2. D3. B4. A解析：如图 D124 所示，D、E、F 分别为ABC 三边中点1EF/BC，AEF ABC2且EF1BC2lDEFEF1,lABC 9lABCBC2lDEF92SDEFEF21又,SDEF 42SABCBC4SABC16故lDEF选 A9,SABC1625. A解析：验证法： （1）不能判定ABC 为直角三角形B+DAC=90，而B+DAB=90，BAD=DAC同理B=C，不能判定BAD+DAC 等于 90；（2）中B=DAC，C 为公共角，ABCDAC。DAC 为直角三角形，ABC 为直角三角形；在（3）中，CDAC可得ACDBAD，ADABBAD=C，B=DAC，文案大全实用文档BAD+DAC=90；（4）中 AB2=BDBC，即BDAB，B 为公共角，ABBCABCDBA，即ABC 为直角三角形。正确命题有 3 个选 A。6. B解析：直接法。注意到A=C=60可设 AD=a，则 AC=3a，而 AB=AC=BC=3a所以 AE=BE=所以ADAECDBCAD所以AE又3a，2a2。33a22a2，3a3CD，A=C=60，CB故AEDCBD，选 B。7. A8. B9. D10. D11. A12. C13. C 解析：由B=D=90，于是设想构造直角三角形，延长 BA 与 CD，它们的延长线交于E，则得到 RtBCE 和 RtADE由题目条件知，ADE 为等腰直角三角形，DE=AD=2，SADE=122=2.22又可证 RtEBCRtEDA，22 3SEBC BC 3 SEDAAD2SEBC 3SEDAS四边形ABCD SEBCSADE 4选 C14. D解析：由 AB/CD，可得CGFBGA，ABEFDE又由 AD/BC，可得CGFDAF，AEDGEB还可得DAFBGA，ABDCDB，故共有 6 对。15. A16. A17. A18. C解析：直接法。假设有一点P，连接 PD、PC设 AP=x，则 PB=7x文案大全实用文档图 D126（1）若PADPBC，则得x PAPBx7 x，即ADBC2314 75符合条件。（2）若PADCBP，即x3,x27x 6 0，27 x解得x11,x2 6也符合条件故满足条件的点 P 有 3 个。二、填空题（每小题 4 分，16 分）19.35解析：设三边长 ad，a，a+d（d0） ，则（a+d）2=a2+（ad）2，a=4d三边之比为 3：4：520. 821. 4822. 1：423. 424.2225. 2解析：ACDABC，CBDABC26. 4解析：由BACADC 可知BCACACCD三、解答题（本大题共 74 分）27. 证明：PQ/BC，BC/AE，PQ/AECPQ=CEA，CQP=CAECPQCEAPQCPEACEPBCPPQPB同理可得，EDCEAEED文案大全实用文档而 AE=DE，PQ=PB28. 证明：DE/AB，DEODOEABOAOB又EF/BC，EFOEOFBCOBOCDEEFABBCODOF由知，而FOD=COA，OAOCDFODFODCOA，ACOADEEFDF在ABC 和DEF 中，有ABBCACABCDEF29. 证明：如图 D125SABCSBDCSBDCSADCABCDBDCDADCDADCDABBD即,BD2 ABADBDAD2由射影定理得，AC ADABAC2=BD2，即 AC=BD30. 证明：AF1AF1AF1，即FD2AD3BC3AE=EB，AEF=HEB，FAE=EBHAFEBHE，AF=BH，AF1CH4AFAG1CHCG4AGFCGH，文案大全实用文档AG11，即AG ACAC5531. 证明：过 D 作 DH/CF 交 AB 于点 H，则BDH=BCF，B=B，BDHBCF又 D 为 BC 的中点BDBH1BCBF211BH BF，即FH BF22同理可证AEFADHAEAFAF1EDFHBF2AE2AF，即AEBF 2AFEDEDBF2232. 解： （1）a b 12a 16b 100 0即(a 6) (b 8) 0a=6，b=8222x 1 x 43解不等式组2x 3 6x 12解得5 x 112222c=10，a b cABC 是直角三角形1ab 24233. 证明：过 E 作 EK/BD，则BCDECK（2）由（1） ，得SABCBEDKBCDCEFDKAFADBEEFABEF，BE=AB，BCAFBCAFEK/BDBD 为 AC 边上的中线，AD=DC，34. 解：APB=90，AP=PB=BC=CD，AB=2AP。文案大全实用文档在ABC 和DBA 中，ABC=ABD，BC1AB2AP1,ABBD2AP22BCAB,ABCDBAABBD35. 证明：BEAC，ABE+BAE=90同理，H+HAF=90，ABE=H，又BFG=HFA，BFGHFA，BF：HF=FG：AF.BFAF=FGFH.RtADB 中，DF2=BFAF，DF2=FGFH.36. 解： （1）四边形 DEFG 为矩形，DG/EF.AMDGAPBCyAM=APMP，MP=DE=xyh xxhahy hx x2(0 x a)aADGABC，（2）假设存在这样两个不同的矩形，设它们的面积分别是y1、y2，对应的 DG 的长分别是 x1、x2（x1x2） ，则 SABC=S矩形1+S矩形2。1h2h2ah hx1x1 hx2x22aaa a x1 x2 02222ax1 x22这与 x1x2矛盾，故不存在满足条件的矩形文案大全实用文档SPBC:SABC PB : AB1212(10 x) 24 x55PQ / AC, PBQ ABCSPBCSPBQSABCSPBQ PB AB2210 x 即 2410246224SPBQ(10 x)2xx 241002556212SPCQ SPBC SPBQ xx255即y 6212x x(0 x 10)255文案大全