昆明备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析.pdf

昆明备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析一、圆的综合一、圆的综合1如图，在O 中，AB 为直径，OCAB，弦 CD 与 OB 交于点 F，在 AB 的延长线上有点E，且 EF=ED（1）求证：DE 是O 的切线；1，探究线段 AB 和 BE 之间的数量关系，并证明；2（3）在（2）的条件下，若 OF=1，求圆 O 的半径（2）若 tanA=【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3【解析】试题分析：（1）先判断出 OCF+ CFO=90，再判断出 OCF= ODF，即可得出结论；（2）先判断出 BDE= A，进而得出 EBD EDA，得出 AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设 BE=x，则 DE=EF=2x，AB=3x，半径 OD=即可得出结论试题解析：（1）证明：连结 OD，如图 EF=ED， EFD= EDF EFD= CFO， CFO= EDF OCOF， OCF+ CFO=90 OC=OD， OCF= ODF， ODC+ EDF=90，即 ODE=90， ODDE 点 D 在O 上， DE 是O 的切线；（2）线段 AB、BE 之间的数量关系为：AB=3BE证明如下： AB 为O 直径， ADB=90， ADO= BDE OA=OD， ADO= A， BDE= A，而 BED= DEA， EBD EDA，中，tanA=3x，进而得出 OE=1+2x，最后用勾股定理2DEBEBD Rt ABDAEDEADBD1DEBE1=，=，AD2AEDE23x OF=1， OE=1+2x2 AE=2DE，DE=2BE， AE=4BE， AB=3BE；（3）设 BE=x，则 DE=EF=2x，AB=3x，半径 OD=在 Rt ODE 中，由勾股定理可得：（ 圆 O 的半径为 332x）2+（2x）2=（1+2x）2， x=（舍）或 x=2，29点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出 EBD EDA 是解答本题的关键2如图,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,AB=CD(1)如图(1),求证:AD BC；(2)如图(2),点 F 是 AC 的中点,弦 DG AB,交 BC 于点 E,交 AC 于点 M,求证:AE=2DF；(3)在(2)的条件下,若 DG 平分 ADC,GE=53,tan ADF=43,求O 的半径。【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129【解析】试题分析：(1)连接 AC由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论（2）延长 AD 到 N，使 DN=AD，连接 NC得到四边形 ABED 是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE由圆内接四边形的性质得到 NDC= B即可证明 ABE CND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论（3）连接 BG，过点 A 作 AHBC，由（2）知 AEB= ANC，四边形 ABED 是平行四边形，得到 AB=DE再证明 CDE 是等边三角形，BGE 是等边三角形，通过解三角形ABE，得到 AB，HB， AH，HE 的长，由 EC=DE=AB，得到 HC 的长在 Rt AHC 中，由勾股定理求出 AC 的长作直径 AP，连接 CP，通过解 APC 即可得出结论试题解析：解：(1)连接 AC AB=CD， 弧 AB=弧 CD， DAC= ACB， AD BC（2）延长 AD 到 N，使 DN=AD，连接 NC AD BC，DG AB， 四边形 ABED 是平行四边形， AD=BE， DN=BE ABCD 是圆内接四边形， NDC= B AB=CD， ABE CND， AE=CN DN=AD，AF=FC， DF=1CN， AE=2DF2（3）连接 BG，过点 A 作 AHBC，由（2）知 AEB= ANC，四边形 ABED 是平行四边形， AB=DE DF CN， ADF= ANC， AEB= ADF， tan AEB= tan ADF=4 3，DG 平分 ADC， ADG= CDG AD BC， ADG= CED， NDC= DCE ABC= NDC， ABC= DCE AB DG， ABC= DEC， DEC= ECD= EDC， CDE 是等边三角形， AB=DE=CE GBC= GDC=60， G= DCB=60， BGE 是等边三角形，BE= GE=5 3 tan AEB= tan ADF=4 3，设HE=x，则 AH=4 3x ABE= DEC=60， BAH=30， BH=4x，AB=8x， 4x+x=5 3，解得：x=3， AB=83，HB=43， AH=12，EC=DE=AB=8 3， HC=HE+EC=3 8 3=9 3在 RtAHC 中，AC=AH2 HC2 122(9 3)2=3 43AC，AP作直径 AP，连接 CP， ACP=90， P= ABC=60， sin P=AP AC3 43 2 129， O 的半径是129sin60323已知 AB，CD 都是e O的直径，连接 DB，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 E1如图 1，求证：AOD 2E 180o；2如图 2，过点 A 作AF EC交 EC 的延长线于点 F，过点 D 作DG AB，垂足为点G，求证：DGCF；3如图 3，在2的条件下，当DG3时，在e O外取一点 H，连接 CH、DH 分别交CE4e O于点 M、N，且HDEHCE，点 P 在 HD 的延长线上，连接 PO 并延长交 CM 于点 Q，若PD 11，DN 14，MQ OB，求线段 HM 的长【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8 3 7【解析】【分析】（1）由 D+ E=90，可得 2 D+2 E=180，只要证明 AOD=2 D 即可；（2）如图 2 中，作 ORAF 于 R只要证明AORODG 即可；（3）如图 3 中，连接 BC、OM、ON、CN，作 BTCL 于 T，作 NKCH 于 K，设 CH 交 DE于 W解直角三角形分别求出KM，KH 即可；【详解】1证明：如图 1 中，Q e O与 CE 相切于点 C，OCCE，OCE 90o，DE 90o，2D 2E 180o，QAODCOB，BOC 2D，AOD2D，AOD2E 180o2证明：如图 2 中，作OR AF于 RQOCF F ORF 90o，四边形 OCFR 是矩形，AF/ /CD，CFOR，A AOD，在VAOR和VODG中，QA AOD，ARO OGD 90o，OA DO，VAORVODG，OR DG，DGCF，3解：如图 3 中，连接 BC、OM、ON、CN，作BTCL于 T，作NK CH于 K，设 CH交 DE 于 W设DG3m，则CF3m，CE 4m，QOCF F BTE 90o，AF/ /OC/ /BT，Q OA OB，CT CF3m，ET m，Q CD为直径，CBD CND 90oCBE，E 90oEBT CBT，tanE tanCBT，BTCT，ETBTBT3m，mBTBT 3m(负根已经舍弃)，tanE 3m3，mE 60o，QCWDHDEH，HDEHCE，H E 60o，MON 2HCN 60o，Q OMON，VOMN是等边三角形，MNON，Q QM OB OM，MOQ MQO，QMOQ PON 180oMON 120o，MQO P 180oH 120o，PONP，ON NP1411 25，CD 2ON50，MNON 25，在RtVCDN中，CN CD2DN2502142 48，在RtVCHN中，tanH CN483，HNHNHN 16 3，在RtVKNH中，KH 13HN 8 3，NK HN 24，22在RtVNMK中，MKMN2NK22522427，HM HK MK 8 3 7【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.4如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是的中点，D 是的中点，AC 与 BD 相交于点 E.（1）求证：BD 平分 ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DE的值.BE2 12【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长 BC 与 AD 相交于点 F,证明 BCE ACF,根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接 OD,交 AC 于 H.简要思路如下：设 OH 为 1，则 BC 为 2，OB=OD=2，DH=2 1, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1） D 是 AD=DC CBD= ABD BD 平分 ABC（2）提示：延长 BC 与 AD 相交于点 F,证明 BCE ACF,BE=AF=2AD的中点（3）连接 OD,交 AC 于 H.简要思路如下：设 OH 为 1，则 BC 为 2，OB=OD=2，DH=2 1,DEDH=BEBCDE2 1=BE25四边形 ABCD 的对角线交于点E，且 AEEC，BEED，以 AD 为直径的半圆过点E，圆心 为 O（1）如图，求证：四边形ABCD 为菱形；（2）如图，若 BC 的延长线与半圆相切于点F，且直径 AD6，求弧 AE 的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】2试题分析：（1）先判断出四边形 ABCD 是平行四边形，再判断出ACBD 即可得出结论；（2）先判断出 AD=DC 且 DEAC， ADE= CDE，进而得出 CDA=30，最后用弧长公式即可得出结论试题解析：证明：（1） 四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AE=EC，BE=ED， 四边形ABCD 是平行四边形 以 AD 为直径的半圆过点 E， AED=90，即有 ACBD， 四边形 ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形 ABCD 是菱形， ADC 为等腰三角形， AD=DC 且 DEAC， ADE= CDE如图 2，过点 C 作 CGAD，垂足为 G，连接 FO BF 切圆 O 于点 F， OFAD，且OF 1AD 3，易知，四边形 CGOF 为矩形， CG=OF=32CG1=， CDA=30， ADE=15CD2在 RtCDG 中，CD=AD=6，sin ADC=303AE 连接 OE，则 AOE=2 ADE=30，1802点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键6如图 1，四边形 ABCD 为O 内接四边形，连接 AC、CO、BO，点 C 为弧 BD 的中点（1）求证： DAC= ACO+ ABO；（2）如图 2，点 E 在 OC 上，连接 EB，延长 CO 交 AB 于点 F，若 DAB= OBA+ EBA求证：EF=EB；（3）在（2）的条件下，如图 3，若 OE+EB=AB，CE=2，AB=13，求 AD 的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=7【解析】试题分析：（1）如图 1 中，连接 OA，只要证明 CAB= 1+ 2= ACO+ ABO，由点 C 是中点，推出CD CB，推出 BAC= DAC，即可推出 DAC= ACO+ ABO；BD（2）想办法证明 EFB= EBF 即可；（3）如图 3 中，过点 O 作 OHAB，垂足为 H，延长 BE 交 HO 的延长线于 G，作 BNCF于 N，作 CKAD 于 K，连接 OA作 CT AB 于 T首先证明 EFB 是等边三角形，再证明 ACK ACT，Rt DKC Rt BTC，延长即可解决问题；试题解析：（1）如图 1 中，连接 OA， OA=OC， 1= ACO， OA=OB， 2= ABO， CAB= 1+ 2= ACO+ ABO， 点 C 是BD中点，CD CB， BAC= DAC， DAC= ACO+ ABOuuu ruuu ruuu r（2）如图 2 中， BAD= BAC+ DAC=2 CAB， COB=2 BAC， BAD= BOC， DAB= OBA+ EBA， BOC= OBA+ EBA， EFB= EBF， EF=EB（3）如图 3 中，过点 O 作 OHAB，垂足为 H，延长 BE 交 HO 的延长线于 G，作 BNCF于 N，作 CKAD 于 K，连接 OA作 CT AB 于 T EBA+ G=90， CFB+ HOF=90， EFB= EBF， G= HOF， HOF= EOG， G= EOG， EG=EO， OHAB， AB=2HB， OE+EB=AB， GE+EB=2HB， GB=2HB，HB1， GBA=60，GB2 EFB 是等边三角形，设 HF=a， FOH=30， OF=2FH=2a， cos GBA= AB=13， EF=EB=FB=FH+BH=a+ OE=EFOF=FBOF= NE=13，2131317a，OB=OC=OE+EC=a+2=a，2221113EF=a+，22413113133a）（a+）=a，22442 BO2ON2=EB2EN2， ON=OE=EN=（ （1713313113a）2（a）2=（a+）2（a+）2，2422243或10（舍弃），2 OE=5，EB=8，OB=7，解得 a= K= ATC=90， KAC= TAC，AC=AC， ACK ACT， CK=CT，AK=AT，uuu ruuu rCD CB， DC=BC， Rt DKC Rt BTC， DK=BT， FT=1FC=5， DK=TB=FBFT=3， AK=AT=ABTB=10， AD=AKDK=103=727如图， ABC 是O 的内接三角形，点 D，E 在O 上，连接 AE，DE，CD，BE，CE， EAC+ BAE=180，AB CD（1）判断 BE 与 CE 之间的数量关系，并说明理由；（2）求证： ABE DCE；（3）若 EAC=60，BC=8，求O 的半径【答案】（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】8 33分析：（1）由 A、B、C、E 四点共圆的性质得： BCE+ BAE=180，则 BCE= EAC，所= CE，则弦相等；（2）根据 SSS 证明 ABE DCE；以BE（3）作 BC 和 BE 两弦的弦心距，证明Rt GBO Rt HBO（HL），则 OBH=30，设OH=x，则 OB=2x，根据勾股定理列方程求出x 的值，可得半径的长本题解析：（1）解：BE=CE，理由： EAC+ BAE=180， BCE+ BAE=180， BCE= EAC，= CE，BE BE=CE；（2）证明：AB CD， AB=CD，= CE， AE=ED，BEAE ED由（1）得：BE=CE，在 ABE 和 DCE 中，AE DEAB CD，BE CE ABE DCE（SSS）；（3）解：如图， 过 O 作 OGBE 于 G，OHBC 于 H，111BC=8=4，BG=BE，222 BE=CE， EBC= EAC=60， BH= BEC 是等边三角形， BE=BC， BH=BG， OB=OB， Rt GBO Rt HBO（HL），1 EBC=30，2设 OH=x，则 OB=2x， OBH= GBO=由勾股定理得：（2x）2=x2+42，x= OB=2x=4 3，38 38 3， O 的半径为33点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形 30的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.8如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 G，点 F 是 CD 上一点，且满足若接 AF 并延长交O 于点 E，连接 AD、DE，若 CF=2，AF=3.CF1,连DF3（1）求证： ADF AED；（2）求 FG 的长；（3）求 tan E 的值【答案】(1)证明见解析;(2)FG =2;(3)【解析】分析：（1）由 AB 是 O 的直径，弦 CDAB，根据垂径定理可得：弧AD=弧 AC，DG=CG，继而证得 ADF AED；（2）由5.4CF1 ,CF=2，可求得 DF 的长，继而求得 CG=DG=4，FD3则可求得 FG=2；（3）由勾股定理可求得 AG 的长，即可求得 tan ADF 的值，继而求得tan E=5 .4本题解析： AB 是O 的直径，弦 CDAB， DG=CG，AD AC， ADF= AED， FAD= DAE（公共角）， ADF AED；CF1，CF=2， FD=6， CD=DF+CF=8，FD3 CG=DG=4， FG=CG-CF=2； AF=3，FG=2， AG=AF2FG25，点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思想.9如图，在 Rt ABC 中，C 90，AD 平分 BAC，交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，O经过 A、D 两点，交 AC 于点 E，交 AB 于点 F（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径是 2cm，E 是弧 AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留 和根号）【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】233（1）连接 OD，只要证明 OD AC 即可解决问题；（2）连接 OE，OE 交 AD 于 K只要证明 AOE 是等边三角形即可解决问题【详解】（1）连接 OD OA=OD， OAD= ODA OAD= DAC， ODA= DAC， OD AC， ODB= C=90， ODBC， BC 是O 的切线（2）连接 OE，OE 交 AD 于 K， OEADAE DE OAK= EAK，AK=AK， AKO= AKE=90， AKO AKE， AO=AE=OE， AOE60223223是等边三角形， AOE=60， S阴=S扇形OAESAOE233604【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型10如图 1，已知O 是 ADB 的外接圆， ADB 的平分线 DC 交 AB 于点 M，交O 于点C，连接 AC，BC（1）求证：AC=BC；（2）如图 2，在图 1 的基础上做O 的直径 CF 交 AB 于点 E，连接 AF，过点 A 作O 的切线 AH，若 AH/BC，求 ACF 的度数；（3）在（2）的条件下，若 ABD 的面积为6 3，ABD 与 ABC 的面积比为 2：9，求 CD的长.【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）2 33【解析】分析：（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；（2）连接 AO 并延长交 BC 于 I 交O 于 J,由 AH 是O 的切线且 AH BC 得 AIBC，易证 IAC=30，故可得 ABC=60= F= ACB，由 CF 是直径可得 ACF 的度数；（3）过点 D 作 DGAB ，连接 AO，知 ABC 为等边三角形，求出AB、AE 的长，在 RtAEO中，求出 AO 的长，得 CF 的长，再求 DG 的长，运用勾股定理易求CD 的长.详解：（1） DC 平分 ADB， ADC= BDC， AC=BC（2）如图，连接 AO 并延长交 BC 于 I 交O 于 J AH 是O 的切线且 AH BC， AIBC， BI=IC， AC=BC， IC=1AC，2 IAC=30， ABC=60= F= ACB FC 是直径， FAC=90， ACF=180-90-60=30（3）过点 D 作DG AB，连接 AO由（1）（2）知 ABC 为等边三角形 ACF=30，ABCF， AE=BE，S ABC3AB2 27 3，4 AB=6 3，AE 3 3在 RtAEO 中，设 EO=x，则 AO=2x，AO2 AE2OE2，2x 3 322 x2， x=6，O 的半径为 6， CF=12S ABD ABDG DG=2如图，过点 D 作DGCF,连接 ODABCF,DG AB， CF/DG， 四边形 GDGE 为矩形，GE 2，11 6 3DG 6 3，22CGGECE 63211，在 RtOGD中，OG 5,OD 6，DG 11，CD DG2CG2 11112 2 33点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.11在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P 和图形 W，如果以 P 为端点的任意一条射线与图形 W 最多只有一个公共点，那么称点P 独立于图形 W（1）如图 1，已知点 A（-2，0），以原点 O 为圆心，OA 长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 B在 P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于AB的点是；（2）如图 2，已知点 C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点 P 是直线 l：y=2x+8 上的一个动点若点 P 独立于折线 CD-DE，求点 P 的横坐标 xp的取值范围；（3）如图 3，H 是以点 H（0，4）为圆心，半径为 1 的圆点 T（0，t）在 y 轴上且 t-3，以点 T 为中心的正方形 KLMN 的顶点 K 的坐标为（0，t+3），将正方形 KLMN 在 x 轴及x 轴上方的部分记为图形W若H 上的所有点都独立于图形W，直接写出 t 的取值范围【答案】（1）P2，P3；（2）xP-5 或 xP-【解析】【分析】（1）根据点 P 独立于图形 W 的定义即可判断；（2）求出直线 DE，直线 CD 与直线 y=2x+8 的交点坐标即可判断；（3）求出三种特殊位置时t 的值，结合图象即可解决问题.【详解】（1）由题意可知：在 P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于AB的点是 P2，P3（2） C（-3，0），D（0，3），E（3，0）， 直线 CD 的解析式为 y=x+3，直线 DE 的解析式为 y=-x+3，5（3）-3t1-2或 1+2t7-23y2x8x5由，解得，可得直线 l 与直线 CD 的交点的横坐标为-5，yx3y25xy2x853由，解得，可得直线 l 与直线 DE 的交点的横坐标为-，3y x3y143 满足条件的点 P 的横坐标 xp的取值范围为：xP-5 或 xP-53（3）如图 3-1 中，当直线 KN 与H 相切于点 E 时，连接 EH，则 EH=EK=1，HK=2， OT=KT+HK-OH=3+2-4=2-1， T（0，1-2），此时 t=1-2， 当-3t1-2时，H 上的所有点都独立于图形W如图 3-2 中，当线段 KN 与H 相切于点 E 时，连接 EHOT=OH+KH-KT=4+2-3=1+2， T（0，1+2），此时 t=1+2，如图 3-3 中，当线段 MN 与H 相切于点 E 时，连接 EHOT=OM+TM=4-2+3=7-2， T（0，7-2），此时 t=7-2， 当 1+2t7-2时，H 上的所有点都独立于图形W综上所述，满足条件的 t 的值为-3t1-2或 1+2t7-2【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P 独立于图形 W 的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.12如图所示，ABC内接于圆 O，CD AB于 D；（1）如图 1，当 AB 为直径，求证：OBC ACD；（2）如图 2，当 AB 为非直径的弦，连接 OB，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；（3）如图 3，在（2）的条件下，作AE BC于 E，交 CD 于点 F，连接 ED，且AD BD2ED，若DE 3，OB5，求 CF 的长度【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）【解析】【分析】145（1）根据圆周角定理求出 ACB=90，求出 ADC=90，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出 BOC=2 A，求出 OBC=90- A 和 ACD=90- A 即可；（3）分别延长 AE、CD 交O 于 H、K，连接 HK、CH、AK，在 AD 上取 DG=BD，延长 CG交 AK 于 M，延长 KO 交O 于 N，连接 CN、AN，求出关于 a 的方程，再求出 a 即可【详解】（1）证明： AB 为直径，ACB90，CD AB于 D，ADC90，OBCA 90，AACD90，OBCACD；（2）成立，证明：连接 OC，由圆周角定理得：BOC 2A，OCOB，OBC 11180BOC1802A 90A，22ADC90，ACD90A，OBCACD；（3）分别延长 AE、CD 交O 于 H、K，连接 HK、CH、AK，AEBC，CD BA，AECADC90，BCDCFE90，BAHDFA90，CFEDFA，BCDBAH， 根据圆周角定理得：BAHBCH，BCDBAHBCH， 由三角形内角和定理得：CHECFE，CH CF，EH EF，同理DF DK，DE3，HK 2DE6，在 AD 上取DG BD，延长 CG 交 AK 于 M，则AG ADBD 2DE6，BCGC，MCKBCKBAK，CMK90，延长 KO 交O 于 N，连接 CN、AN，则NAK90CMK，CM/ /AN，NCKADK90，CN/ /AG， 四边形 CGAN 是平行四边形，AG CN 6，作OTCK于 T，则 T 为 CK 的中点， O 为 KN 的中点，OT 1CN 3，2OTC90，OC5， 由勾股定理得：CT 4，CK 2CT8，作直径 HS，连接 KS，HK 6，HS10， 由勾股定理得：KS8，tanHSK tanEAB 3 tanHAK，41 tanBCD，311AD a 2，33设BDa，CD 3a，AD BD2EDa6，DK CDDK CK，3a1a 2 8，39，5解得：a DK 113a 2 ，35261455CF CK 2DK 8【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大13已知 Rt ABC， BAC90，点 D 是 BC 中点，ADAC，BC43，过 A，D 两点作O，交 AB 于点 E，（1）求弦 AD 的长；（2）如图 1，当圆心 O 在 AB 上且点 M 是O 上一动点，连接 DM 交 AB 于点 N，求当 ON等于多少时，三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形？（3）如图 2，当圆心 O 不在 AB 上且动圆O 与 DB 相交于点 Q 时，过 D 作 DHAB（垂足为 H）并交O 于点 P，问：当O 变动时 DPDQ 的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由【答案】（1）2 3（2）当 ON 等于 1 或31 时，三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD 的长；（2）连 DE、ME，易得当 ED 和 EM 为等腰三角形 EDM 的两腰，根据垂径定理得推论得OEDM，易得到 ADC 为等边三角形，得 CAD=60，则 DAO=30， DON=60，然后根据含 30的直角三角形三边的关系得DN=13AD=3，ON=DN=1；23当 MD=ME，DE 为底边，作 DHAE，由于 AD=23， DAE=30，得到 DH=3， DEA=60，DE=2，于是 OE=DE=2，OH=1，又 M= DAE=30，MD=ME，得到 MDE=75，则 ADM=90-75=15，可得到 DNO=45，根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=3，则 ON=3-1；（3）连 AP、AQ，DPAB，得 AC DP，则 PDB= C=60，再根据圆周角定理得 PAQ= PDB， AQC= P，则 PAQ=60， CAQ= PAD，易证得 AQC APD，得到DP=CQ，则 DP-DQ=CQ-DQ=CD，而 ADC 为等边三角形，CD=AD=23，即可得到 DP-DQ 的值【详解】解：（1） BAC90，点 D 是 BC 中点，BC43， AD1BC2 3；2（2）连 DE、ME，如图， DMDE，当 ED 和 EM 为等腰三角形 EDM 的两腰， OEDM，又 ADAC， ADC 为等边三角形， CAD60， DAO30， DON60，在 Rt ADN 中，DN在 Rt ODN 中，ON1AD3，23DN1，3 当 ON 等于 1 时，三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形；当 MDME，DE 为底边，如图 3，作 DHAE， AD23， DAE30， DH3， DEA60，DE2， ODE 为等边三角形， OEDE2，OH1， M DAE30，而 MDME， MDE75， ADM907515， DNO45， NDH 为等腰直角三角形， NHDH3， ON31；综上所述，当 ON 等于 1 或31 时，三点 D、E、M 组成的三角形是等腰三角形；（3）当O 变动时 DPDQ 的值不变，DPDQ23理由如下：连 AP、AQ，如图 2， C CAD60，而 DPAB， AC DP， PDB C60，又 PAQ PDB， PAQ60， CAQ PAD， ACAD， AQC P， AQC APD， DPCQ， DPDQCQDQCD23【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等也考查了等腰三角形的性质以及含30的直角三角形三边的关系14如图，已知BAC, AB AC,O为ABC外心，D为e O上一点，BD与AC的交点为E，且BC2 ACCE求证：CDCB；若A 300，且e O的半径为33，I为BCD内心，求OI的长【答案】证明见解析；2 3【解析】【分析】先求出BCCE，然后求出 BCE 和 ACB 相似，根据相似三角形对应角相等可得ACBC A= CBE，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得 A= D，然后求出 D= CBE，然后根据等角对等边即可得证；连接 OB、OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍求出 BOC=60，然后判定 OBC 是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得 OC 经过点 I，设 OC 与 BD 相交于点 F，然后求出 CF，再根据 I 是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF，然后求出 CI，最后根据 OI=OCCI 计算即可得解【详解】 BC2=ACCE，BCCEACBC BCE= ECB， BCE ACB， CBE= A A= D， D= CBE， CD=CB；连接 OB、OC A=30， BOC=2 A=230=60 OB=OC， OBC 是等边三角形 CD=CB，I 是 BCD 的内心， OC 经过点 I，设 OC 与 BD 相交于点 F，则CF=BCsin30133BC，BF=BCcos30BC，所以，BD=2BF=2BC3BC，设 BCD22211111BDCF（BD+CD+BC）r，即3BCBC22222内切圆的半径为 r，则 S BCD（3BC+BC+BC）r，解得：rCI=CFIFBC32 3 32 3 3BCBC，即 IFBC，所以，22（2 23）12 3 3BCBC=（2 3）BC，OI=OCCI=BC（2 3）BC=（3 1）22 O 的半径为 3 3， BC=3 3， OI=（3 1）（3 3）=33 33 3 2 3【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三角形并证明得到 OC 经过 BCD 的内心 I 是解题的关键15如图 1，O 的直径 AB=12，P 是弦 BC 上一动点（与点 B，C 不重合）， ABC=30，过点 P 作 PDOP 交O 于点 D（1）如图 2，当 PD AB 时，求 PD 的长；（2）如图 3，当弧 DC=弧 AC 时，延长 AB 至点 E，使 BE=求证：DE 是O 的切线；求 PC 的长【答案】（1）26；（2）证明见解析；333【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD 的1AB，连接 DE2长；（2）首先得出 OBD 是等边三角形，进而得出 ODE= OFB=90，求出答案即可；首先求出 CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案试题解析：（1）如图 2，连接 OD， OPPD，PD AB， POB=90， O 的直径 AB=12， OB=OD=6，在 Rt POB 中， ABC=30， OP=OBtan30=6=2，在 Rt POD 中，PD=；（2）如图 3，连接 OD，交 CB 于点 F，连接 BD， DBC= ABC=30， ABD=60， OB=OD， OBD 是等边三角形， ODFB， BE=AB， OB=BE， BF ED， ODE= OFB=90， DE 是O 的切线；由知，ODBC， CF=FB=OBcos30=6=3，在 Rt POD 中，OF=DF， PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半）， CP=CFPF=33考点：圆的综合题