福建省莆田第九中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理PDF2018083101245.pdf

第页1福建省福建省莆田第九中学莆田第九中学20192019届届高三高三上上学期学期第一次月考第一次月考数学（理）试题数学（理）试题第第卷（共卷（共 6060 分）分）一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的1已知i是虚数单位，复数iz 2，则)21 (iz的共轭复数为（）Ai2Bi 34Ci 34Di 342已知集合 M=0 x,2y|yx，N=2xx2lgy|x，则 MN 为（）A（1，2） B（1，）C（2，）D1，）3下列四个结论正确结论的是（）A设ba,为非零向量，若，则ab恒成立；B命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为：“若 x2=1，则 x1”；C“命题 pq 为真”是“命题 pq 为真”的充分不必要条件；D关于 x 的方程0ax2ax2有且仅有一个实根，则1a；4已知实数yx,满足4020632xyxyx，则23 yxz的最大值为（）A30B2C4D45设 x，yR，向量a=（x，1），b=（1，y），c=（2，4）且ac，bc，则ba =(）A5B10C52D106函数)sin()(xxf（2, 0）的图象如图所示，为了得到xxg2cos)(的图象，则只需将 f（x）的图象（）A向右平移6个长度单位B向右平移12个长度单位C向左平移6个长度单位D向左平移12个长度单位73log2,3, 2log2131log312cba，则cba,的大小关系是（）第页2AbacBcbaCbcaDabc8已知二项式4)211 (xx，则展开式的常数项为（）A1B1C47D499已知以圆4) 1( :22yxC的圆心为焦点的抛物线1C与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线2C：yx82上任意一点，BM与直线2y垂直，垂足为M，则|ABBM 的最大值为（）A1B2C1D810已知)2| ,20)(sin()(xxf满足)()1 (xfxf，且)()2(xfxf，对于定义域内满足23)()(21xfxf的任意Rxx21,，21xx ，当|21xx 取最小值时，)(21xxf的值为（）A426 或426 B426 或462 C32D2311设函数Rtttxexxfx,5)3()(.若存在唯一的整数0 x，使得0)(0 xf，则实数t的取值范围为（）A2,3(2eeB)2,3(2eeC2,3(2eeD)2,3(2ee12如图所示，正方形ABCD的边长为 2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为（）A322B2552C25169D25338二、填空题（每题二、填空题（每题 4 4 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13已知向量a与b的夹角为060，且32|2| , 1|baa，则 |b.14已知点)2, 1 ( P在直线2 kxy上，则圆锥曲线C：1322 ykx的离心率为.第页315在平行四边形 ABCD 中，AD=1，BAD=60，E 为 CD 的中点若，则 AB的长为16已知34)(2xxxf在a, 0的值域是1，3实数a的取值范围记为集合 A，xaxxgsin2cos)(2记)(xg的最大值为)(ag若bag)(，对任意实数Aa恒成立，则实数b的取值范围是三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 题，共题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）17已知数列na的前n项和是nS，且), 2(1222NnnSSannn.（1）若11a，求na的通项公式；（2）在（1）的条件下，求数列1nnSS的前n项和nT.18 支付宝自助付款可以实现人像识别身份认证和自动支付业务， 于是出现了无人超市.无人超市的出现大大方便了顾客，也为商家节约了人工成本.某超市对随机进入无人超市的100名顾客的付款时间与购物金额进行了统计，统计数据如图所示：（时间单位：秒，付款金额RMB：元）（1） 用统计中的频率代表一位顾客随机进店消费付款时间的概率， 试求该顾客进店购物结算时所用时间的期望；（2）若一位顾客在结算时，前面恰有3个人正在排队，求该顾客等候时间不少于2分钟的概率.第页419 已知四棱锥ABCDP 中，PA平面ABCD，06032BADBCDABC，22 CDAB，BCCEBF32.（1）求证：DE平面PAF；（2）若ABPA21，求二面角ACDP的余弦值.20椭圆)0( 12222babyax的左、右焦点分别为)0 , 1 (),0 , 1(21FF ，过2F的直线l与椭圆交于BA,两点，若l的倾斜角为2时，ABF1是等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）若21|,|22BFAF，求1ABF中AB边上中线长的取值范围.21已知函数2)2()2()(xaexxfx.（1）求函数xexfxg3)()(的极值点；第页5（2）当0 x时，恒有024)2( axf成立，求a的取值范围.请考生在请考生在2222、2323二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. .22选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为13 ,1xtyt (t为参数)在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于,P Q两点，求POQ23. 选修 45：不等式选讲已知函数2( )23f xxaxa，2( )4g xxax，aR（1）当1a 时，解关于x的不等式 fx 4；（2）若对任意1x R，都存在2x R，使得不等式12( )()f xg x成立，求实数a的取值范围第页6数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112选项CAADBDDBABAD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分134147215211645,(三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （本小题满分 12 分）解： （）当2n 时，2221nnnSaS，即21221nnnnSSSS，整理得112nnnnSSS S-=，所以1112nnSS所以1nS是一个公差为 2 的等差数列，又111aS，所以121nnS，所以121nSn，此时10,2nnSS符合题意所以1121nnnaSSn321n2(2)2123nnn()()当1n 时，上式不成立，所以1,12,2(21)(23)nnannn（）由（）可知，112121nnSSnn（）（）111()2 2121nn，所以111111(1)()()23352121nTnn12 nn18 （本小题满分 12 分）解： （）设一位顾客进店购物结算时间为T，根据统计图表可知，T的可能值为 10，20，40，60，第页7所以(10)0.4, (20)0.2, (40)0.3, (60)0.1,P TP TP TP T所以该顾客进店购物结算时所用时间的期望为10 0.420 0.240 0.360 0.126（秒） （）依题意可知，每个顾客各自的付款时间是相互独立的，若 3 位顾客付款时间总计不少于 2 分钟，则3 人的付款时间可能有如下情况：3 个 60 秒；2 个 60 秒和另一个可以是 10 秒，20 秒，40 秒中任意一个；一个 60 秒，另外两个付款时间可以是 20 秒，40 秒或 40 秒，40 秒；三 40 秒所以对应的概率为3221133320.10.1(0.40.20.3)0.1 (0.2 0.30.3 0.3)0.3Pccc0.118答：该顾客等候时间不少于 2 分钟的概率为0.11819 （本小题满分 12 分）解： （）证明：过点D在平面ABCD内作/DNBC，交AB于点N，因为2ABCD，ABCBCD ，所以四边形DNBC为一个底角是 60的等腰梯形，所以BNANCD，所以N为AB中点，由题知90BAD，在Rt NAD中，2DNAN，又60ABCBCD ，所以32BCND，而23BFCEBC，所以,E F为BC的三等分点，连接EN，所以/NEAFDC，又在DEC中，2ECDC，60BCD，所以30DEC，所以DECD，所以DEAF，又PA 平面ABCD，所以PADE，因为PAAFA，所以DE 平面PAF（） 以A为坐标原点， 分别以,AB AD AP所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系， 所以平面ACD的第页8一个法向量为(0,0,1)m ，又由（）知60 ,90ABCANDBAD ，所以在AND中，33ADAN，所以(0, 3,0)D，150ADC，1 3 3( ,0)22C，(0,0,1)P，所以1 3 313( ,1),( ,0)2222PCDC，设平面PCD的法向量为( , , )nx y z，所以00PC nCD n即13 302213022xyzxy令3x ，所以( 3, 1,3)n ，设二面角PCDA的平面角为，且为锐角，所以21cos =7| |n mnm20 （本小题满分 12 分）解： （）由已知得：1c ，221ab，223bca所以223ab，23230aa，解得3,2ab椭圆的方程22132xy（）当直线的斜率为 0 时，显然不成立设直线:1l xmy，1122( ,), (,)A x yB xy，联立222361xyxmy得22(23)440mymy则12122244,2323myyyymm1ABF中AB边上的中线长为2211121211(2)()22F AFBxxyy2212121 ()4()2m yyyy2222214124()()22323mmmm第页9222222222222334(23)8(23)3()23(23)(23)mmmmmmm 令223tm则223mt 得1112F AFB22228338141313()33tttttt 由22F AF B，得1122,yyyy ，22121222112()142223yyyymyyy ym 12，22142(3)120, 232mtmt11134,43tt ，1112F AFB51,241ABF中AB边上中线长的取值范围是51,2421 （本小题满分 12 分）解： （）由题意，2( )(1)(2)xg xxea x，得( )(2)2 (2)(2)2 )xxg xxea xxea（i）当0a 时，在(, 2) 上，( )0g x，在( 2,)上，( )0g x（ii）当0a 时，令( )0g x，解得2x 或ln(2 )xa若212ae，ln(2 )2a ，( )0g x恒成立；若212ae，ln(2 )2a ，在( 2,ln(2 )a上，( )0g x；在(, 2) ，(ln(2 ) ,)a，( )0g x若212ae，ln(2 )2a ，在(ln(2 ) , 2)a上，( )0g x；在（(,ln(2 )a,与( 2,)上，( )0g x综上，当0a 时，( )g x极小值点为2，无极大值点；当2102ae时，( )g x极小值点为2，极大值点为ln(2 )a；当212ae时，( )g x极小值点为ln(2 )a，极第页10大值点为2；当212ae时，( )g x无极值点（）设22( )(22)(22)42xh xxeaxa,因为2( )(42)88xh xxeaxa，得2( )88xhxxea(0)x ,且函数( )hx在0,)上单调递增（i）当80a时，有( )0hx，此时函数( )h x在0,)上单调递增，则( )(0)28h xha ，若280a 即14a 时，有函数( )h x在0,)上单调递增，则( )(0)0h xh，符合题意；若280a 即104a时，存在00 x 满足()h x0，0(0,), ( )0 xxh x，此时函数( )h x在00,)x（上单调递减，( )(0)0h xh不符合题意；（ii）当80a时，有( )80ha 0，存在10 x 满足()hx101(0,),xx1h(x )0，此时( )h x在10,)x（上单调递减，( )(0)820h xha ，此时函数( )h x在10,)x（上单调递减，不符合题意综上，实数a的取值范围是14a 22 解法一： （1）由13 ,1,xtyt 得l的普通方程为313xy ，又因为cos ,sin ,xy， 所以l的极坐标方程为cos3 sin13（或2 sin()136 ）由2 cos得22 cos，即222xyx，所以C的直角坐标方程为2220 xyx（2）设,P Q的极坐标分别为 1122, ，则12POQ由cos3sin13,2cos , 消去得2coscos3 sin13，第页11化为cos23sin23，即3sin 262，因为02，即 72 +666，所以263，或2263，即12,12,4或12,4,12所以12=6POQ解法二： （1）同解法一（2）曲线C的方程可化为2211xy，表示圆心为1,0C且半径为 1 的圆将l的参数方程化为标准形式31,2112xtyt (其中t为参数)，代入C的直角坐标方程为2220 xyx得，22313112 10222ttt，整理得，20tt，解得0t 或1t 设,P Q对应的参数分别为12,tt，则121PQtt所以3PCQ，又因为O是圆C上的点，所以26PCQPOQ解法三： （1）同解法一（2）曲线C的方程可化为2211xy，表示圆心为1,0C且半径为 1 的圆又由得l的普通方程为3130 xy，则点C到直线l的距离为32d ，所以22 11PQd，所以PCQ是等边三角形，所以3PCQ，又因为O是圆C上的点，所以26PCQPOQ23.解： （1）当1a 时， 11fxxx，则 2 ,1,2, 11,2 , 1.xxfxxx x 当1x 时，由 fx 4得，22x 4，解得21x ；当11x时， fx 4恒成立；第页12当1x时，由 fx 4得，2x4，解得12x 所以 fx 4的解集为22xx （2）因为对任意1x R，都存在2x R，使得不等式 12f xg x成立，所以 minminfxg x因为2223120aaa，所以223aa，且222223232323xaxaxaxaaaaa，当223axa 时，式等号成立，即 2min23f xaa又因为2222444244aaaxaxx，当2ax 时，式等号成立，即 2min44ag x所以222344aaa，整理得，25840aa，解得25a 或2a ，即a的取值范围为2,2,5