安徽省合肥市第六中学2020届高三数学最后一卷 理（PDF）参考答案.pdf

第1页，共 8 页 合肥六中合肥六中 2020 届高三最后一卷届高三最后一卷 数学（理）参考答案（附解析和评分细则）数学（理）参考答案（附解析和评分细则） 第第卷（选择题卷（选择题 每题每题 5 分分 共共 60 分）分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C B D A A A C B B D A 1. ,6|,30|=xxBxxA6|=xxBA，选 B 2. iziz+=1,1，选 C 3. 10 , 1, 0cba，选 B 4. 1624)(41=+ aa，得74=a，选 D 5. 332322131,3,5=VABPB,选 A 6. )42sin()2(21sin2sin=xxyxy，选 A 7. )(xfy =为奇函数，) 1 , 0(x时，0)(xf,选 A 8. 设圆心为 M，20)4(3684)6()6(22222+=+=+=+=xxxxxyxPM 当4=x时，52min=PM，152min=PQ，选 C 9. 根据空间点线面的位置关系，选 B 10. 16944332414=ACC,选 B 11. )21( =xmxex，结合图像设切点为),(00yx，则000 xexy =，)21(00=xmy，) 1()(,)(+=xexfxexfxx，mxex=+ ) 1(00， 联立方程解得：10=x，em2=，选 D 12. 新数列nb为周期数列：1,1,2,3,1,0,1,1，2,3,1,0，201920202020344233,.,bbcbbcbbc=，120202202021202021.bbbbbbccc+=+=+ 34463362020=+bbb，4.120202202021202021=+=+=+bbbbbbccc，选 A 第2页，共 8 页 第第卷卷 （非选择题（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13. 102 14. 2 15. 3010 3+ 16. 2 10 13.) 1, 3( =c，b在上的投影为：210105|=ccb 14.255525511)1()(rrrrrrrxaCaxxCT+=，取1, 3=rr，得,1115335aCaC=2=a 15.在BCD中，1012045=CDBCDBDC，由正弦定理得：2622015sin45sin10=BC，在ABC中，3103032622060tan+=BCAB 16.在21FAF中，, 4, 821=MFMF由角平分线性质得22121=MFMFAFAF, 设,221xAFxAF=由双曲线定义得：, 6=x, 6,1221=AFAF在21AMFAMF和中，mAM =，由余弦定理得：0426482128222222=+mmmm，解得：102=m 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 在ABC中，1cos3A =，sin2 cosBC=. （1）求tanB的值； （2）若ABC的面积为2，求ABC的周长. 解： （1）22 20 sin1cos3AAA= 1 分 12 2sin2 cos2 cos() 2(cossin)33BCABBB= += sin2 cos tan2BBB= 5 分 （2）63tan2,0 sin,cos33BBBB= sin3sin2cos cos32BBCC= 6sin3C= 8 分 不妨设ABC、 、所对的边分别为abc、 、， 则:sin:sin:sin2:3:3a b cABC=. 第3页，共 8 页 令2ax=，则3bcx=， 又1sin2 12ABCSbcAx= 11 分 22 3ABC+的周长为. 12 分 18.某超市在节日期间进行有奖促销， 凡在该超市购物满500元的顾客， 可以获得一次抽奖机会，有两种方案.方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球， 规定摸到2个黑球奖励50元，1个黑球奖励20元， 没有摸到黑球奖励15元.方案二: 在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸奖，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元. （1）记X为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X的数学期望； （2）若你为一名要摸奖的顾客，请问你选择哪种方案进行抽奖，说明理由. 解： （1）易知X符合超几何分布，(2,2,5)XH，故22()0.85E X=. 另解：22251(2)10CP XC=，11232563(1)105CCP XC=，0223253(0)10CCP XC=， 133()2100.810510E X=+ += 4 分 （2）方案一：记为1名顾客选择方案一进行摸奖获得的奖金数额，则可取50，20，15. 22251(50)10CP XC=，11232563(20)105CCP XC=，0223253(15)10CCP XC=， 133()50201521.510510E X=+=. 7 分 方案二：记为1名顾客选择方案二进行摸奖获得的奖金数额，则可取50，30，20，10. 22251(50)10APA=，112232351(30)5CCAPA=，123233453(20)10CCAPA=， 1424552(10)5CAPA=. 10分 1132( )5030201021105105E=+=. 11 分 因此，我会选择方案一进行摸奖. 12 分 19.在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，平面PCD 平面ABCD. （1）证明：PD 平面ABCD； （2）若E为PC的中点，DEPC，四边形ABCD为菱形且60BAD=，求二面角DBEC的余弦值. 解： （1）过B作BFCD于F，过B作BGAD于G. 平面PCD 平面ABCD，平面PCD平面=ABCD CD，BF 平面ABCD，BFCD BF平面PCD BFPD. 同理可得BGPD，又BGBFB=，PD 平面ABCD .4 分 第4页，共 8 页 （2）以 DC 所在方向为 y 轴，DP 所在方向为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系， PD 平面ABCD，PDCD， 又DEPC，E为PC的中点，PDDC= 5 分 不妨假设2PD =,则(0,0,0)D，( 3,1,0)B，(0,1,1)E，(0,2,0)C. 可知(3,0,1)BE = ，( 3,0,1)DB =，(3,1,0)BC = . 7 分 设( , , )mx y z=为平面BDE的法向量， 则00m BEm DB=即3030 xzxy+=+=，令1x =，得3y = ，3z = 可知平面BDE的一个法向量(1,3,3)m =， 同理可得平面BEC的一个法向量(1, 3, 3)n = 1cos,7m nm nm n=， 11 分 又二面角DBEC为钝角， 二面角DBEC的余弦值为17. 12 分 20.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为12，过焦点且垂直于长轴的弦长为3. （1）求椭圆C的方程； （2）过点(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在定点P，使得PA PB为定值？若存在，求出点P的坐标和PA PB的值；若不存在，请说明理由. 解（1）椭圆C的离心率为12，12ca=,2234ba= 过焦点且垂直于长轴的弦长为3, 223ba=,解得2243ab= 椭圆C的方程为22143xy+=. 4 分 （2）假设存在.设(),0P t，()11,A xy，()22,B xy， 当直线l与x轴不重合时，设l的方程：1xmy=+. 第5页，共 8 页 由221431yxmyx=+=得()2234690mymy+=， 易知0 ，且122634myym+= +，122934y ym= +； 6 分 12121211()2xxmymym yy+=+ + =+，212121212(1)(1)()1x xmymym y ym yy=+=+， 11222121212221212222(,) (,) () (1)()()21(615)9 2134PA PBxt yxt yx xt xxty ymy ymmtyytttmttm=+=+=+ 8分 当615934t =，即118t =时， PA PA的值与m无关，此时13564PA PB= . 10 分 当直线l与x轴重合且118t =时， 11111352,02,08864PA PB =+= . 11分 存在点011,8P，使得PA PB为定值13564. 12 分 21.（本小题满分 12 分） 已知函数2( )ln(1)f xaxx=+. （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0 x 时，21( )xexf x 恒成立.求a的取值范围. 解： （1）( )f x的定义域为()1,+， 2221( )211axxfxxxx+=+， 1 分 令2( )221g xxx= +，则48a =+且( )fx与( )g x的符号相同. 当0 即12a 时，( )0g x ，此时( )0fx ； 2 分 当0 即12a 时，令( )0g x =得11122ax +=，21122ax +=， 易知21x 3 分 a 当11x 即0a 时，当()21,xx 时，( )0g x ，此时( )0fx ； 第6页，共 8 页 当()2,xx+时，( )0g x ，此时( )0fx ； 4 分 b 当11x 即102a时，当()()121,xxx +时，( )0g x ，此时( )0fx ； 当()12,xx x时，( )0g x ，此时( )0fx ； 综上，当12a 时，( )f x的单减区间为()1,+，无单增区间； 当0a 时，( )f x的单减区间为112,2a +，单增区间为1121,2a +； 当102a时，( )f x的单减区间为1121,2a +和112,2a +，单增区间为112112,22aa + +. 5分 （2）21( )xexf x 即1ln(1)0 xeax +； 令( )1ln(1)xh xeax= +，则(0)0h=，( )1xah xex=+； 6 分 当0a 时，( )0h x ， 此时( )h x在)0,+上单增，( )(0)0h xh=，符合题意； 7 分 当01a时，由xye=和1ayx= +都是增函数可知( )h x也为增函数， 故( )(0)10h xha= ， 此时( )h x在)0,+上单增，( )(0)0h xh=，符合题意； 9 分 当1a 时，同理( )h x也为增函数， (0)10ha= ，当x +时，( )0h x ， ( )h x在)0,+上有唯一零点，不妨假设为0 x， 当)00,xx时，( )0h x ，此时( )h x单减， 当0(0,)xx时，( )(0)0h xh=，不合题意. 11 分 综上所述，a的取值范围为(,1. 12 分 第7页，共 8 页 请考生在第请考生在第 22-23 两题中任选一题作两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在直角坐标坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22121xtyt=（t为参数） ，以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为(2sincos )m=. （1）求曲线C的普通方程； （2）若l与曲线C有且仅有一个公共点，且l与坐标轴交于,A B两点，求以AB为直径的圆的直角坐标方程. 解： （1）由21yt=，得12yt+=，221212()12yxt+= =，即2(1)2(1)yx+=+， 故曲线C的普通方程为2(1)2(1)yx+=+ 5 （2）由(2sincos )m=，得2yxm=，联立2(1)2(1)2yxyxm+=+=得22210yym+ =， 因为l与曲线C有且仅有一个公共点，所以44(21)0m =，1m =， 所以l的方程为21yx=，不妨假设1(0,)2A，则( 1,0)B ，线段AB的中点为1 1(, )2 4 所以52AB =，故以AB为直径的圆的直角坐标方程为2221155()()()24416xy+= 10 分 23.已知( )12f xxxa=+. （1）当1a =时，求不等式( )3f x 的解集； （2）若函数( )f x的最小值为3，求实数a的值. 解： （1）当1a =时，( )121f xxx=+， 当12x 时，( )3f xx= ，此时解( )3f x 得1x ； 当112x时，( )2f xx=+，此时解( )3f x 得无解； 当1x 时，( )3f xx=，此时解( )3f x 得1x . 综上，不等式( )3f x 的解集为|11x xx 或. 5 分 第8页，共 8 页 （2） ( )12 122 122 1(1)()0)222 1()22f xxxaaxxaaxxxaaaxxxaax=+=+=+= 当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立 可以知道2ax = 当时，( )f x有最小值12a+， 由132a+=得84a = 或. 10 分