山东省2020年高考数学真题试卷pdf.pdf
2020 年山东省高考数学卷真题试卷（含答案） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1设集合 A=x|1x3，B=x|2x4，则 AB= Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|1x4 Dx|1xn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 m=n0，则 C 是圆，其半径为n C若 mn0，则 C 是两条直线 10下图是函数 y= sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)= Asin(3x） Bsin(2 )3x Ccos(26x ） D5cos(2 )6x 11已知 a0，b0，且 a+b=1，则 A2212ab B122a b C22loglog2ab D2ab 12 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念 . 设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 的 取 值 为1,2,n， 且1()0 (1, 2 ,) ,1niiiP Xipinp，定义 X 的信息熵21()logniiiH Xpp . A若 n=1，则 H(X)=0 B若 n=2，则 H(X)随着1p的增大而增大 C若1(1,2, )ipinn，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,m，且21()(1,2,)jmjP Yjppjm ，则H(X)H(Y) 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13斜率为3的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则AB=_ 14将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_ 15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心， A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点， B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点， 四边形 DEFG 为矩形， BCDG，垂足为 C，tanODC=35，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2 16 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2， BAD=60 以1D为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 在3ac ，sin3cA ，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB，6C，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分） 已知公比大于1的等比数列na满足24320,8aaa （1）求na的通项公式； （2）记mb为na在区间*(0,()m mN中的项的个数，求数列mb的前100项和100S 19 （12 分） 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度（单位：3g/m） ，得下表： 2SO PM2.5 0,50 (50,150 (150,475 0,35 32 18 4 (35,75 6 8 12 (75,115 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22列联表： 2SO PM2.5 0,150 (150,475 0,75 (75,115 （3） 根据 （2） 中的列联表， 判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？ 附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd， 2()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20（12分） 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l （1）证明：l平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值 21（12分） 已知函数1( )elnlnxf xaxa （1）当ea时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f（x）1，求a的取值范围 22（12分） 已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点A（2，1） （1）求C的方程： （2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值 参考答案 一、选择题 1C 2D 3C 4B 5C 6B 7A 8D 二、选择题 9ACD 10BC 11ABD 12AC 三、填空题 13163 14232nn 15542 1622 四、解答题 17解： 方案一：方案一：选条件 由6C和余弦定理得222322abcab 由sin3sinAB及正弦定理得3ab 于是22223322 3bbcb，由此可得bc 由3ac ，解得3,1abc 因此，选条件时问题中的三角形存在，此时1c 方案方案二二：选条件 由6C和余弦定理得222322abcab 由sin3sinAB及正弦定理得3ab 于是22223322 3bbcb，由此可得bc，6BC，23A 由sin3cA ，所以2 3,6cba 因此，选条件时问题中的三角形存在，此时2 3c 方案方案三三：选条件 由6C和余弦定理得222322abcab 由sin3sinAB及正弦定理得3ab 于是22223322 3bbcb，由此可得bc 由3cb，与bc矛盾 因此，选条件时问题中的三角形不存在 18解： （1）设na的公比为q由题设得31120a qa q，218a q 解得12q （舍去） ，2q 由题设得12a 所以na的通项公式为2nna （2）由题设及（1）知10b ，且当122nnm时，mbn 所以10012345673233636465100()()()()Sbbbbbbbbbbbbb 234501 2223 2425 26 (10063) 480 19解： （1）根据抽查数据，该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且2SO浓度不超过 150 的天数为32186864,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75， 且2SO浓度不超过 150 的概率的估计值为640.64100 （2）根据抽查数据，可得22列联表： 2SO PM2.5 0,150 (150,475 0,75 64 16 (75,115 10 10 （3）根据（2）的列联表得22100(64 1016 10)7.48480207426K 由于7.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关 20解： （1）因为PD 底面ABCD，所以PDAD 又底面ABCD为正方形，所以ADDC，因此AD 底面PDC 因为ADBC，AD 平面PBC，所以AD平面PBC 由已知得lAD因此l 平面PDC （2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 则(0,0,0),(0,1,0), (1,1,0), (0,0,1)DCBP，(0,1,0)DC ，(1,1, 1)PB 由（1）可设( ,0,1)Q a，则( ,0,1)DQa 设( , , )x y zn是平面QCD的法向量，则0,0,DQDCnn即0,0.axzy 可取( 1,0, )a n 所以21cos,| |3 1PBaPBPBa nnn 设PB与平面QCD所成角为，则223|1|32sin13311aaaa 因为23261313aa，当且仅当1a 时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63 21解： ( )f x的定义域为(0,)，11( )exfxax （1）当ea 时，( )eln1xf xx，(1)e1f ， 曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为(e1)(e1)(1)yx，即(e1)2yx 直线(e1)2yx在x轴，y轴上的截距分别为2e1，2 因此所求三角形的面积为2e1 （2）当01a时，(1)ln1faa 当1a 时，1( )elnxf xx，11( )exfxx 当(0,1)x时，( )0fx；当(1,)x时，( )0fx 所以当1x 时，( )f x取得最小值，最小值为(1)1f，从而( )1f x 当1a 时，11( )elnlneln1xxf xaxax 综上，a的取值范围是1,) 22解： （1）由题设得22411ab，22212aba，解得26a ，23b 所以C的方程为22163xy （2）设11( ,)M x y，22(,)N x y 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为ykxm， 代入22163xy得222(12)4260kxkmxm 于是2121222426,1212kmmxxx xkk 由AMAN知0AM AN，故1212(2)(2)(1)(1)0 xxyy， 可得221212(1)(2)()(1)40kx xkmkxxm 将代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212mkmkkmkmkk 整理得(231)(21)0kmkm 因为(2,1)A不在直线MN上，所以210km ，故2310km ，1k 于是MN的方程为21()(1)33yk xk. 所以直线MN过点21( ,)33P. 若直线MN与x轴垂直，可得11( ,)N xy. 由0AM AN得1111(2)(2)(1)(1)0 xxyy. 又2211163xy，可得2113840 xx.解得12x （舍去） ，123x . 此时直线MN过点21( ,)33P. 令Q为AP的中点，即4 1( , )3 3Q. 若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故12 2|23DQAP. 若D与P重合，则1|2DQAP. 综上，存在点4 1( , )3 3Q，使得|DQ为定值.
