吉林省长春市第二中学2019-2020学年高二数学下学期第8周周测试题 理（PDF）答案.pdf

试卷第 1页，总 6页高二下理科数学间周测（八高二下理科数学间周测（八)一、单选题一、单选题1设xR，则“23x”是“21x ”的（）A充分不必要条件B必要条件C充分条件D既不充分也不必要条件2下列计算错误的是（）Asin0 xdxB12014x dxC1021dx D1122102x dxx dx3已知 ab1，则11a与11b的大小关系是()A11a11bB11a11bC11a11bD11a11b4某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40，40,60，60,80，80,100，若低于 60 分的人数是 30 人，则该班的学生人数是()A45B50C75D1005设, x yR，且0 xy ，则222241xyyx的最小值为（）A9B9C10D06在极坐标系下，极坐标方程302（0）表示的图形是（）A两个圆B一个圆和一条射线C两条直线D一条直线和一条射线试卷第 2页，总 6页7已知点A是曲线2213xy上任意一点，则点A到直线sin()66的距离的最大值是（）A62B6C362D2 68已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且满足2(01),2( )1(1)xxxxf xxxe，若函数( )( )F xf xm有 6 个零点，则实数m的取值范围是A211(,)16 eB211(,0)(0,)16eC210,eD210,)e二、填空题二、填空题9连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量,am n与向量1, 1b的夹角为，则为锐角的概率是_10过抛物线28yx的焦点的一条直线交抛物线与,A B两点，正三角形ABC的顶点C在直线2x 上，则ABC的边长是_.三、解答题三、解答题11已知 20 f xaxaxa a.（1）当1a 时,求 f xx的解集;（2）若不存在实数x,使 3f x 成立,求a的取值范围.试卷第 3页，总 6页12已知某圆的极坐标方程为24 2 cos604求：（1）圆的直角坐标方程和参数方程；（2）在圆上所有的点( , )x y中，xy的最大值和最小值13某学校随机抽取 100 名考生的某次考试成绩，按照75，80） ，80，85） ，85，90） ，90，95） ，95，100（满分 100 分）分为 5 组，制成如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于 75 分） 已知第 3 组，第 4 组，第 5 组的频数成等差数列；第1 组，第 5 组，第 4 组的频率成等比数列（1） 求频率分布直方图中a的值， 并估计抽取的100名学生成绩的中位数和平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）若从第 3 组、第 4 组、第 5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人，并从中选出 3 人，求这 3 人中至少有 1 人来自第 4 组的概率试卷第 4页，总 6页14如图，四边形 ABCD 是菱形，EA 平面 ABCD，/ /EFAC，/ /CF平面 BDE，G 是 AB 中点 1求证：/ /EG平面 BCF； 2若AEAB，60BAD，求二面角ABED的余弦值试卷第 5页，总 6页15已知椭圆的焦点坐标为F1( 1,0)，F2(1,0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于 P、Q两点，且 PQ = 3.()求椭圆的方程；()过F2的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、 N， 则F1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.试卷第 6页，总 6页16已知函数 2,2.718282af xxlnxxx aR e,是自然对数的底数.（1）若ae ，讨论 fx的单调性；（2）若 fx有两个极值点12,x x，求a的取值范围，并证明:1212x xxx.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1页，总 14页参考答案参考答案1A【解析】【分析】分析两个命题的真假即得，即命题23x21x 和21x 23x【详解】2321xx为真，但21x 时121x 13x所以命题21x 23x为假故应为充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分必要条件判断，充分必要条件实质上是判断相应命题的真假：pq为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件2C【解析】【分析】利用定积分的性质、几何意义、运算法则求解【详解】在 A 中，-sin-cosx= -cos -cos -=0 xdx，在 B 中，根据定积分的几何意义，122011 x dx=1=44，在 C 中，11002dx=2202x，根据定积分的运算法则与几何意义，易知102211x dxx dx+120 x dx=1202 x dx，故选 C.【点睛】本题考查了定积分的计算，求定积分的方法有三种：定义法（可操作性不强） ，微积分基本定理法和利用定积分的几何意义求定积分.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2页，总 14页3B【解析】【分析】利用作差比较法得解.【详解】ab1，a10，b10，ab0.11a11b11baab0.11a11b.故答案为 B【点睛】(1)本题主要考查比较法比较实数大小，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是：作差变形（配方、因式分解、通分等）与零比下结论；比商的一般步骤是：作商变形（配方、因式分解、通分等）与 1 比下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.4D【解析】【分析】由频率分布直方图求出低于 60 分的频率，再由低于 60 分的人数是 30 人，能求出该班的学生人数【详解】由频率分布直方图得低于 60 分的频率为：0.0050.010200.3，低于 60 分的人数是 30 人，该班的学生人数是：301000.3故选 D【点睛】本题考查班级学生人数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3页，总 14页5B【解析】【分析】利用柯西不等式得出最小值【详解】（x224y） （y221x）（x12yxy）29当且仅当 xy2xy即 xy=2时取等号故选：B【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题6B【解析】【分析】将极坐标方程进行转换，结合转化之后的方程即可求得最终结果【详解】解：由题意可得，极坐标方程为：3 或2，据此可得极坐标方程表示的图形是一个圆和一条射线故选：B【点睛】本题考查极坐标方程及其应用，重点考查学生对基础概念的理解，属于基础题7C【解析】【分析】先将直线sin()66化为直角坐标系下的方程，再用椭圆的参数方程设出点A的坐标，利用点到直线的距离求解.【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4页，总 14页由直线sin()66，有31sincos622，即32 60yx.又点A是曲线2213xy上任意一点，设3cos ,sinA则点A到直线32 60yx的距离为：3sin3cos2 63 1d6sin2 643 622当sin14 时取得等号.故选：C【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.8C【解析】【分析】将原问题转化为两个函数有六个交点的问题， 结合函数的解析式利用导数研究函数图像的变化情况，由函数图像即可确定实数m的取值范围.【详解】函数( )( )F xf xm有 6 个零点，等价于函数( )yf x与ym有 6 个交点，当01x时，2211( )()2416xf xxx，当1x 时，1( )xxf xe，2( )exxfx，当1,2x时，( )f x递增，当(2,)x时，( )f x递减，( )f x的极大值为：21(2)fe，作出函数( )f x的图象如下图，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5页，总 14页( )yf x与ym的图象有 6 个交点，须210me，表示为区间形式即210,e.故选 C.【点睛】本题主要考查导函数研究函数图像的性质， 数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9512【解析】连掷两次骰子分别得到点数 m,n,所组成的向量(m,n)的个数共有 36 种由于向量(m,n)与向量(1,1)的夹角为锐角,(m,n) (1,1)0，即 mn，满足题意的情况如下：当 m=2 时，n=1；当 m=3 时，n=1，2；当 m=4 时，n=1，2，3；当 m=5 时，n=1，2，3，4；当 m=6 时，n=1，2，3，4，5；共有 15 种，故所求事件的概率为：1553612.1024【解析】【分析】由抛物线的方程与几何性质，利用ABC是正三角形，求出直线 AB 的斜率和方程，再与抛物线方程联立，求得弦长|AB|的值.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6页，总 14页【详解】解：抛物线方程为28yx，焦点为2,0P，准线方程为:2l x ，如图所示，由ABC是正三角形，设 M 为 AB 的中点，11,AAl BBl MNl，垂足分别为11,A B和 N，则11111()222MNBBAAAFBFAB，32MCAB，又3cossinsin3CMNNMFAFx，直线 AB 的斜率为2323tan2313kAFx，AB 直线方程为2(2)2yx；由22(2)28yxyx，消去 y，得22040 xx，1220 xx，12|20424ABxxp.故答案为：24.【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了弦长公式，是中档题.11(1) |1x x 或3x .(2)5a 【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 7页，总 14页【分析】(1)当1a 时,不等式即21xxx,零点分段可得不等式的解集为 |1x x 或3x .(2)依题意，结合绝对值三角不等式的性质可得 23f xa,据此求解绝对值不等式可得5a .【详解】(1)当1a 时, 21f xxx,则 f xx即21xxx,当2x 时,原不等式可化为21xxx ,解得3x ;当12x时,原不等式可化为21axx ,解得1x ,原不等式无解;当1x 时,原不等式可化为21xxx ,解得1x .综上可得,原不等式的解集为 |1x x 或3x .(2)依题意得,对xR ,都有 3f x ,则 22f xaxaxaaxaxa23a,所以23a或23a ,所以5a 或1a (舍去),所以5a .【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想12(1)22222xy，22cos22sinxy；(2)9,1【解析】【分析】(1)先化简圆的极坐标方程化为普通方程，再根据普通方程写出圆的参数方程.(2) 由(1)可知xy(22cos )(22sin )= 322(cos sin )(cos sin )2.再换元求函数的最大值和最小值.【详解】(1)原方程可化为242(coscossinsin)4460，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 8页，总 14页即24cos 4sin 60.因为2x2y2，xcos ，ysin ，所以可化为 x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22，即为所求圆的普通方程设2(2)cos22(2)sin2xy,所以参数方程为22cos22sinxy(为参数)(2)由(1)可知 xy(22cos )(22sin )422(cos sin )2cos sin 322(cos sin )(cos sin )2.设 tcos sin ，则 t2sin()4，t2，2所以 xy322tt2(t2)21.当 t2时，xy 有最小值 1；当 t2时，xy 有最大值 9.【点睛】(1)本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化， 考查圆的参数方程和圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解决本题的关键有两点，其一是利用参数方程设点22cos22sinxy其二是设 tcossin2sin()4，t2，213(1) a0.04，中位数2603平均数 87.25；(2)45【解析】【分析】（1） 根据频率之和为 1， 即可求出a的值， 再根据频率分布直方图求出平均数， 中位数。 （2）首先分别按比例从第 3 组、第 4 组、第 5 组中抽出 3、2、1 人，从 6 位同学中抽取 3 位同学本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 9页，总 14页有 20 种可能，找出 3 人中至少有 1 人来自第 4 组的情况。【详解】（1）设第 3 组，第 5 组的频率分别为 x，y，由题意可得22 551 50.070.0155 0.01xyaxyaya ，解得 x0.3，y0.1，a0.04，1100 x （758080858590909595 10053530201022222 ）87.25，由频率分布直方图知，中位数在85，90） ，设中位数为 m，则 0.015+0.075+0.06（m85）0.5，解得中位数 m2603（2）成绩较好的第 3 组、第 4 组、第 5 组中的人数分别为 30，20，10，按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别为 3，2，1，设第 3 组的 3 位同学分别为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 位同学分别为 B1，B2，第 5 组的 1 位同学为 C，则从 6 位同学中抽取 3 位同学有 20 种可能，分别为：（123AAA， ，） ， （A1，A2，B1） ， （A1，A2，B2） ， （A1，A2，C） ， （A1，A3，B1） ， （A1，A3，B2） ， （A1，A3，C） ， （A1，B1，B2） ， （A1，B1，C） ， （A1，B2，C） ， （A2，A3，B1） ， （A2，A3，B2） ， （A2，A3，C） ， （A2，B1，B2） ， （A2，B1，C） ， （A2，B2，C） ， （A3，B1，B2） ， （A3，B1，C） ， （A3，B2，C） ， （B1，B2，C） ，这 3 人中至少有 1 人来自第 4 组包含的基本事件有 16 个，分别为：（A1，A2，B1） ， （A1，A2，B2） ， （A1，A3，B1） ， （A1，A3，B2） ， （A1，B1，B2） ， （A1，B1，C） ，（A1，B2，C） ， （A2，A3，B1） ， （A2，A3，B2） ， （A2，B1，B2） ， （A2，B1，C） ， （A2，B2，C） ，（A3，B1，B2） ， （A3，B1，C） ， （A3，B2，C） ， （B1，B2，C） ，这 3 人中至少有 1 人来自第 4 组的概率为 P164205【点睛】本题主要考查了频率分布直方图以及概率，属于基础题。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 10页，总 14页14 （1）详见解析； （2）77【解析】【分析】 1设ACBDO，连结 OE，OF，推导出/ /OECF，OF 平面 ABCD，以 O 为原点， OA， OB， OF 所在直线分别为 x， y， z 轴， 建立空间直角坐标系， 利用向量法能证明/ /EG平面 BCF 2求出平面 ABE 的法向量和平面 BDE 的法向量， 利用向量法能求出二面角ABED的余弦值【详解】 1 证明：设ACBDO，连结 OE，OF，四边形 ABCD 是菱形，EA 平面 ABCD，/ /EFAC，/ /CF平面 BDE，/ /COEF，EFAOCO，OF平面 ABCD，设OAa，OBb，AEc，以 O 为原点，OA，OB，OF 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则( ,E a0，) c，,02 2a bG，(0,Bb，0)，(,Ca0，0)，(0,F0，) c，(0,FB b，)c，(,FCa 0，)c，,22abEGc ，设平面 BCF 的法向量为( ,nxy，) z，则00n FBbyczn FCaxcz ，取zb，得(,bcna c，)b，022abcbn EGccba ，EG 平面 BCF，E/ /G平面 BCF 2设2AEAB，60BAD，1OB，3OA ，3,0,0A，(0,B1，0)，3,0,2E，0, 1,0D，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 11页，总 14页3, 1,2BE ，3, 1,0BA ，0, 2,0BD ，设平面 ABE 的法向量( ,nxy，) z，则30320n BAxyn BExyz ，取1x ，得1, 3,0n ，设平面 BDE 的法向量( ,mxy，) z，则32020m BExyzm BDy ，取2x ，得(2,m 0，3)，设二面角ABED的平面角为，则27747m ncosm n ，二面角ABED的余弦值为77【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题15 （1）x24+y23= 1； （2）存在，AMN 内切圆面积最大值是916，直线方程为 x = 1.【解析】(1)设椭圆方程为x2a2+y2b21(ab0)，由焦点坐标可得 c1.由|PQ|3，可得2b2a3.又 a2b21，得 a2，b 3.故椭圆方程为x24+y231.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令 y10，y20，所以 f(t)在1，)上单调递增，有 f(t)f(1)4，SF1MN1243，当 t1，m0 时，SF1MN3，又 SF1MN4R，Rmax34这时所求内切圆面积的最大值为916.故F1MN 内切圆面积的最大值为916，且此时直线 l 的方程为 x1.16 （1）减区间是10,e，增区间是1,e； （2）10,e，证明见解析.【解析】【分析】（1） 当ae 时， 求得函数 fx的导函数 fx以及二阶导函数 fx， 由此求得 fx的单调区间.（2）令( )0fx =求得ln xax，构造函数 ln xg xx，利用导数求得 g x的单调区间、极值和最值，结合 fx有两个极值点，求得a的取值范围.将12,x x代入 fxlnxax列方程组，由1212212212lnlnlnxxx xxaxxxxx证得1212x xxx.【详解】（1） fxlnxaxlnxex，10ef，又 10fxex，所以 fx在(0)，单增，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 13页，总 14页从而当10,ex时， 0,fxf x递减，当1,xe时， fx递增.（2） fxlnxax.令 ln0 xfxax，令 ln xg xx，则 21 ln xgxx故 g x在0,e递增，在( ,)e 递减，所以 max1g xg ee.注意到当1x 时 0g x ，所以当0a 时， fx有一个极值点，当10ae时， fx有两个极值点，当1ae时， fx没有极值点，综上10,ae因为12,x x是 fx的两个极值点，所以11112222ln0lnln0lnxaxxaxxaxxax不妨设12xx，得121xex，因为 g x在( ,)e 递减，且122xxx，所以1212212212lnlnlnxxxxxaxxxxx又12121212lnlnlnx xxxa xxaxx所以121212121212lnlnxxx xx xxxxxxx【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间， 考查利用导数研究函数的极值点， 考查利用本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 14页，总 14页导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.