一函数极限连续.doc

【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流一函数。极限。连续.精品文档.一. 填空题1设 , 则a = _.解. 可得 = , 所以 a = 2.2. =_.解. 所以  < < , (n®¥), (n®¥)所以  = 3. 已知函数     , 则ff(x) _.解. ff(x) = 1.4. =_.解. 5. =_.解. 6. 已知 (¹ 0 ¹ ¥), 则A = _, k = _.解. 所以  k1=1990,   k = 1991;  二. 单项选择题1. 设f(x)和j(x)在(¥, +¥)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ¹ 0, j(x)有间断点, 则(a) jf(x)必有间断点 (b) j(x)2必有间断点 (c) f j(x)必有间断点 (d) 必有间断点解. (a) 反例      ,  f(x) = 1, 则jf(x)=1(b) 反例      , j(x)2 = 1(c) 反例      ,  f(x) = 1, 则f j(x)=1(d) 反设  g(x) = 在(¥, +¥)内连续, 则j(x) = g(x)f(x) 在(¥, +¥)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数 , 则f(x)是(a) 偶函数   (b) 无界函数   (c) 周期函数   (d) 单调函数解. (b)是答案.3. 极限 的值是(a) 0     (b) 1    (c) 2    (d) 不存在解. = , 所以(b)为答案.4. 设 , 则a的值为(a) 1    (b) 2    (c)     (d) 均不对解. 8 = =      = ,   , 所以(c)为答案.5. 设 , 则a, b的数值为(a) a = 1, b =    (b) a = 5, b =    (c) a = 5, b =    (d) 均不对解. (c)为答案.6. 设 , 则当x®0时(a) f(x)是x的等价无穷小        (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x较低价无穷小        (d) f(x)比x较高价无穷小解. = , 所以(b)为答案.7. 设 , 则a的值为(a) 1    (b) 1    (c) 2    (d) 3解. , 1 + a = 0, a = 1, 所以(a)为答案.8. 设 , 则必有(a) b = 4d    (b) b =4d    (c) a = 4c    (d) a =4c解. 2 = = , 所以a =4c, 所以(d)为答案.1. 求下列极限(1) 解. (2) 解. 令 (3) 解. 2. 求下列极限(1) 解. 当x®1时, , . 按照等价无穷小代换    (2) 解. 方法1：方法2：3. 求下列极限(1) 解.     (2) 解.      (3) , 其中a > 0, b > 0解.     4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 解. ,  所以x = 0为第一类间断点.(2) 解.    显然 , 所以x = 1为第一类间断点;, 所以x = 1为第一类间断点.(3)     解. f(+0) =sin1, f(0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;   不存在. 所以x = 1为第二类间断点;   不存在, 而 ,所以x = 0为第一类可去间断点;   , (k = 1, 2, ) 所以x = 为第二类无穷间断点.5. 设 , 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求a, b.解.  x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求    存在. 所以    . 所以    0 =     所以a = 1.上式极限存在, 必须 . 6. 设 , b ¹ 0, 求a, b的值.解. 上式极限存在, 必须a = (否则极限一定为无穷). 所以    = .  所以 .7. 讨论函数    在x = 0处的连续性.解. 当 时不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当 时, 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.8. 设f(x)在a, b上连续, 且a < x1 < x2 < < xn < b, ci (i = 1, 2, 3, , n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个x, 使  .证明: 令M = , m = . 不妨假定 所以  m £ £ M所以存在x( a < x1 £ x £ xn < b), 使得 9. 设f(x)在a, b上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: 假设F(x) = f(x)x, 则F(a) = f(a)a < 0, F(b) = f(b)b > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(x)在0, 1上连续, 且0 £ f(x) £ 1, 试证在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: (反证法) 反设 . 所以 恒大于0或恒小于0. 不妨设 . 令 , 则 . 因此 . 于是 , 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.11. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = g(x).证明: 假设F(x) = f(x)g(x), 则F(a) = f(a)g(a) < 0, F(b) = f(b)g(b) > 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.12. 证明方程x53x2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x53x2, 则F(1) =4 < 0, F(2) = 24 > 0所以  在(1, 2)内至少有一个x, 满足F(x) = 0.13. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且 , 求 及 .解. . 所以    . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以 在x = 0连续. 所以f(0) = 3. 因为    , 所以 , 所以由 , 将f(x)泰勒展开, 得    , 所以 , 于是(本题为2005年教材中的习题, 2006年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)