第十章动量定理.pptx

第一节第一节 动量与冲量动量与冲量10.1.1 动量动量1）质点的动量）质点的动量 质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，记为质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，记为 。 动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为kgm/s。2）质点系的动量）质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。iim pvmv3）质心及用质心速度求质点系动量）质心及用质心速度求质点系动量i ii iCimmmmrrr定义质点系质量中心定义质点系质量中心(质心质心) C 的矢径的矢径ddddd()diiiii iCCmmmttmmt rpvrrv则则质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。第一节第一节 动量与冲量动量与冲量例例1 求动量求动量第一节第一节 动量与冲量动量与冲量均质细杆均质细杆均质滚轮均质滚轮均质轮均质轮例例2 两均质杆两均质杆OA和和AB质量为质量为m，长为，长为l，铰接于，铰接于A。图示位置时，。图示位置时，OA杆的角速度为杆的角速度为w w，AB杆相对杆相对OA杆的角速度亦为杆的角速度亦为w w。求此瞬时。求此瞬时系统的动量。系统的动量。解：由刚体系统的动量公式解：由刚体系统的动量公式2211CCvmvmp其中：其中：w21lvCwwwlllvC2222wwwmllmlmp2522方向水平向右。方向水平向右。mvC1mvC2OABC1C2wwr=wACACvvv22AB作平面运动作平面运动第一节第一节 动量与冲量动量与冲量例例3 已知均质杆已知均质杆OA、AB与均质轮的质量均为与均质轮的质量均为m，OA=l1， AB=l2，轮的半径为轮的半径为R，轮作纯滚动，轮作纯滚动，OA杆的角速度为杆的角速度为w w，求图示瞬时系，求图示瞬时系统的动量。统的动量。第一节第一节 动量与冲量动量与冲量10.1.2 冲量冲量作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为Ns，与动，与动量的量纲相同。量的量纲相同。常力的冲量常力的冲量tIF变力的冲量变力的冲量元冲量元冲量ddIt F 而力而力 在作用时间在作用时间 t1 t2内的冲量是矢量积分内的冲量是矢量积分F21dtttIF第一节第一节 动量与冲量动量与冲量10.2.1 质点的动量定理质点的动量定理质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。d()ddmtvFI微分形式微分形式在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。时间内的冲量。210dttmmtvvFI积分形式积分形式dd()ddmmmttvavF第二节第二节 动量定理动量定理说明：说明：1、使用动量定理时，必须首先分清质点系所受的力那些、使用动量定理时，必须首先分清质点系所受的力那些是外力，哪里是内力，只有外力才改变质点系的动量。是外力，哪里是内力，只有外力才改变质点系的动量。2、动量是矢量。质点系的动量，等于各质点动量的矢量、动量是矢量。质点系的动量，等于各质点动量的矢量和，而不是代数和。和，而不是代数和。 第二节第二节 动量定理动量定理例例4 锤的质量锤的质量m3000 kg，从高度，从高度h1.5 m 处自由下落到处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变形历时受锻压的工件上，工件发生变形历时 t 0.01 s ；求锤对工；求锤对工件的平均压力件的平均压力。hy第二节第二节 动量定理动量定理hyG*N解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均反力反力N*表示。表示。锤自由下落时间锤自由下落时间12htgyyyImvmv12100()G ttN t 11212 1.5(1)(1)3000 9.8(1)16560.019.8thNGGkNttg 锤对工件的平均压力与反力锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的大小相等，方向相反，与锤的重量重量G29.4 kN比较，是它的比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。倍，可见这个力是相当大的。第二节第二节 动量定理动量定理例例5 滑块滑块C的质量为的质量为m19.6 kg ，在力，在力P866 N的作用下沿倾角为的作用下沿倾角为30o的导杆的导杆AB斜向上运动。已知力斜向上运动。已知力P与导杆与导杆AB之间的夹角为之间的夹角为45o，滑，滑块与导杆的动摩擦系数块与导杆的动摩擦系数f0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到大到v2 m/s 所需的时间。所需的时间。 ABPC3045xy第二节第二节 动量定理动量定理ABPgmCCNF3045xy解：以滑块解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。为研究对象，建立坐标系。由动量定理得由动量定理得0(cos45sin30)(1)mvPmgF t 00(sin45cos30 )(2)CPNmgt 由由(2)式得式得30cos45sinmgPNC)30cos45sin(mgPffNFC代入代入(1)式，求得所需时间为式，求得所需时间为0.0941scos45sin30( sin45cos30 )mvtPmgf Pmg从而摩擦力为从而摩擦力为第二节第二节 动量定理动量定理10.2.2 质点系的动量定理质点系的动量定理 设由设由n个质点组成的质点系。其中第个质点组成的质点系。其中第i个质点的质量为个质点的质量为mi，速速度为度为vi，作用在该质点上的外力与内力的合力为，作用在该质点上的外力与内力的合力为 与与 ，由质，由质点的动量定理有点的动量定理有(e)iF(i)iF(e)(i)()(1,2, )iiiid mdtinvFF将将n个方程相加，即得个方程相加，即得(e)(i)()iiiid mdtdt vFF又因又因()()iiiid mdmdvvp第二节第二节 动量定理动量定理(e)didt pF质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）。（或外力的主矢）。上式也可以写成上式也可以写成由于内力成对出现，故所有内力的矢量和恒等于零，由于内力成对出现，故所有内力的矢量和恒等于零，即即 。于是可得。于是可得(i)0iF(e)(e)dddt pFI质点系动量的增量等于作用于质点系的外力质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量元冲量的矢量和。的矢量和。质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的微分形式第二节第二节 动量定理动量定理(e)didt pF质点系动量定理的微分投影形式质点系动量定理的微分投影形式(e)(e)(e)ddddddyxzxyzpppFFFttt 201(e)ddptptt pF或或(e)0 ppI质点系动量定理的积分形式质点系动量定理的积分形式在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。于质点系外力冲量的矢量和。质点系动量定理的积分投影形式质点系动量定理的积分投影形式( )( )( )000,eeexxxyyyzzzppIppIppI 第二节第二节 动量定理动量定理pp0 恒矢量恒矢量若若 ，则，则(e)0 xF如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。不变。如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。pxp0 x 恒量恒量10.2.3 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律第二节第二节 动量定理动量定理 太空中拔河，谁胜谁负？系统不受外力作用，所以动量守恒()0AABBABCmmmmpvvv不分胜负！思考题思考题第二节第二节 动量定理动量定理例例6 质量分别为质量分别为mA和和mB的两个物块的两个物块A和和B，用刚度系数为，用刚度系数为k的弹簧联结。的弹簧联结。B块放在地面上，静止时块放在地面上，静止时A块位于块位于O位置。如将位置。如将A块压下，使其具有初位块压下，使其具有初位移移X0，此后突然松开，如所示。求，此后突然松开，如所示。求地面对地面对B块的约束力块的约束力NB。又。又X0多大时，多大时，B块将跳起？块将跳起？BkxOA静止平衡位置X0第二节第二节 动量定理动量定理取系统为研究对象，画受力图。取系统为研究对象，画受力图。kBx平衡位置静止AONBxAmAgmBg系统的动量为系统的动量为0sinxAABBApm xm xm Xtww块块A作简谐振动，初始条件为作简谐振动，初始条件为00AtxX 00Atx0cosAxXtw 0sinAxXtww所以所以质系动量定理质系动量定理20cosABABm XtNm gm gww20()cosBABANmmgm Xtww第二节第二节 动量定理动量定理B块跳起的条件为块跳起的条件为NB = 0，即，即20()cos0ABAmmgm Xtww0min2ABABAmmmmXggmkwkBx平衡位置平衡位置静静止止AONBxAmAgmBg02()cosABAmmgXmtww 第二节第二节 动量定理动量定理例例7 所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上。设其外壳所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上。设其外壳和定子的总质量为和定子的总质量为m1，质心位于转子转轴的中心，质心位于转子转轴的中心O1；转；转子质量为子质量为m2，由于制造或安装时的偏差，转子质心，由于制造或安装时的偏差，转子质心O2不不在转轴中心上，偏心距在转轴中心上，偏心距O1O2 = e，已知转子以等角速，已知转子以等角速w w 转转动。试求电动机机座的约束力。动。试求电动机机座的约束力。第二节第二节 动量定理动量定理由质系动量定理有：由质系动量定理有：支座的约束力为：支座的约束力为：222122sincosxyFm etFm gm gm etwwww 解：建立坐标系解：建立坐标系O1xy，画受力图，画受力图机壳不动，质点系的动量就是转子的动机壳不动，质点系的动量就是转子的动量，其大小为量，其大小为P=m2ew w，假设，假设t00时，时，O O1 1O O2 2铅垂，有铅垂，有212212120sin0cosxymm etFmm etFm gm gwwww 第二节第二节 动量定理动量定理tw例例8 如图所示，已知小车重为如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重，沙箱重1 kN，二者以速度，二者以速度v03.5 m/s 运动。此时有一重为运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动得箱在车上滑动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。力。0vx第二节第二节 动量定理动量定理1N2N0vx解：研究系统，建立坐标系。解：研究系统，建立坐标系。(e)0 xxFpcvgWWWvgWW321021代入已知数据，解得代入已知数据，解得v3 m/s设沙箱滑动结束后车速为设沙箱滑动结束后车速为v，则有，则有1N2N1WNFvx再以小车为研究对象，由动量定理有再以小车为研究对象，由动量定理有0 xxppFt FtvgWvgW011代入已知数据，解得代入已知数据，解得 F0.5 kN1W3W2W第二节第二节 动量定理动量定理第三节第三节 质心运动定理质心运动定理10.3.1 质量中心质量中心i ii iCimmmMrrriiiiCiiiiiCiiiiiCim xm xxmmm ym yymmm zm zzmm10.3.2 质心运动定理质心运动定理(e)d()dCmt vF对于质量不变的质点系，上式可改写为对于质量不变的质点系，上式可改写为或(e )Cm aF质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和(外力的主矢外力的主矢)。(e)ddCmt vF第三节第三节 质心运动定理质心运动定理质心运动定理直角坐标投影式质心运动定理直角坐标投影式(e)(e)(e)CxxCyyCzzmaFmaFmaF 自然轴上的投影式自然轴上的投影式2(e)(e)(e)tnbd,0dCCvvmFmFFt 形式上，质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似，因此形式上，质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似，因此质心运动定理也可叙述如下：质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以看成一个质质点系质心的运动，可以看成一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。才能改变质心的运动。第三节第三节 质心运动定理质心运动定理 如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。 如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。 以上结论，称为以上结论，称为质心运动守恒定理质心运动守恒定理。10.3.3 质心运动守恒定理质心运动守恒定理第三节第三节 质心运动定理质心运动定理xy例例9 如图所示，电动机外壳固定在水平如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量分别为基础上，定子、转子的质量分别为m1、m2。设定子质心位于转轴中心。设定子质心位于转轴中心O1，由于，由于制造误差，转子质心制造误差，转子质心O2 到到O1的距离为的距离为e，已知转子以匀角速度已知转子以匀角速度w w 转动。求：转动。求： (1) 质心运动方程；质心运动方程；(2) 基础对电机总的水基础对电机总的水平和铅垂反力；平和铅垂反力；(3) 若电机没有螺栓固若电机没有螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电机静止，定，各处摩擦不计，初始时电机静止，求转子以匀角速度求转子以匀角速度w w转动时电动机外壳转动时电动机外壳的运动。的运动。1O2Oew第三节第三节 质心运动定理质心运动定理 xy解：解：(1) 建立如图坐标，任一瞬时，建立如图坐标，任一瞬时， w w t，即有，即有11220,0cos,sinxyxetyetww故质心运动方程为故质心运动方程为212212cossinCCm etxmmm etymmww1O2Oew第三节第三节 质心运动定理质心运动定理 (2) (2) 以系统为研究对象以系统为研究对象(e)(e),CxxCyymaFmaF 121212()()CxCymmxFmmyFm gm g22122212cossinCCm extmmm eytmmwwww 222212cossin()xyFmetFmetmm gwwww xygm2gm11O2OewyFxFOM由质心运动定理由质心运动定理因因故故得得第三节第三节 质心运动定理质心运动定理（3）以系统为研究对象，受力如图。）以系统为研究对象，受力如图。21CCxx在图示坐标下，设初始时在图示坐标下，设初始时xC1a，当转，当转子转过子转过 ，定子向右移动距离，定子向右移动距离s，则，则21212)cos()(mmseamsamxC所以所以2121)cos()(mmseamsamaxygm2gm1asNF1O2Oe由于由于S SFx(e)0 ，所以所以第三节第三节 质心运动定理质心运动定理解得解得tmmemmmemswcoscos212212由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时2min122()NFmm gmew若若 ，则，则 。因此如电动机无螺栓固定，它将。因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。会跳起来。emgmm221)(w0minN第三节第三节 质心运动定理质心运动定理 例例10 质量为质量为M 的大三角块放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相的大三角块放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相似的小三角块，其质量为似的小三角块，其质量为m。已知大、小三角块的水平边长各为。已知大、小三角块的水平边长各为a与与b。试求小三角块由图示位置滑到底时大三角块的位移。试求小三角块由图示位置滑到底时大三角块的位移。xyabmgMgNF第三节第三节 质心运动定理质心运动定理xyabmgMgNF解：取系统分析，受力如图，建立如图坐标。解：取系统分析，受力如图，建立如图坐标。xys设大三角块的位移为设大三角块的位移为s ，则，则mMsabamsbMxC)()(3231221CCxx由于由于S SFx(e)0 ，且初始系统静止，所以且初始系统静止，所以mMambMxC32311解得解得mMabms)(第三节第三节 质心运动定理质心运动定理 例例11 已知物块质量已知物块质量m1=20kg， m2=15kg， m3=10kg，四棱柱的质量，四棱柱的质量m=100kg。不计滑轮与绳子的质量和摩擦，系统初始静止；求当物块。不计滑轮与绳子的质量和摩擦，系统初始静止；求当物块m1下降下降1m时，四棱柱相对于地面的位移。时，四棱柱相对于地面的位移。第三节第三节 质心运动定理质心运动定理 例例12 已知均质曲柄已知均质曲柄OC的质量为的质量为m1，均质尺，均质尺AB的质量为的质量为2m1， 滑块滑块A和和B的质量均为的质量均为m2，OC=AC=CB=l，OC的角速度的角速度w w为常量，求曲柄为常量，求曲柄水平向右时，系统的动量。水平向右时，系统的动量。第三节第三节 质心运动定理质心运动定理例例13 图示系统，重物图示系统，重物A和和B的质量分别为的质量分别为m1、m2。若。若A下降下降的加速度为的加速度为a，滑轮质量不计。求支座，滑轮质量不计。求支座O的反力。的反力。ABOaAvBv第二节第二节 动量定理动量定理解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设A下降的速度为下降的速度为vA，B上升的速度为上升的速度为vB，则由运动学关系得，则由运动学关系得ABOxyOxFOyFgm1gm2 ABOaAvBvABOxyOxFOyFgm1gm2ABvv21系统的动量在坐标轴上的投影为系统的动量在坐标轴上的投影为121210,()2xyABAppm vm vmm v由质点系的动量定理由质点系的动量定理1212d10,()d2OxAOyFmm vm gm gFt注意到注意到adtdvA可得可得121201()2OxOyFFm gm gmm a第二节第二节 动量定理动量定理 例例14 已知均质杆已知均质杆AB长为长为l，直立于光滑的水平面上，直立于光滑的水平面上 ，求杆无初速倒，求杆无初速倒下时，端点下时，端点A相对图示坐标系的轨迹。相对图示坐标系的轨迹。第三节第三节 质心运动定理质心运动定理 例例15 已知均质鼓轮已知均质鼓轮O的质量为的质量为m1，重物，重物B、C的质量分别为的质量分别为m2与与m3 ， 斜面光滑，倾角为斜面光滑，倾角为，重物重物B的加速度为的加速度为a；求轴承；求轴承O处的约束反力。处的约束反力。第三节第三节 质心运动定理质心运动定理 例例16 如图所示，已知如图所示，已知mA、mB ，且，且mA=3mB，角度，角度，不计各处的摩擦，不计各处的摩擦，求求A的加速度及地面的支持力。的加速度及地面的支持力。第三节第三节 质心运动定理质心运动定理 第三节第三节 质心运动定理质心运动定理 第三节第三节 质心运动定理质心运动定理