3应力应变状态分析ppt课件.pptx
一一. .研究应力状态的意义研究应力状态的意义PP 8-1 8-1 引言引言（1 1）同一点各个方向的应力不同；）同一点各个方向的应力不同；(2)(2)相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与低碳钢的压缩破坏。低碳钢的压缩破坏。二、一点的应力状态二、一点的应力状态 1.一点的应力状态一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况上的应力情况。 2.研究应力状态的目的研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。析。三、研究应力状态的方法三、研究应力状态的方法单元体法单元体法 1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。应力与应变分析应力与应变分析xOzydzdxdyXYZO y y z zt tzyt tyzt tyzt tzyt tyxt tyxt txyt txy x xt tzxt txzt tzxt txz应力与应变分析应力与应变分析 （1）应力分量的）应力分量的角标规定角标规定：第一角标表示应力作用面，第二：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示）面的方位用其法线方向表示yxxyxzzxzyyzt t t tt t t tt t t t，3.截取原始单元体的方法、原则截取原始单元体的方法、原则用三个坐标轴用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体 单元体各个面上的应力已知或可求；单元体各个面上的应力已知或可求；几种受力情况下截取单元体方法：几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量单元体上的应力分量应力与应变分析应力与应变分析PMeMePPMeMec) 同同b)，但从，但从上表面截取上表面截取Ct t b) 横截面，周向面，直径面各一对横截面，周向面，直径面各一对Ba) 一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面AP/A tMtMe/WnABCBCAPCABt tBt tC C C A A低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。铸铁铸铁低碳钢低碳钢为什么要研究一点的应力状态？为什么要研究一点的应力状态？ tt；？ttCL10TU2mmPABCDEABCDE主平面主平面剪应力为零的平面剪应力为零的平面主应力：主应力：主平面上的正应力主平面上的正应力主方向：主方向：主平面的法线方向主平面的法线方向 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。互相垂直的主平面。 三个主应力用三个主应力用1 1、 2 2 、 3 3 表示，按代数值大小表示，按代数值大小顺序排列，即顺序排列，即 1 1 2 2 3 3 二二.基本概念基本概念应力状态的分类：应力状态的分类：单向应力状态：单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零；三个主应力中只有一个不等于零；二向和三向应力状态统称为二向和三向应力状态统称为复杂应力状态复杂应力状态二向应力状态二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零；（平面应力状态）：两个主应力不等于零；三向应力状态三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零 8-2 8-2 平面应力状态下的应力分析平面应力状态下的应力分析xytxytyxCL10TU8xyxyytytxx一一. .应力单元体应力单元体二二. . 应力分析的解析法应力分析的解析法xytxtxxxtytyyyn（1 1）斜截面应力）斜截面应力ytyxtxt：拉应力为正：拉应力为正：顺时针转动为正：顺时针转动为正：逆时针转动为正：逆时针转动为正nAAsinAcos 平衡对象平衡对象用用 斜截斜截 面截取的微元局部面截取的微元局部 0tFF 平衡方程平衡方程x yt tyx tt txy FF 参加平衡的量参加平衡的量应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积A 0 nF，2.2.斜面上的应力斜面上的应力微元体的平衡方程微元体的平衡方程 0 nF - -cos)cos( Ax- - yA(sin )sin 0 tt txy yx t tyxA + +t t A(cos )sinxy+ +t t A(sin )cosyx法向的平衡法向的平衡tcossin2sincos22xyx-+AAsinAcos 0tF- -t tA+ + xA(cos )sin+ +t t xyA(cos )cos 0- - yA(sin )cos- -t t yxA(sin )sin tt txy yx t tyx 切向平衡切向平衡)sin(coscossin)(22tt-+-xyxAAsinAcosttt+-+xyxyxxyx2222222cossinsincos注：三角公式22cos1cos22cos1sincossin22sin22+-讨论：)2( 2sin)2( 2cos)(21)(21) 12t+-+-+xyxyx常量+yx22)2tt+-t2sin2cos)(21)(212xyxyx+-+ 8-38-3. .主应力主应力ddt -+2222xyxsincos若时，能使00ddtxyx-+222000sincos+-+ttt2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx剪应力的极值确定正应力和的函数。利用上式便可都是和t0 xt零该面上恰好切应力等于tan220t -xxytmaxmin+-+xyxyx2222是最小正应力作用面。正应力作用面，另一个其中一个是最大确定了两个正交平面，、00090+由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应力和最小主应力。力和最小主应力。用完全相似的方法可确定剪应力的极值ddtt-()cossinxyx222若时，能使t10dd()cossintxyx-222011+-+ttt2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx由由tan221t-xyx1190、它们确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大和最小剪应力+,tttmaxmin -+xyx222tantan21210 - -ctg20229010+即1045+即：最大和最小剪应力所在平面与主平面的夹角为45tan220t -xxytan221t-xyx由： 8-4 8-4 应力分析的图解法应力分析的图解法应力圆应力圆t-+-xyxyx22221cossin( )tt-+xyx2222sincos( )( )( ) ,1222+得tt-+-+xyxyx222222()()xxyyR-+-020221.莫尔莫尔(Mohr)圆圆+02，圆心坐标为yxtt-+-+xyxyx222222222xyxt+-半径为t 在在t t - 坐标系中，标定与微元垂直的坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上面上 应力对应的点应力对应的点a和和d 连连ad交交 轴于轴于c点，点，c即为圆心，即为圆心，d应力应力圆半径。圆半径。 yt tyxt txyx AD ta( x ,t txy)d( y ,t tyx)cR xy+ +22.2.应力圆的画法应力圆的画法3.3.应力圆的几种对应关系应力圆的几种对应关系(3)转向对应转向对应半径旋转方向与方向半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；面法线旋转方向一致；(4)二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是方向面半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。旋转角度的两倍。(1)单元体与应力圆对应单元体与应力圆对应 单元体的应力单元体的应力分量已知一般来说对应着唯一的应力圆；分量已知一般来说对应着唯一的应力圆；(2)点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；切应力；点与面对应点与面对应 yt tyxt txyx tcaA圆与单元体对应圆与单元体对应初始面Cq q2q2qaA AxyA A a t tx y yx转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应 yt tyxt txyx ADtc主应力与主切应力主应力与主切应力d( y ,t tyx)a( x ,t txy)1202maxt(1)(1)根据单元体上的应力根据单元体上的应力x x、y y 、x x画应力圆画应力圆: :(,)txx(,)tyyttxxtxxtyytyyyx4.用应力圆求任意斜截面上的应力用应力圆求任意斜截面上的应力（2）求任意斜截面上的应力）求任意斜截面上的应力2(,)t 例例8-18-1分别用解析法和图解法求图示单元分别用解析法和图解法求图示单元体的体的(1)指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大剪应力值。最大剪应力值。ttttxyxxyxyxxyx - -+-+8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacossinsincos.解：解：()使用解析法求解使用解析法求解MPaxyxyx1022sin2cos22-+tMPaxyx0 .222cos2sin2+-ttttmaxmintan.+- +-xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或min65105MPa,1,02 -65MPa3ttmaxmintan.+-+- - -xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或max1050225.tttmaxmin -+ xyx28522MPa1ttan-xxy220()使用图解法求解使用图解法求解t10222105max65 -mint 85max5220.t作应力圆，从应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出： 例例8-38-3一点处的应力状态如图所示，试用一点处的应力状态如图所示，试用应力圆求主应力。应力圆求主应力。CL10TU71t 例例8-38-3一点的应力状态如图所示（应力单位一点的应力状态如图所示（应力单位 MPaMPa），试作应力圆求主应力及其作用平面。），试作应力圆求主应力及其作用平面。327，-237127，-73低碳钢低碳钢铸铁铸铁t 例例8-4 讨论圆轴扭转时的应力状态，并讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。ttttttmaxmin0123max, - -,450maxmintt( , )0t( ,)0 -t圆筒形薄壁压力容器，内径为圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为、壁厚为 t，承，承受内力受内力p作用作用pDt2pDt4123240pDtpDtCL10TU4pp ) )tD ( (m ( () )ltt 2 t t m m m t 承受内压承受内压p作用薄壁圆筒的应力计算作用薄壁圆筒的应力计算) )tD ( (m m m 0 X( () ) 42DpDtm tpDm4 0 Y( () )( () )lDpltt 2 tpDt2 ( () )ltt 2 t t 84 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线zzxyIbQStzxIMy12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：223122xyxxt+）（2 21 1 1 1 3 3 3 33 3 1 1 3 34 4 1 1 1 1 3 35 50450 t tA1A2D2D1CO A2D2D1CA1Ot t20 t tD2D1CD1O20= 90 D2A1Ot t20CD1A2 t tA2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。 1 3 1 3qxy主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd 1 3 3 11.三向应力状态应力圆：三向应力状态应力圆： 平行平行 3斜截面上应力由斜截面上应力由 1、 2作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 平行平行 2斜截面上应力由斜截面上应力由 1、 3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 平行平行 1斜截面上应力由斜截面上应力由 2、 3作出应力圆上的点确定；作出应力圆上的点确定； 由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。一、三向应力状态下的应力圆一、三向应力状态下的应力圆2.三向应力状态下的最大剪应力三向应力状态下的最大剪应力23113max - - t t t t t tmax所在平面与所在平面与 1和和 3两个主平面夹角为两个主平面夹角为45o。 二、例题二、例题 8-5 8-5 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法 2 1xyz 3123t1 1、空间应力状态、空间应力状态2 2、三向应力分析、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b整个单元体内的最大剪应力为：t tmax231maxt- 2 1xyz 3123t例例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主面501建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:275058321-44maxt5040 xyz3010 (M Pa) （M Pa ）t t ABCAB 1 2 3t tmax 3 2 1 2 3 1 2 1 3 3C1C3 1 2Ot t t t12t t23t t13C2 例例8- -4 试确定左图所示应力状态的试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解：解： 给定应力状态中有一个主给定应力状态中有一个主应力是已知的，即应力是已知的，即 z=90MPa。因此，可将该应力状态沿因此，可将该应力状态沿z方向方向投影，得到平面应力状态，可直投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。接求主应力及其方位。 x=300MPa， y=140MPa，t txy=- -150MPa，因此：，因此：MPa50390170220)150()2140300(214030022minmax - -+ +- - + + 根据根据 1、 2、 3的排列顺序，可知：的排列顺序，可知： 1=390MPa， 2=90MPa， 3=50MPa xzyxzy90300150140A y=140t txy=150 x=300A视视 2y31o31o 1x 3主应力方位：主应力方位： o0o0o0yxxy0121231622815140300150222tg + + - - - - - - - t t- - 最大剪应力所在平面法线与主平面夹角最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与即与x轴夹角轴夹角76o或或- -14o。 MPa170250390231max - - - - t t单元体内的最大剪应力：单元体内的最大剪应力： 86 平面内的应变分析平面内的应变分析xyO 一、叠加法求应变分析公式一、叠加法求应变分析公式cosd11xaDD21cosx2sin/cossinsin/cos1xxxaabbBOEAOD+abcd AOB剪应变： 直角的增大量！（只有这样，前后才对应） DD1EE1 sind22ycDD22siny2sin/cossin/cossin2yyyccccBOEAOD-xyOabcd AOBDD2EE2 cosd33xycADd-socxysin3-()2233sincos/coscossin/sin-+-+-xyxyxyccccBOEAODDD3EE3 xy xy xyOabcd AOBcossinsincos2231xyyxii-+()2231sincos2sin2sin-+-xyyxiit2sin2cos22xyyxyx-+tt2cos2sin2xyyx+- 2sin212cos22xyyxyx-+2cos212sin22xyyx- 2、已知一点A的应变（ ），画应变圆xyyx,二、应变分析图解法二、应变分析图解法应变圆应变圆（ Strain Circle） 22 ; 2 ; t1、应变圆与应力圆的类比关系建立应变坐标系如图在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2)AB与 轴的交点C便是圆心以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆。 /2 /2ABC /2 /2三、三、 方向上的方向上的应变与应变与应变圆的对应关系应变圆的对应关系maxmin20D(，/2)2n方向上的应变( ， /2) 应变圆上一点(， /2) 方向线 应变圆的半径两方向间夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。ABC四、主应变数值及其方位四、主应变数值及其方位()22minmax21xyyxyx+-+）（ 22 ; 2 ; t22minmax22xyyxyxt+-+）（yxxytgt-220yxxy-02tg例例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由iixyiyixicossinsincos22-+i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。()22minmax21xyyxyx+-+）（例例6 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o0max 2)(2122max）（）（yuuxyx-+-+ 2)(2122min）（）（yuuxyx-+-+yxyxu-22tg0一、广义虎克定律一、广义虎克定律1.有关概念：有关概念： 主应变主应变：沿主应力方向的应变，分别用：沿主应力方向的应变，分别用 1 2 3表示；表示； 正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；2.广义虎克定律广义虎克定律： 推导方法：推导方法：叠加原理叠加原理主应变与主应力关系：主应变与主应力关系： + + - - + + + + + + - - + + + + + + - - + + + + )(E1)(E1)(E1213 3333132 2222321 1111一般情况：一般情况： t t t t t t + + - - + + - - + + - - G/G/G/)(E1)(E1)(E1zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx， 8-8-广义虎克定律广义虎克定律 1 2 3 1 1I 2 2II 3III 1I 1 2II 2 1方向上的应变：方向上的应变： 2方向上的应变：方向上的应变： 3方向上的应变：方向上的应变：EEE1312111 - - - - EEE2322212 - - - - E E E 3332313 - - - - III 3 + + - - + + + + + + - - + + + + + + - - + + + + )(E1 )(E1 )(E1 213333313222223211111用应变表示应力：用应变表示应力： t t t t t t + + + + + + + - - + + + + + + + + + - - + + + + + + + + + - - + + zxzxyzyzxyxyzzyxzyzyxyxzyxxGGG1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E，上式中上式中： )1(2EG + + 二、例题二、例题 例例9- -5 在一体积较大的钢块上有一直径为在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，的凹座，凹座内放置一直径为凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取取E=200GPa， =0.30。PpPP/AppppMPa153MPa43. 8p321- - - - - - ， 柱内各点的三个主应力为：柱内各点的三个主应力为： 求得：求得： MPa43. 83 . 011020002. 03 . 0153p5 - - - - 0002. 0E153EpEpEEE1122 + + + +- - - - - - 由广义虎克定律：由广义虎克定律： 0002. 055001. 52 - - 在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为- -p，考虑到柱与凹，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变座之间的间隙，可得应变 2的值为：的值为： MPa153)50(410300AP233- - - - - - 解：在柱体横截面上的压应力为：解：在柱体横截面上的压应力为：圆球形薄壁容器，壁厚为圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为，内径为D，承受，承受内压内压p作用。作用。12340pDtNApDDt24pDt4p应力的坐标变换应力的坐标变换应力圆应力圆xyxyt2yx+一、总应变比能一、总应变比能1.有关概念：有关概念： 应变能应变能(变形能变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的 能量。用能量。用U表示；表示；比能比能：单位体积的应变能，用：单位体积的应变能，用u表示；表示； 2.总应变比能：总应变比能：取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，则该单元体所储存的应变能为：则该单元体所储存的应变能为：dxdydz)(21U332211 + + + + 比能：比能： )(21VUu332211 + + + + 代入虎克定律：代入虎克定律： )(2E21u133221232221 + + + + - - + + + + 8-8 8-8 三向应力状态下的变形比能三向应力状态下的变形比能 dy)dxdz(21dz)dxdy(21dx)dydz(21U332211 + + + + 2 1 3 1 2 3dxdydz二、体积改变比能二、体积改变比能uv与形状改变比能与形状改变比能ud1.有关概念：有关概念： 单元体的变形：单元体的变形：体积改变体积改变和和形状改变形状改变。 体积改变比能体积改变比能：与体积改变相对应的那一部分比能，用：与体积改变相对应的那一部分比能，用uv表示；表示； 形状改变比能形状改变比能：与形状改变相对应的那一部分比能，用：与形状改变相对应的那一部分比能，用ud表示；表示； dvuuu+ + 2.uv、ud公式公式体积改变比能：体积改变比能： 23212m2m2m2m2m2m2mv)(E621E2)21(3)(2E21u + + + + - - - - + + + + - - + + + + 3 2 1体积应变只与平均体积应变只与平均正应力有关，则体正应力有关，则体积改变比能只与平积改变比能只与平均正应力有关。均正应力有关。体积改变体积改变 m m m 3 - - m 2- - m 1 - - m形状改变形状改变形状改变比能：形状改变比能： )()()(E61uuu233232221vd - - + + - - + + - - + + - - 一般情况：一般情况： )(6)()()(E61u2zx2yz2xy2xz2zy2yxdt t+ +t t+ +t t+ + - - + + - - + + - - + +
