二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论.doc

【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论.精品文档.西安文理学院数学系本科毕业论文开题报告论文题目二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论毕业年份2010.6系院数学系专业、班级数学与应用数学06级2班学生姓名韩晓莉学号02101060211指导教师胡洪萍一、拟开展研究的价值和意义 二元函数的连续性，偏导数及可微性是数学分析中的一个重要概念，深刻理解并掌握此内容及它们之间的关系有着重要的应用价值。在我们的教材中对于该部分的内容比较粗略，比较浅显，二元函数连续性，偏导数及可微性一直也是数学分析学习中的一个难点，使初学者在学习过程中常遇到一些困难，因此有必要对此部分有关内容进行总结、探讨，对教材内容做一适当的补充和扩展，也对初学者学习数学分析有一定的借鉴作用. 二、研究的步骤方法1.选题定内容：根据自己的能力，结合理论意识和现实意义，选择有现实针对性的内容。2.收集资料：在题目所涉及的领域中广泛收集材料，并将材料分为理论材料和现实材料，对所收集的材料进行分析、比较、筛选。3.确定主要参考书目：从相关的材料中筛选与论文密切相关的参考书目为只要参考文献，再进一步进行精读分析。4.写开题报告和资料综述：在开题报告中确定研究内容的范围和论文提纲。5.撰写论文：完成论文写作一稿，二稿，三稿，在此过程中与指导老师联系，请求相关问题。6.答辩前的准备：对自己的论文和资料进行重新阅读，理清思路，抓住重点，实事求是，谦虚谨慎。7.定稿：论文经导师同意后，定稿打印，对打印格式进行校对。8.答辩。三、论文拟定提纲（一）二元函数的连续、偏导及可微的定义 1. 连续的定义 2.偏导的定义 3.可微的定义（二）二元函数连续性的进一步研究（三）举例说明二元函数偏导数、可微性之间的关系（四）举例说明二元函数可微性、连续性之间的关系（五）举例说明二元函数连续性，偏导数及可微性之间关系四、主要参考文献1 华东师范大学数学系. 数学分析（下）M . 北京: 高等教育出版社，2001: 100 112 2 吉米多维奇. 数学分析习题集M . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-783马振民. 数学分析的方法与技巧选讲M. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.4 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.5 华东师范大学数学系. 数学分析M . 北京: 人民教育出版社, 1981: 137-160.6 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论J. 韶关学院学报（自然科学版）.2002，23（6）: 1-6.7 周良正，王爱国. 偏导数存在，函数连续及可微的关系J. 高等函授学报（自然科学版）.2005，19（5）: 1-4.8 何鹏，余文辉，雷敏敛. 二元函数连续、偏导、可微等诸条件间关系的研究J. 南昌高专学报. 2005，61（6）: 1-2.9 黄梅英. 浅谈二元函数可微性J. 三名师专学报. 2000，17（1）: 1-5.10 龚俊新. 二元函数连续、偏导、可微之间的关系J. 湖北师范学院学报（自然科学版）.2000，20（3）: 1-3.指导教师意见及建议签字： 胡洪萍09年 3 月 10 日系（院）主管主任意见及建议签字（盖章）： 年 月 日 注：此表前4项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题。西安文理学院数学系本科毕业论文进度表论文题目二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论学生姓名韩晓莉专业班级数学与应用数学06级2 班指导教师胡洪萍写作提纲审核指导意见： 论文提纲的内容层次清晰，简明扼要，重点突出，基本符合要求，作者对论文内容的结构框架已基本做到了心中有数，建议：进一步搜集更多的资料，并对搜集的资料整理归类，力争丰富论文内容；能在对资料认真分析、研读的基础，有更多的启发，从而写出自己更多的新观点，使文章更具有创新性。签字：胡洪萍 年月日初稿审核指导意见： 论文涉及的内容对二元函数连续性、偏导数及可微性的认识有一定的指导意义，正文写作思路基本明确，论述比较充分，条理层次清晰。但对于文章的语言不够精炼，个别段落的标题不够恰当，不够准确，文章中的有些衔接语言不够贴切。希望认真阅读论文，纠正类似错误，同时注意第三到第五部分应先写出结论，再给予证明，找出连续与偏导、偏导与可微、连续与可微之间存在的关系。签字：胡洪萍 年月日二稿审核指导意见： 在一稿的基础上有了一定的改进，主要问题多已解决，特别是一稿中第三到第五部分的修改。请注意数学语言的准确性,认真斟酌画红线的句子，将第三部分放到最后，并去掉结束语，注意完善。签字：胡洪萍 年月日三稿审核指导意见：经过前两次的修改，论文的结构已比较完整，各部分基本符合论文的写作规范。希望对文章中的个别错别字，语句不通顺的地方以及标点符号作全面的检查纠正，并且按照西安文理学院数学系学士学位论文格式要求排版，力求版面整齐和谐。 签字：胡洪萍年月日定稿审核指导意见：经过多次的修改，论文的内容及论述观点已科学合理，能重点围绕二元函数连续性、偏导数及可微性展开论述，有一定的自己的观点，文章结构合理，格式规范，内容充实，排版合理。达到了论文题目对内容的要求,论文可以定稿。签字：胡洪萍 年月 日实验方法、技术审核指导意见：在论文的写作过程中，作者能够按照指导教师提供的查找资料途径，合理、有效地利用图书馆、实验室及网络，加强对资料的收集整理与分析。签字： 年 月 日读书笔记或实验记录情况：论文完成期间，作者查阅了大量的相关文献资料，并认真地撰写了近万字的读书笔记。通过读书笔记反映了该同学在论文撰写中进行了充分的准备工作，掌握了较为科学的研究问题的手段和方法。签字：胡洪萍 2009年 5月 31日分类号： 西安文理学院数学系学士学位论文二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论系 院 名 称 数 学 系 指 导 老 师 胡 洪 萍 学 生 姓 名 韩 晓 莉 学 生 学 号 02101060211 专 业、班 级 数学与应用数学06级2班 提 交 时 间 二一年五月二十一 西安文理学院数学系二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论韩晓莉（西安文理学院 数学系，陕西 西安 710065）摘要： 本文对多元函数微分学中连续、偏导数及可微三个概念之间的关系作了较为详细的论述，并给出了简洁全面的证明，同时给出相应的反例加以说明，用实例说明了它们的无关性与在一定条件下所具有的共性.关键词： 二元函数；连续；偏导数；可微多元函数微分学的内容与一元函数微分学的内容大体上是平行的，但在注意多元函数与一元函数的共性的同时，特别要注意多元函数所具有的特性.二元函数的连续性、偏导数及可微性是数学分析中的一个重要概念，在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略，比较浅显，本文就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究，对教材内容做一些适当的补充和扩展，为后继课程的学习奠定基础.1 二元函数连续、偏导、可微的定义定义1 设为定义在点集上的二元函数,(它或者是的聚点，或者是的孤立点).对于任给的正数，总存在相应的正数，只要，就有则称关于集合在点连续，也称在点连续.若在上任何点都关于集合连续，则称为上的连续函数. 定义2 设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量 如果极限存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数.如果函数在区域内每一点处对(或对)的偏导数都存在,那么这个偏导数就是，的函数，称它为函数对自变量（或对）的偏导函数.定义3 设函数在点的某邻域内有定义，对于中的点,若函数在点处的全增量可表示为 , 其中A,B是仅与点有关的常数，是较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微，并称上式中关于，的线性函数AB为函数在点的全微分，记作2 二元函数的连续性 一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数来说，即使它在某点既存在关于的偏导数，又存在关于的偏导数，也未必在点连续.不过，我们却有如下定理：定理1 设函数在点的某邻域内有定义,若作为的一元函数在点=连续,在内有界,则在点连续.证明 任取, 则= (1)由于在存在,故对于取定的, 作为的一元函数在以和+为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在(0 ,1) ,使将它代入(1) 式, 得 = . (2)由于 ,故有界,因而当时, 有0.又据定理的条件知,在=连续,故当时, 又有0.所以, 由(2) 知, 有 = 0.这说明在点连续.推论1 设函数在点的某邻域内有定义，若作为的一元函数在点=连续,在点 连续,则在点连续.证明 由于在点 连续,故必在点的某邻域内有界,因而据定理1 ,在点连续.推论2 设函数在点的某邻域内有定义. 若在有界, 存在,则 在点连续.证明 由于存在,故作为的一元函数在点=连续,因而据定理1 ,在点 连续.推论3 设函数在点的某邻域内有定义，若在点连续, 存在,则在点连续.证明 由于在点连续,故必在点的某邻域内有界. 又由于存在,故作为的一元函数在点=连续,因而据定理1 ,在点连续.同理可证如下的定理2及其推论.定理2 设函数在点的某邻域有定义,在内有界,作为的一元函数在点=连续,则在连续.推论1 设函数在点的某邻域内有定义, 在点连续, 作为的一元函数在点=连续,则在点连续.推论2 设函数在点的某邻域内有定义,在内有界, 存在,则在点 连续.推论3 设函数在点的某邻域有定义, 在点连续, 存在,则在点连续.3 二元函数在点偏导与可微的关系定理3 若二元函数在点可微，则在该点关于每个自变量的偏导数存在且为.证明 如果函数在点可微，的某个邻域，则总成立，当=0，上式仍成立，此时，所以存在，同理可证存在.注意 函数在某点可微，在该点偏导数必存在;但在某点偏导数存在，函数在该点却不一定可微.例1 证明函数=在原点存在两个偏导数但不可微. 证明 由于= =0 =0所以函数在原点两个偏导数存在.下证函数在原点不可微，用反证法，设函数在原点可微，于是 =+=0 =(0+,0+)-(0,0)=特别取=，有=所以=0这说明比不是高阶无穷小，（当时）此与可微的定义矛盾，故函数=在原点不可微.4 二元函数在点可微与连续的关系定理4 若二元函数在其定义域内一点可微，则在该点必然连续.证明 事实上，故在连续.注意 函数在某点可微，则在该点连续;但在某点连续，函数在该点却不一定可微.例2 证明函数=在点连续，但在该点不可微.证明 ,有 =2则>0， ，当<时，有则在连续，即在点连续.又因为不存在 不存在所以在点不存在偏导数，即在该点不可微.5 二元函数在点连续、偏导、可微的关系对于二元函数可微的充分性条件，一般的数学分析教材如华东师范大学编的数学分析是这样叙述的： 若函数的偏导数在点的某邻域内存在，且与在点处连续，则函数在点可微.关于二元函数可微的充分性条件，如果完全放弃对两个偏导数的连续性要求，从另一个条件出发，仍可得到可微的充分条件的另一命题.定理5 若函数在点的邻域G内连续，存在，则函数在点可微.证明 对于邻域G内任意一点，函数有全增量由于一元函数在点的邻域G内满足微分中值定理条件，有（0<<1）已知在点连续，故有又由于存在，故一元函数在可导，于是有从而有而 或 ，于是 即函数在点可微.注意 这个条件是可微的充分条件并非必要条件，即在的邻域G内存在但不连续，但在点也可微.例3 设函数= ，讨论在原点 （1）是否存在 （2）是否连续 （3）是否可微.解 （1）由定义知= =0 所以是否存在.（2）因为当时，偏导数存在，故而不存在，故在原点不连续.（3）因为， 所以在原点可微.对于二元函数在某点的连续性与偏导数存在，两者之间没有必然的联系，即在某点偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.例4 证明函数=（圆锥）在原点的连续性，但偏导数不存在.证明 因为 =0 所以在原点连续. 又因为此极限不存在，因此在原点关于的偏导数不存在，同理可证，在原点关于的偏导数也不存在.例5 证明函数= ，在原点存在偏导数但不连续.证明 由偏导数的定义有 =0 同理可证=0，即在原点关于与的偏导数存在.又因为当动点沿直线而趋于定点时，由于此时所以此结果说明动点沿不同斜率的直线趋于定点时，对应得极限值也不同，故在原点没有极限，从而不连续.以上两例说明在某点偏导数存,在点可以不连续；在某点连续，在点偏导数也可能不存在.即在某点偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.结束语本文以上的讨论说明了函数在某点的连续、偏导数及其在该点是否可微之间的关系，它们虽然没有直接的联系，但当偏导数存在且连续时，其可微性、连续性都存在了.参考文献1 华东师范大学数学系. 数学分析（下）M . 北京: 高等教育出版社，2001: 100 112 2 吉米多维奇. 数学分析习题集M . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-783马振民. 数学分析的方法与技巧选讲M. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.4 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.5 华东师范大学数学系. 数学分析M . 北京: 人民教育出版社, 1981: 137-160.6 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论J. 韶关学院学报（自然科学版）.2002，23（6）: 1-6.7 周良正，王爱国. 偏导数存在，函数连续及可微的关系J. 高等函授学报（自然科学版）.2005，19（5）: 1-4.8 何鹏，余文辉，雷敏敛. 二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究J. 南昌高专学报. 2005，61（6）: 1-2.9 黄梅英. 浅谈二元函数可微性J. 三名师专学报. 2000，17（1）: 1-5.10 龚俊新. 二元函数连续、偏导、可微之间的关系J. 湖北师范学院学报（自然科学版）.2000，20（3）: 1-3.Dual function continuity, partial derivative and differentiability discussionHAN Xiao-li（Department of Mathematics, Xian University of Arts and Science, Xian 710065,China） Abstract：This article to the function of many variables differential calculus in continuously, between the partial derivative and the differentiable three concept's relations has made a more detailed elaboration, and has given the succinct comprehensive proof, simultaneously gives the corresponding counter-example to explain, explained with the example their independency with the general character which has under the controlled condition.Key words： dual function; continuously;partial derivative; differentiable致 谢在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师胡洪萍老师，感谢她的热情关怀和悉心指导。在我撰写论文的过程中，胡老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了胡老师悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是她广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益，在此表示我最真诚地感谢和深深的谢意。再次，感谢本文涉及到的大量学者。本文引用了大量的研究文献，如果没有这些学者的研究成果的启发，我将很难完成论文的写作。最后，感谢我的同学和朋友，他们不但为我提供了很多的论文素材，还在论文的撰写，排版等过程中提出了修改意见和热情的帮助。不可遗漏的是，由于我的水平有限，不足在所难免，恳请各位评审老师提出宝贵意见。 2006级2班韩晓莉2010年5月21日