基于高斯烟羽模型的放射性气体的扩散.doc

【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流基于高斯烟羽模型的放射性气体的扩散.精品文档.关于核电站泄漏放射性气体扩散的预估模型摘要由于核泄漏导致放射性气体扩散对经济和人身造成巨大损失的报道在国内外屡见不鲜，本文中日本福岛核泄漏事件更加使我们认识到对放射性气体扩散进行合理性的预估从而为以后类似于此的突发性事件作积极有效的补救措施的重要性。对于问题一我们运用了点源烟羽扩散模型，用抛物型二阶偏微分方程解出理想状态下的不同时刻、不同地点的浓度表达式：。此模型是建立在以泄漏点为圆心的一个无界球形区域内的。为了使模型更符合实际情况，能够被应用于现实生活中，我们在泄漏源有效高度的确定和考虑地面反射与吸收作用下对此模型进行了修正，最终得到问题一浓度的确定公式(14)的表达式。 对于问题二，我们采用高位连续点源烟羽扩散模式，其扩散服从正态分布，并根据概率论的相关知识通过数学公式推导，得到理想状态下的高斯模型，由泄漏源有效高度，地面反射等因素的影响对其进行修正，又由于重力干沉积，雨洗湿沉积以及核衰变等因素对源强的影响，对高斯烟羽模型再次进行修正，最终得到泄漏源周边浓度变化情况即公式(32)，在风速为m/s的条件下浓度为。对于问题三，我们在第二问建立的模型的基础上，引入时间变量和，和扩散速度变量，在风速和扩散速度的共同影响下，可分别求出上风向和下风向浓度预估模型即公式(40)和(41)。 对于问题四，本文参阅整理大量气象、地理、新闻资料，选择我国东海岸典型地域-山东半岛和美国西海岸典型地域-加利福尼亚州作为研究对象，综合考虑对应海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数等因素，并通过计算机模拟，预测出放射性核物质将经过6天到达我国东海岸，且131I浓度预测值为：0.105,，经过6.8天到达美国西海岸，且氙-133浓度的预测值几乎为零，与实际情况比较吻合。关键词 点源烟羽扩散模式 偏微分方程 P-G曲线 高斯修正模型 仿真一、问题重述现有一座核电站遭遇自然灾害发生泄漏，一种浓度为的放射性气体以速度kg/s排出，在无风情况下以速度m/s匀速向大气四周扩散。问题一：建立一个数学预测模型来描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度。问题二：给出当风速为m/s时核电站周边放射性物质浓度的变化情况。问题三：当风速为m/s时，建立一个放射性气体的预测模型计算出上风和下风公里处的浓度。问题四：利用所建立的模型来计算出福岛核电站的泄漏对我国东海岸，及美国西海岸的影响。二、问题分析对于问题一，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散,的速度为s m/s，建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。对于此问题我们采用放射气体扩散是点源连续扩散模型，首先是在理想的状态下，将环境视作了一个没有边界的空间，建立高斯模型，利用“质量守恒定律”和二阶偏微分方程来描述烟雾浓度的变化规律，求得核电站不同距离、不同时段放射性物质浓度的预估模型。为了更接近实际，我们对高斯模型进行了改进，考虑泄漏源的有效高度，以及地面和海水对放射性气体的反射，使模型更加接近实际情况。对于问题二，在外界环境有风，风速为m/s的情况下,求出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。假设放射性气体在轴的扩散呈正态分布，利用概率和统计的知识，通过数学推导求出高架连续点源烟羽扩散模式的高斯修正模型中的放射性气体物质浓度的变化函数，考虑扩散过程中地面和海水的反射、泄漏源有效高度、干沉积、雨洗湿沉积和放射性物质的衰变，使高斯模型进一步修正。对于问题三，当风速为k m/s时，利用求得的模型，分别求出上风和下风L公里处，时间时，放射性物质浓度的预测模型。采用第二问的结论，求出放射性气体在时间内的初始浓度，再加入时间的变量，得出上风向和下风向的不同位置，不同高度，不同时间的放射性气体的浓度函数。对于问题四，参考互联网上的相关资料。查出当天的天气变化，风速，地理环境，以及福岛核电站爆炸时的相关参考资料。取中国东海岸距离日本最近的山东半岛为例，美国西海岸以加利福尼亚州为例，进行研究。综合考虑对应海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数等因素，预测出放射性核物质对中国东海岸和美国西海岸的影响。三、问题假设1.放射性气体初始泄漏时可看作在空中某一点向四周等强度的瞬时释放，在于风向垂直的三维坐标的两个方向上轴和轴的分布呈正态分布。2.初始时刻放射性气体云团的内部、温度呈均匀分布。3.扩散过程中不考虑云团内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射。4.泄漏气体是理想气体，遵守理想气体状态方程。5.整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变。6.地面对放射性气体不完全反射。7.放射性气体的传播服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比。四、符号的定义和说明(一)符号定义：时刻无穷空间中任一点的烟雾浓度 ：单位时间通过单位法向面积的流量：空间域：的体积：包围的曲面：的外法线向量：扩散系数：在内通过空间域的流量：空间域内放射性气体的增量：核泄漏释放的放射性气体总量：单位强度的点源函数(二)名词解释1.烟羽：从工厂烟囱中连续排放出来的烟体，外形呈羽毛状，因而得名。烟羽可被看作是由无数个时间间隔为无限短暂的、依次排放的烟团所组成；烟团各部分的运动速率不同。 2.热力抬升：排放物初始温度高于大气环境温度所造成的烟云升高。若不计烟气与空气成分而造成的密度差异，温度差便决定了作用于烟云的净浮力。实测资料表明，烟云抬升主要是热力因素的作用。3.地面反射作用下的浓度处理：由于地面的存在，烟羽的扩散是有界的，可以把地面看作一面镜子，对泄漏气体起反射作用，并采用像源法进行处理，任一点的浓度可以看作两部分的贡献之和。一部分是不存在地面时所造成的泄漏物浓度，一部分是由地面反射作用增加的浓度。4.干沉积：在扩散过程中同时有重力沉降的位移迭加到羽流中心线上，中心线就会向下倾斜，所有粒子相当于在下倾的中心线上扩散。5.雨洗作用：降雨对烟羽中的颗粒物及气溶胶具有清洗作用，可溶性气体与蒸汽亦可溶于雨水中，降雨过程造成的这类湿沉积是导致放射性气溶胶和气体向地面沉积的另一重要机制。五、模型的建立和求解第一部分 准备工作1.3月12日22时，世界气象组织和国际原子能机构北京区域环境紧急响应中心(设在中国气象局国家气象中心)综合分析最新气象资料和放射性污染物扩散模式运行结果权威发布：由于我国位于日本国的西部，日本核泄露发生地区近日风向盛行由西向东，其核泄漏放射性污染物未来3天对我国没有影响。2.3月13日本上空为西风，未来仍以偏西风为主，放射性污染物主要向日本东部的北太平洋区域扩散。专家表示，中国位于日本国的西面，中间又有日本海、朝鲜半岛、黄海、东海相隔，因此，在以向北太平洋扩散为主的日本核污染物扩散区域距离中国较远，未来3天内对中国没有影响。3.日本于2011年3月15日下午，世界气象组织和国际原子能机构北京区域环境紧急响应中心分析认为：日本中北部区域在中低层大气中的风向由西南风转为西北风；高空大气主要以偏西风气流为主，近期由于降水发生，有利于核物质沉降，影响范围缩小。未来三天（16日至18日），日本核电站核泄漏产生的放射性污染物主要影响区域为日本中部、北部及其以东的北太平洋区域。4.美国环保署和能源部18日联合发表声明说，美国西海岸已发现可能来自日本的放射性物质，不过剂量“极小”，仅是岩石、砖块和太阳等天然辐射源辐射量的十万分之一。声明说，能源部设在加利福尼亚州萨克拉门托的监测站18日监测到碘、碲以及铯元素的放射性同位素，不过“量极小，对人体健康没有影响”。此外，能源部设在华盛顿州太平洋西北国家实验室的监测器16日、17日监测到“微量”的氙-133，对人体健康也没有影响。5.半岛网3月16日消息日本处于青岛的东北方向，根据中央气象台分析，未来三天日本中北部区域中低空风向由西南风转，西北风，高空以偏西风气流为主，预计主要影响区域为日本本州岛的福岛核电站附近地区，以及日本以东的北太平洋区域。根据最新气象资料分析，未来一周青岛市1000米以上高空盛行偏西风，近地面16日至19日南风4到5级，19日夜间到23日持续受冷空气影响，北风5到6级阵风7级，海上6到7级阵风8级。 第二部分 问题一的模型(一) 放射性气体浓度的变化规律图1 模型的理想化图形将核泄漏时刻记作，爆炸点选为坐标原点，时刻无穷空间中任一点的气体浓度记为。根据假设7，单位时间通过单位法向面积的流量为: (1)其中是扩散系数，表示梯度，负号表示由浓度高向浓度低的地方扩散。考察空间域，的体积为，包围的曲面为，的外法线向量为，则在内通过的流量为： (2)而内放射性气体的增量为： (3)由质量守恒定律可知： (4)然后根据曲面积分的奥式公式可以得到： (5)其中是散度记号。由(1)-(5)式再利用积分中值定理不难求得下式： (6)这是无界区域的抛物型偏微分方程。根据假设1，初始条件为作用在坐标原点的点源函数，能够将其记作： (7)其中即为核泄漏释放的放射性气体总量，式单位强度的点源函数。在(7)的约束条件下可以解得方程(6)的解为： (8)这个结果表明，对于任何时刻放射性气体浓度的等值面是以初始时刻释放点为球心的无限球面上，并且随着球面半径的增加的值是连续减少的。放射性气体在大气中的扩散是服从一定的物理规律的，但是仅从这些规律得到的结果是不能解释实际生活中放射性气体真正的扩散过程，也不能够得到任意时刻、任意地点放射性气体的浓度。也就是说上述模型仅仅是一个最理想化的浓度预估模型，因为我们将环境视作了一个没有边界的空间，且气体的内部浓度与温度是恒定不变的和不受风力的影响，没有考虑在气体初始释放时释放点本身的高度和喷射时的热力抬升作用，也没考虑在释放过程中环境本身对它的吸收作用。为了使模型具有一定的准确性和实际的应用意义，我们针对“泄漏源的有效高度”和“地面对其的反射和吸收”来对此模型进行修正。(二)从“泄漏源的有效高度”对上述理想模型进行修正(烟云抬升高度的计算)图2 有效源高示意图以上式中的泄漏源有效高度是指泄漏气体形成的气云基本上变成水平形状的时候气云中心的离地高度。实际上，泄漏源有效高度就等于泄漏源几何高度加泄漏烟云抬升高度。 影响烟云抬升高度的因素有很多，主要包括：泄漏气体的初始速度和方向、初始温度、泄漏口直径、环境风速及环境温度及大气稳定度。有效源高： (9)其中，为泄漏源几何架高，为烟云抬升高度。的求解如下：20世纪70年代末、80年代初，Wilson根据管道破裂泄漏实验所得的实验公式如式()。实验时气体的喷射方向与风速垂直并且气体喷射路径上无障碍物。实验表明，泄漏源抬升高度可以用下面公式近似计算： (10)其中，是气云释放速度，单位为；是泄露出口直径，单位为，为环境风速，单位为。在此基础上对其(8)式进行修正： （11）(三)考虑“地面反射”作用下模型的进一步改进考虑到地面会对扩散来放射性气团有一定的反射作用，同时扩散的核素粒子受沉降等作用，核扩散物质又不可能被全部反射回去，因而核辐射物质只能是部分反射回大气，为了便于描述和模拟，设地面反射系数为。这样进入大气的核辐射物质可以看成是两个部分：一是从泄漏源直接扩散到空间A点；二是从地面反射进入空间A点（见图3）。.图3 高架核泄漏连续点源的地面反射图从几何物理学分析可知，通过地面反射进入大气的核扩散物质相当于虚拟泄漏源泄露的核辐射物质在原来空间的一个浓度叠加。如果所设核泄漏点源在距有效地面的高度为的地方，本文求空间任一点的浓度值，则实际泄漏源对点的影响部分为： （12）在考虑反射系数后，虚泄漏源对点的影响部分为：（13）结合 (9)-(13)式所得模型可以修正为： （14）第三部分 问题二的模型(一)模型的建立图4 过程中烟雾浓度的正态分布型扩散图由正态分布假设(如图4) 可以导出下风向任意一点处泄露气体浓度的函数为： (15)由概率论可以写出方差的表达式：， (16)由能量守恒得： (17)将（15）式带入（16）式积分得：， (18)将（15）式和（18）式带入（17）式，积分可得： (19)将（18）式（19）式带入（15）式可得： (20)我们采用高位连续点源烟羽扩散模式，高位源既考虑地面的影响，又考虑到高出地面一定高度的排放源。地面对污染物的影响很复杂，如果地面对污染物部分吸收，则(15)式仍使用于地面以上的大气，但地面对放射性物质存在一定的反射作用，采用用“像源法”处理此种影响，把p点污染物浓度看成两部分作用之和。相当于位置（0,0,h）的实源和位置（0,0,-h）的像源在不存在地面时，p点产生的浓度之和。由于存在放射性物质的沉积消耗，故不可能完全反射，存在一个地面反射系数(如图4)。图5 像源法原理示意图其中，实源的贡献： (21)像源的贡献： (22)则该处的实际浓度为： (23)由以上条件公式可得到高斯修正模型公式为：(24)其中：为横向米，纵向米，地面上方米 的扩散气体浓度，单位为；为源强（即源释放速率），单位为；为平均风速，单位为；为水平扩散参数，单位为；为垂直扩散参数，单位为；为泄漏源有效高度，单位为；为横向距离，为垂直距离，单位都为。利用标准的高斯模型计算大气中放射性气体的扩散，已有较多的研究，而实际的放射性气体扩散还存在着例子的重力沉降，雨洗沉积等众多因素对浓度分布的影响，因此有必要对高斯浓度进行修正，才能真实的反应实际规律。1.干沉积的影响 直径大于10m的粒子有明显的重力沉降，粒子的沉降速度取决于空气阻力和重力平衡，可用斯托克公式表示： (25)其中：为粒子密度，单位； 为重力加速度，取9.8； 为粒子直径，单位为； 为沉降速度，单位为，(含碘的的放射性气体的干沉积速度=1.1，该数据有式(13)计算得到)根据扩散理论和动量传递的普朗克理论，可以导出干沉积的地面沉积量为： (26)其中：为地面放射性污染物的浓度为干沉积速度，单位为地面干沉积率，单位2.雨洗湿沉积的影响降雨对烟羽中的颗粒物及气溶胶具有清洗作用，可溶性气体与蒸汽亦可溶于雨水中，降雨过程造成的这类沉积是导致放射性气溶胶和气体向地面沉积的另一重要机制。通常以冲洗系数描述降雨对烟羽中污染物清洗作用的大小。与雨强的关系表达式为： (27)其中：为雨强()； ,为经验系数。式中，按放射性物质含碘，不含碘情况取值，对含碘的放射性物质，取，；对于不含碘情况，取，对于湿沉积导致的烟羽消耗，采用湿沉积消耗因子对源强进行修正： (28)3.放射性衰变影响 除了干沉积，湿沉积外，放射性物质的衰变也是影响大气中放射性气体浓度分布的主要因素，由于放射性物质服从简单的衰变规律，其浓度随时间的变化可由下式计算： (29)其中：为初始浓度(由无衰变时计算得出)； 为衰变常数； 为经过的时间；对于衰变导致的烟羽消耗，用衰变消耗因子对源强进行修正： (30)其中：为放射性气体的半衰期。在以上因素都考虑的情况下可得修正后的源强为： (31)综合以上可得到高架连续点源烟羽扩散模式的高斯修正模型为： (32)如：式中令，即可得到地面浓度的计算式： (33)令，即可得到地面轴线方向浓度的计算式： (34)4.参数的确定在模型中，参数的选取及确定非常重要，通常情况下气象参数的选取时利用该地区多年气象资料，采取工业安全与环保统计的方法进行有关参数的确定，而其他扩散参数是以实际测定为基础的。扩散系数，的大小与大气湍流结构，离地高度，地面粗糙度，泄漏持续时间，抽样时间间隔，风速，以及离开泄漏源的距离等因素有关。按照Pasquill的分类方法，随着气象条件稳定性的增加，大气稳定度可以分为A,B,C,D,E,F六类。其中A表示气象条件最不稳定，F表示气象条件中等稳定。根据P-G曲线法，首先确定释放源所在地的经度和纬度以及泄露的日期和时间计算当时的太阳高度角，然后有太阳高度角和云量查出太阳辐射等级；最后再根据地面风速确定当时的太阳稳定度。天空云层的情况日照角<60度日照角<60度且>35度日照角<35度且>15度天空云量为4/8或高空有薄云强中等弱天空云量为5/8-7/8，云层高度为2134-4877m中等弱弱天空云量为5/8-7/8，或云层高度<2134m弱弱弱表1日照强度的确定表2 Pasquill大气稳定度确定表3 扩散系数的计算方法第四部分 问题三的模型根据第二问的结论，加入时间变量和，当源强一定，烟羽完全通过P点这一时间内、在P点所产生的浓度如下： (35)当释放持续时间为时,烟羽长度近似等于，因此烟羽完全通过P点所花的时间为对于从释放开始到某一时刻t，烟羽在P点作用的时间为，此时P点处的时间积分浓度为： (36) 由(35)式和(36)式相除可得： (37)放射性气体匀速在大气中向四周扩散速度为s m/s，当风速为k m/s，下风向时，放射性气体的扩散速度是以上二者速度的矢量和，轴的指向为正方向，为，所以下风向情况下的放射性气体的浓度为： (38)上风向时，也是大气中向四周扩散速度和风速的矢量和，轴的指向为正方向，即为，则上风向的放射性气体的扩散浓度为： (39)通过以上两式可求得，令，高度为，时间为的情况下，当风速为k m/s时，求出上风和下风L公里处的浓度分别为和，即为： (40) (41)第五部分 模型的应用依据第一部分资料整合中所提供的气象报告情况将其整理为所需的有关数据，在结合问题二、问题三给出的模型的条件下，选择我国东海岸-山东半岛和美国西海岸-加利福尼亚州作为研究对象，综合考虑对应海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数等因素，并通过计算机仿真模拟(模拟源代码见附录)，预测出放射性核物质将经过6天到达我国东海岸，且131I浓度值为：0.105与，将经过6.8天到达美国西海岸，且氙-133浓度的预测值几乎为零，与实际情况比较吻合。六、模型的优缺点分析(一)模型的优点分析该模型在最初时利用假设将问题简化，首先建立了理想化模型，然后在依次考虑现实生活中可能对其产生影响的因素进而对模型进行修正和改进，最终得到具有一定实际意义的关于危险气体泄露的浓度预估模型，因而可以对它进行合理的推广和应用。另外，本模型是在高斯模型的基础上进一步改进为适应本题的模型，具有可行性高，结果较为符合实际的优点。在模型四中，对于预测出浓度的变化和对我国的影响也较为合理，故该模型具有可靠性和参考性，可以进行推广和其它方面的应用。该结果在核事故的应急救援过程中，对救援人员划定警戒区和确定周围居民的疏散范围具有重要意义，并可为制定救援方案和应急决策提供科学依据。(二) 模型的缺点由于扩散是一个非常复杂，影响因素众多的过程，本文中只考虑了热力抬升、核衰变等五个方面对模型的修正，难免有遗漏之处，故而上述方法还具有一定的局限性，还有待进一步的验证，另外，在针对本题时我们只考虑了浓度的计算，并未能进一步讨论对人类以及环境的具体影响，在此方面模型还需进一步改进。由于在前三问中均无具体的数据，只是理论的计算，故对于结果的验证存在一定的麻烦。七、模型的改进和推广(一)模型的改进1.本文中只考虑了以点源散开的球形扩散方式，其实在现实生活中必然存在不同的几何模型来描述确切的事故，故应该对常见的箱型、圆柱形等散开方式作进一步的探讨。2.本文中的放射性气体中存在的放射性元素导致其密度要大于空气，但实际生活中的污染气体可能存在密度小于或与大气相当的有毒、有害气体，应对其进行分类讨论。3.对影响放射性气体的因素中应该更为详细，例如标准划分的十二个的风向问题、大气的水平运动和垂直运动、水平面存在的气压梯度力、地球自身的自转、地面存在的一定摩擦力、高度而造成的风速不同、地面地形等对扩散而造成地方与时刻浓度不一致的影响。(二)模型的推广1.计算核事故中不同的放射性气体在连续点源和瞬时点源的情况下在不同气象、地形条件下的浓度分布。2.适用于管道中有毒气体的泄露，工厂里烟囱中污染气体的排放，重气运输中所造成的不慎泄露以及爆炸中以点源散开之后周边环境中浓度的变化和预估情况。八、参考文献1陈东彦 李冬梅 王树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007。2姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，。3董臻圃，数学建模方法与实践，北京：国防工业出版社，。4放射性物质在大气中的行为，5气体扩散浓度计算模型介绍，6高斯烟羽模型，7中国新闻网， 8半岛新闻网，附录问题三在上下风向L公里的浓度求解源代码(在计算我国东海岸和美国西海岸放射性气体的浓度时只需相关数据代入即可)/#include<stdio.h>#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define e 2.718281828459 #define PI 3.1415926void qiuxy(char wending ,double x,double &dy,double &dz)/确定dy，dz switch(wending) case 'A': dy=0.22*x/(sqrt(1+0.0001*x), dz=0.2*x; break; case 'B': dy=0.16*x/(sqrt(1+0.0001*x), dz=0.12*x; break; case 'C': dy=0.11*x/(sqrt(1+0.0001*x), dz=0.08*x/(sqrt(1+0.0002*x); break; case 'D': dy=0.08*x/(sqrt(1+0.0001*x), dz=0.06*x/(sqrt(1+0.0015*x); break; case 'E': dy=0.06*x/(sqrt(1+0.0001*x), dz=0.03*x/(1+0.0003*x); break; case 'F': dy=0.04*x/(sqrt(1+0.0001*x), dz=0.016*x/(1+0.0003*x); break;/源强的确定（干沉积，湿沉积，衰变的影响） double yuanqiang() double A,a1,b1,I,Q1,Q2,Q,x,k,T;A=a1*pow(I,b1); Q1=Q*pow(e,-(A*x)/k);Q2=Q*pow(e,-(0.693*x)/(3600*T*k);Q=Q*Q1*Q2;return Q;void main() double C1,C2,x,z,t,p0,H,dx,dy,dz,a,s,k,I,T,L; double a1,b1, A;char daqi;cout<<"请按以下格式输入："<<endl;cout<<"下风口L处坐标（米）："<<endl;cin>>L;cout<<"地点的纵坐标（米）："<<endl; cout<<"0 "<<endl; cout<<"地点的铅直坐标（米）："<<endl;cin>>z;cout<<"到达时间（秒）："<<endl;cin>>t;cout<<"地面反射系数："<<endl;cin>>a; cout<<"放射性气体扩散速度（m/s）："<<endl;cin>>s;cout<<"风速（m/s）："<<endl;cin>>k; cout<<"雨水强度（毫米/小时）："<<endl;cin>>I;cout<<"核物质衰变周期（天）："<<endl; cin>>T; /cout<<"初始浓度（千克/立方米）："<<endl;/cin>>p0;cout<<"有效高度（米）："<<endl;cin>>H;cout<<"大气稳定度等级："<<endl;cin>>daqi;cout<<"雨洗沉积a、b的经验系数："<<endl;cin>>a1;cin>>b1;qiuxy(daqi,L,dy,dz); C1=(yuanqiang()*(t-L/(k+s)/(2*PI*dy*dz)*(1+a)*pow(e,-0.5*pow(H,2)/pow(dz,2); cout<<"下风口L处放射性物质浓度="<<C1<<endl; C2=(yuanqiang()*(t-L/(k-s)/(2*PI*dy*dz)*(1+a)*pow(e,-0.5*pow(H,2)/pow(dz,2); cout<<"上风口-L处放射性物质浓度="<<C2<<endl;