107一阶常系数差分方程.ppt
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解二、二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 第七节一阶常系数线性差分方程第七节一阶常系数线性差分方程三、小结 一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 1 2 .21次线性差分方程次线性差分方程所对应的一阶常系数齐所对应的一阶常系数齐为为注：注：)0(01为常数为常数 aayyxx)(1xfayyxx )00( xfa为常数，为常数，一一 、一阶常系数齐次线性差分方程的求解一阶常系数齐次线性差分方程的求解迭迭代代法法. 1)0(01为常数为常数 aayyxx 1）依依次次可可得得，为为已已知知，由由方方程程（设设10y01ayy 0212yaayy 0323yaayy .100 xxxxCaYCyyay 通通解解为为）的的方方程程（为为任任意意常常数数，于于是是差差分分满满足足差差分分方方程程，令令容容易易验验证证，01yaayyxxx (1),nnyay由于nny设是其解，则,nnya则0,annC a故Y为其通解.特征根法.0211的通解的通解求求例例 xxyy解解21 a.21xxCY 差分方程的通解为差分方程的通解为.203201的特解的特解满足满足求求例例 yyyxx解解；差分方程的通解为差分方程的通解为xxCY 310y31yx1x 原原方方程程可可改改写写为为220 Cy，得，得代入代入.312xxY 所求差分方程的特解为所求差分方程的特解为二、二、 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解一阶常系数非齐次线性差分方程的求解.xxYy分分方方程程的的通通解解另另一一项项是是对对应应的的齐齐次次差差，解解一一项项是是该该方方程程的的一一个个特特的的和和组组成成：差差分分方方程程的的通通解解由由两两项项一一阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性 .2 xxxyYy）的通解为）的通解为即差分方程（即差分方程（ 2)(1xfayyxx )00( xfa为常数，为常数，即即可可求求出出特特解解求求出出待待定定系系数数程程然然后后将将它它们们代代入入差差分分方方相相同同的的形形式式与与假假定定待待定定的的特特解解待待定定系系数数法法,.)(xfyx .较为方便较为方便解解采用待定系数法求其特采用待定系数法求其特时，时，是某些特殊形式的函数是某些特殊形式的函数当右端当右端 xyxf:的的求求法法下下面面讨讨论论特特解解 xy 型型xpxfn )( 为为方方程程 2 xpayynxx 1 xpyaynxx 1即即是它的解，代入上式得是它的解，代入上式得设设 xy xpyaynxx 1 .1 次次多多项项式式是是次次多多项项式式，是是且且也也应应该该是是多多项项式式，是是多多项项式式，因因此此由由于于 nynyyxpxxxn1.(1)nnnnxbxbxbxQy 110)(令令1a (2) nnnnxbxbxbxxxQy 110)(令令1a 综上讨论综上讨论，设设)(xQxynkx 1110aak解解.32321的的通通解解求求差差分分方方程程例例xyyxx 对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxCY2 ，设设特特解解CBxAxy2x 代入方程代入方程, 得得963 CBA，9632 xxyx于于是是原方程通解为原方程通解为. 96322 xxCyxx例例 4 4 求差分方程求差分方程37, 3501 yyyxx的特解的特解 解解,543xxCy 方方程程的的通通解解为为12374337370 Cy代入，则代入，则将将.4351237 xxy故故方方程程的的特特解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxCY5 ，设设Ayx 代入方程代入方程, 得得，43 A.235231的的通通解解求求差差分分方方程程例例xxxyyxx 型型xpxfnx )(2. xxxzy 作变换作变换代入方程得代入方程得 为为方方程程 2 xpayynxxx 1 xpzaznxxxxx 11 xpazznxxx 1 ，即即得得消消去去1类型类型. xxxzy 于是于是例例 6 6 求差分方程求差分方程xxxyy21 的的通通解解 ，于是于是xxy231 .1231xxxCy 所所求求通通解解为为解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解 xxCY1 ，原方程化为，原方程化为设设xxxzy 2121 xxzz，求求得得其其特特解解为为31 xz解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxaCY ，原方程化为，原方程化为设设xxxzy 2121 xxazz.271的的通通解解求求例例xxxayy 2121 xxzaz即即时时即即当当2a 12a )1( ；特解特解xzx21 时时即即当当2a12a )2( ；特解特解azx 21；于是于是 22212221aaaxyxxx.22212221 aaCaaxCayxxxxx即通解即通解三、小结)0(01为常数为常数 aayyxx.xxCaY 1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解一阶常系数齐次线性差分方程求通解（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）写出通解）写出通解. 2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解一阶常系数非齐次线性差分方程求通解.)(1 xxxxxyYyxfayy通解为通解为 型型xpxfn )(1.，设设)(xQxynkx 1110aak(1)nnnnxbxbxbxQy 110)(令令1a (2) nnnnxbxbxbxxxQy 110)(令令1a 特别地特别地 ,型型Kxf )( 1 ,1 ,1aKxaaKyx设设 型型xpxfnx )(2. axQxaxQynxnxx ),( ),(设设特别地特别地 ,型型xKxf )( aKxaaKyxxx , ,1设设
