大一高等数学极限存在准则两个重要极限学习教案.pptx
一、一、 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系(gun x)及及夹逼准则夹逼准则1. 函数极限与数列(shli)极限的关系定理(dngl)1. Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定义,),(0nxxnAxfnn)(lim为确定起见 , 仅讨论的情形.0 xx 有)(nxfxnx第1页/共17页第一页，共18页。定理定理(dngl)1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义(dngy), )(0nxxn且设,)(lim0Axfxx即,0,0当,00时xx有.)( Axf:nx)(,0nnxfxx 有定义(dngy) , 且, )(0nxxn对上述 ,Nn 时, 有,00 xxn于是当Nn 时.)( Axfn故Axfnn)(lim可用反证法证明. (略).)(limAxfnn有证：当 xyA,N“ ”“ ”0 xO第2页/共17页第二页，共18页。定理定理(dngl)1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义(dngy), )(0nxxn且.)(limAxfnn有说明: 此定理常用于判断函数(hnsh)极限不存在 .法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx第3页/共17页第三页，共18页。例例1. 证明证明(zhngmng)xx1sinlim0不存在(cnzi) .证: 取两个(lin )趋于 0 的数列21nxn及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn第4页/共17页第四页，共18页。2. 函数极限存在函数极限存在(cnzi)的的夹逼准则夹逼准则定理(dngl)2.,),(0时当xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且( 利用定理(dngl)1及数列的夹逼准则可证 )第5页/共17页第五页，共18页。1sincosxxx圆扇形(shn xn)AOB的面积二、二、 两个重要两个重要(zhngyo)极限极限 1sinlim. 10 xxx证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然(xinrn)有AOB 的面积AOD的面积xxxcos1sin1故有注 OBAx1DC第6页/共17页第六页，共18页。注注当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx第7页/共17页第七页，共18页。例例2. 求求.tanlim0 xxx解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例3. 求.arcsinlim0 xxx解: 令,arcsinxt 则,sintx 因此(ync)原式tttsinlim0 1lim0tttsin1第8页/共17页第八页，共18页。20sinlimx2x2x21nnnR2cossinlimRn例例4. 求求.cos1lim20 xxx解: 原式 =2220sin2limxxx212121例5. 已知圆内接正 n 边形面积(min j)为证明(zhngmng): .lim2RAnn证: nnAlimnnnnRnA2cossin2 R说明(shumng): 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx第9页/共17页第九页，共18页。2.e)1(lim1xxx证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnnee)1(lim1xxx(P5354)第10页/共17页第十页，共18页。当x, ) 1( tx则,t从而(cng r)有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故e)1 (lim1xxx说明(shumng): 此极限也可写为e)1 (lim10zzz时, 令第11页/共17页第十一页，共18页。例例6. 求求.)1 (lim1xxx解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明(shumng) ：若利用, e)1 (lim)()(1)(xxx则 原式111e)1 (limxxx第12页/共17页第十二页，共18页。limx例例7. 求求.)cos(sinlim11xxxx解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1第13页/共17页第十三页，共18页。的不同(b tn)数列内容内容(nirng)小结小结1. 函数(hnsh)极限与数列极限关系的应用(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则法1 找一个数列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法2 找两个趋于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .函数极限存在的夹逼准则第14页/共17页第十四页，共18页。2. 两个两个(lin )重要极限重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e)1(lim10注: 代表相同的表达式第15页/共17页第十五页，共18页。思考思考(sko)与练习与练习填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e 作业作业(zuy) P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)第七节 第16页/共17页第十六页，共18页。感谢您的观看(gunkn)！第17页/共17页第十七页，共18页。NoImage内容(nirng)总结一、 函数极限(jxin)与数列极限(jxin)的关系及夹逼准则。一、 函数极限(jxin)与数列极限(jxin)的关系及夹逼准则。1. 函数极限(jxin)与数列极限(jxin)的关系。为确定起见 , 仅讨论。对上述 ,。第2页/共17页。说明: 此定理常用于判断函数极限(jxin)不存在 .。法1 找一个数列。法2 找两个趋于。证: 取两个趋于 0 的数列。第4页/共17页。( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )。证: 当。例4. 求。解: 原式 =。说明: 此极限(jxin)也可写为第十八页，共18页。
