复变函数教学资料23学习教案.ppt
对于(duy)概率密度，由定义容易推得以下两条性质(xngzh)： 是连续函数，它完全由概率密度 所)(xF)(xf决定，在 的连续点处有)(xf).()(xfxF （1）;, 0)(xxf （2）. 1)(dxxf 反过来，假如有非负可积函数 满足：)(xg第1页/共22页第一页，共23页。量的概率密度。 则 一定可作为某连续型随机变, 1)(dxxg)(xg 利用以上关系可以推得随机变量 落入X某有限区间 内的概率为,(ba)()()(aXPbXPbXaPabdxxfaFbF)()()( 类似可得 取值落入 内的概率X),( xxdttfxFxXP)()(1)(第2页/共22页第二页，共23页。积。应当(yngdng)强调的是，连续型随机变量取某特定值的概率(gil)为0， 由定积分的几何意义可知， 取值落入X区间 内的概率即是以 轴上的区间x,(ba,(ba为底，以曲线 为顶的曲边梯形的面)(xfy 0)(lim)(0 xxxxdttfxXP从而)()(bXaPbXaP)()(bXaPbXaP第3页/共22页第三页，共23页。分布(fnb)函数为：遍布 区间，并且取每一点的可能性是相,ba 例例1 1（均匀分布） 如果随机变量 取值X同的，则称 服从 区间上的均匀分布，,baX记为 其概率密度为.,baUX., 0,1)(bxaxbxaabxf., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF第4页/共22页第四页，共23页。密度(md)为指数分布。 例例2 2（指数分布） 若随机变量 的概率X. 0, 0, 0,)(xxexfx其中 为大于0的常数，则称 服从参数 的X 显然 且, 0)(xf1|)(00 xxedxedxxf第5页/共22页第五页，共23页。 解 （1）由指数分布的定义(dngy)可得 范围(fnwi)内。所以 是一概率密度。)(xf 例例3 3 变量 服从参数为 的指数分布X015. 0 （1）试计算 取值大于 的概率100X （2）若要求 ，问 应在什么1 . 0)( xXPx)100(1)100(XPXP1000015. 0100015. 01)(1dxedxxfx第6页/共22页第六页，共23页。 指数分布经常被用来近似描述各种( zhn)“寿命”到的时刻(shk)，随机服务系统中的服务时间等都电话问题(wnt)中的通话时间，传呼台首次传呼来分布，如无线电元件的寿命，动物的寿命，常假定是服从指数分布的。223. 0015. 05 . 1100015. 0edxex （2）若要求 即, 1 . 0)( xXP, 1 . 0015. 0015. 0 xtdte积分有 得, 1 . 0015. 0 xe5 .153x第7页/共22页第七页，共23页。 指数分布有类似(li s)于几何分布的“无记忆又风趣的称指数分布是永远(yngyun)年轻的。性” 。对于任意的, 0, 0tststseeesXPtsXPsXtsXP)()()()|(活 年的概率与已经活过的年龄无关，所以t即 假如把 理解),()|(tXPsXtsXPX为人的寿命，则上式表明已活了 年之后再s第8页/共22页第八页，共23页。度为 例例4 4（分布）若随机变量 的概率密X,x,x,ex()xfx000)(1其中 则称 服从参,)(, 0, 001dxexxX数为 和 的 分布，记为).,(X 显然， ，而且 0)(xf1)(1)()(0101dyeydxexdxxfyx第9页/共22页第九页，共23页。计算中经常(jngchng)用到，在数理统计中也有重要应 用。密度(md)为分布是指数分布。 分布在水文统计的概率其中用到变换 。特别地，当 时，xy1 例例5 5（正态分布）若随机变量 的概率 X,21)(222)(xexfx第10页/共22页第十页，共23页。 的正态分布，记为2),(2NX其中 为常数 。称 服从参数为 和 ,0X 显然，对任一 且, 0)(),(xfxdyedxeIyx22)(2222121其中用到变换xy12121200222222 rdrdedxdyeIryx第11页/共22页第十一页，共23页。格单调递减(djin)，函数的最起来(q li)像钟的形状，所以 为一概率密度函数，其图像关于)(xf 对称， 时严格单调递增， 时严xxx大值是 ， 越大图21像越扁平， 越小图像越向 集中，图像看x0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -3-2-101234第12页/共22页第十二页，共23页。 正态分布是我们(w men)日常生活中应用最广泛如果某随机变量的取值充满某空间(kngjin)，而且取的一种(y zhn)连续型变量的概率分布。一般来讲，在偏中间的值多，偏两头的值少，大都近似不大，则这个指标近似服从正态分布。实际指标的随机因素很多，而每个因素的作用都服从正态分布的，一般地，若影响某一数量中遇到的很多的概率分布都可用正态分布来第13页/共22页第十三页，共23页。近似。另一方面，正态分布具有(jyu)许多良好的上，正态分布都是十分(shfn)重要的。性质。因此无论是在理论(lln)研究还是应用研究 特别地，当 时，对应的正态分1, 0布称为标准正态分布，记为 相应的概率) 1 , 0(N密度和分布函数分别用 和 表示)(x)(x,21)(22xex,21)(22xtdtex,x第14页/共22页第十四页，共23页。两函数(hnsh)的图形如图2-3 所示 标准正态分布分布函数 的性质：)(x （1）21)0( （2）,Rx)(1)(xx4 . 0)(xx)(x0 . 1x第15页/共22页第十五页，共23页。 这是由于(yuy),(1)(1)()()(xdssdssdttxxxx其中用到变换 . st 若 那么 事实上),(2NXN(0,1)-XY)yP(Xy-XPy-2t-y-2)-(x-dte21dxe21222第16页/共22页第十六页，共23页。那么(n me)其中用到变换 为 的分布函数，.-xt)(xFX).(-XPx)P(XF(x)xx一般地， 则),(2NX,)(abbXaP.9973. 01) 3(2) 3() 3()3(XP上式表明 取值落入区间 的概率)3,3(X第17页/共22页第十七页，共23页。 解解高达 称为 法则%,73.993 例例6 6 设 计算（1）),36,10( NX);2(XP（2）;41 XP)6102(1)2(1)2(XPXP（1）.9772. 0)2()2(1（2）第18页/共22页第十八页，共23页。分布(fnb)，计算：61036105)53()41(XPXP 6131651613651883. 065613 例例7 7 假设某种电池寿命（单位： ）为h一随机变量。它服从参数为 和 的正态300235第19页/共22页第十九页，共23页。 (1)这种电池寿命在 小时以上的概率。250 (2)确定数字 ，使电池寿命落在区间x 内的概率不低于 。 xx300,300%90 解解 (1)设电池的寿命为 则X)35,300(2NX)250(1)250(XPXP7101353002501;9236. 0)710(第20页/共22页第二十页，共23页。利用分布(fnb)函数的单调不减性，查表可得 (2)%,90)300300(xXxP%903530030035300300 xx%,903535xx, 1%90352x,095.35x,645. 135x. 5 .57x第21页/共22页第二十一页，共23页。感谢您的观看(gunkn)！第22页/共22页第二十二页，共23页。NoImage内容(nirng)总结对于(duy)概率密度，由定义容易推得以下两。利用以上关系可以推得随机变量 落入。由定积分的几何意义可知， 取值落入。解 （1）由指数分布的定义可得。到的时刻，随机服务系统中的服务时间等都。为人的寿命，则上式表明已活了 年之后再。例4（分布）若随机变量 的概率密。计算中经常用到，在数理统计中也有重要应。如果某随机变量的取值充满某空间，而且取。指标的随机因素很多，而每个因素的作用都。感谢您的观看第二十三页，共23页。
