湘教永州市高考数学二轮复习数列数列通项与数列中的不等式学习教案.pptx
会计学1湘教永州市高考数学湘教永州市高考数学(shxu)二轮复习数二轮复习数列数列通项与数列中的不等式列数列通项与数列中的不等式第一页，共22页。第1页/共22页第二页，共22页。1.不完全(wnqun)归纳法归纳通项.2.数学归纳法证明与自然数n有有关的命题:第一步:验证(ynzhng)初始状态,即“n=n0时命题成立”;第二步:假设推理,即“假设n=k(kn0)时命题成立，由此出发，推得n=k+1时命题也成立”.3.均值不等式：21, 0aaa4.放缩法：注意(zh y)放缩的度，不能太小或太大，实当即可.5.函数的单调性.第2页/共22页第三页，共22页。.21111111:, 2, 1,3)2(;,2) 1 (, 3 , 2 , 1, 1)22.02( 1211432121nnnnnnnaaananaaaaaannaaaa证明有证明对所有时当一个通项公式的并由此猜想出求时当满足设数列理全国年例第3页/共22页第四页，共22页。解解:(1) 由a1=2,an+1=an2-nan+1得:a1=2, a2=3, a3=4, a4=5, 由此猜想(cixing)an=n+1 (n1).(2) 用数学(shxu)归纳法证明:)当n=1时,a13=1+2,不等式成立(chngl).)假设当n=k时, 不等式成立,即akk+2,那么ak+1=ak(ak-k)+1(k+2)(k+2-K)+1 k+3,也就是说,当n=k+1时,ak+1(k+1)+2.由)和)得,对于所有n1,有an n+2.第4页/共22页第五页，共22页。1)1(1) 1(11121naaanaannnnn121)1() 1(11nnanna1221) 12( 2222nnaa1) 1(212222112211aannnn) 1(2111),1(211111aaaannnn即naaa11111121第5页/共22页第六页，共22页。21)21(2121)21(141211)21(111)1(21)1(2111111111nnnnaaaa说明说明(shum(shumng):ng): 在证明(2)中的时,注意到分母(fnm)的特点,利用(2)中的结果“对于所有n1,有an n+2”,就能得到an-1 n+1;1)1(1) 1(11121naaanaannnnn在. 1,121)1() 1(111naannannn缩小变成了对括号中的的放缩变换中仅第6页/共22页第七页，共22页。.23:,3,2,1,2)(;)(,3,2,1,3223134)22.06(2111niinnnnnnnnTnSTaanaSna证明设与通项求首项项和的前设数列理年例.2,3223134)(111111aaSa得由解解：得由naSnnn3 , 2 , 1,32231341得由naSnnn4, 3 ,2,322313411第7页/共22页第八页，共22页。)2312(31)(34111nnnnnnnaaSSa得因此整理得),2(4211nnnnaa,4, 4121的等比数列公比为是首项为aannnnnnnnaa24,4421得代入将annn24)()12)(12(3232231)24(3411nnnnnnS)121121(23) 12)(12(223211nnnnnnnnST第8页/共22页第九页，共22页。nniiniiTTTTT21:. 4的意义注意说明说明(shu(shumng)mng): :1.数列(shli)an中第n项an,前n项和Sn,前n-1项和Sn-1之间的关系an=Sn-Sn-1在求通项公式中经常用到.2.具有递推公式an=man-1+krn形式数列通项公的解法是要化成一个(y )等比数列来求解(见第二轮复习数列-)121121) 12)(12(2. 311nnnnn灵活运用23)121121(23)121121(23111iniiininT第9页/共22页第十页，共22页。.,23)2(;) 1 (., 4 , 3 , 2,23),1 , 0().21.07(3111为正整数其中证明设的通项公式求的首项设数列理年例nbbaabanaaaannnnnnnnn解解：)1 (211:, 4 , 3 , 2,23) 1 (11nnnnaanaa得由1111)21)(1 (1,)21)(1 (1nnnnaaaa即,21,111的等比数列公比为是首项为而aan第10页/共22页第十一页，共22页。()分析1:“作差法”是比较大小的基本方法，从已知条件(tiojin)看到，bn由an的平方根给出，故可用bn与 bn+1平方差的正负来比较bn 与bn+1的大小., 0)21)(1 (1, 10111nnaaa,0nb)23()23(2121221nnnnnnaaaabb.23na且证明证明(zhngmng)1:)23()2323()23(22nnnnaaaa.0)1(492nnaa第11页/共22页第十二页，共22页。,1nnbb分析分析2:均值不等式是证明不等式的基本均值不等式是证明不等式的基本(jbn)工工具具.由由:23231得及nnnnnaaaab因此,2323111nnnnnaaaab.)23()23(,2323,221的大小即可与即只需比较的大与只需比较的大小与要比较nnnnnnnnnnaaaaaaaabb第12页/共22页第十三页，共22页。证明证明(zhngmng)1:,1,230)1(nnaa知由:23231得及由nnnnnaaaab22)23(2)23()23(,1nnnnnnaaaaaa 时nnnnnnnnaaaaaaaa23)23(,)23()23(22即nnnnnaaaab2323111,1nnbb第13页/共22页第十四页，共22页。.:.ln),1 ,()(; 1:)(;)1 ,0()(:)().(, 10,ln)()22.08.(41111111bababakabaaxfafaaaxxxxfknnnnn证明整数设证明是增函数在区间函数证明满足数列设函数全国年例()证明证明(zhngmng):xxxxxfln)1(ln1)(/,0ln,)1 ,0(xx时当.)1 ,0()(上是增函数在区间xf第14页/共22页第十五页，共22页。()证明证明(zhngmng):（用数学(shxu)归纳法证明）（i）当n=1时,0a11,a1lna1a1, 由函数(hnsh)f(x)在区间(0,1) 上是增函数(hnsh),且f(x)在x=1处连续,则函数(hnsh)f(x)在区间(0,1 上是增函数(hnsh), a2=f(a1)=a1-a1lna1a1(1-lna1),即a1a21.（）假设当 x=k,(kN*)时,akak+1成立,即0a1akak+11那么当n=k+1时，由f(x)在区间(0,1是增函数, 0a1akak+11得ak+1ak+21,也就是说当n=k+1时,anan+11也成立.根据（）、（）可得对任意的正整数n, anan+11恒成立.第15页/共22页第十六页，共22页。()证明证明(zhngmng):可得由)(.ln)(1nnafaxxxxfkkkkkkkkkaaaaaaaaalnlnln1111否则知则由满足若,:)(,. 11baabakiiki存存在在某某bak1. 0lnlnln11baaaaaiii, 0lnln,)( 10),(. 21bakibaakibaiii知则由若, 0)ln(ln11bakaakiiibababakaak)(|ln|11111于是kiiiaaa11lnbabakln11而已知第16页/共22页第十七页，共22页。评析评析:1.在()的证明(zhngmng)中,要注意当0a1a2-lna20.2.在()的证明(zhngmng)中,要注意第二步的由ak到ak+1递推的推理特点.3.在()的证明中,要注意(zh y)“循环叠代方法”的运用,也就是:.lnlnlnln111111中的变形过程kiiikkkkkkkkkaabaaaaabaaababa4.在()的证明中,要注意“放缩变换放缩变换”的灵活运用. 如由. |ln|ln|ln11111111aakaaaaaaaakiiikiiik:0lnlnln11推出baaaaaiii第17页/共22页第十八页，共22页。三、小结三、小结(xioji)1.证明与自然数n有关(yugun)的命题时常选用“数学归纳法”；. “作差法”是证明不等式的首选(shu xun)方法；. “放缩法”是证明不等式的一种重要方法；. 具有递推关系的数列不等式，“循环叠代法”能使问题逐步达到明朗；. 研究透已知条件和待证目标，进行有目的的变形，是证题的关键中的关键；. 函数的单调性和相关性质是进行放缩变形的一大工具；. 不等式的性质在证题中要灵活运用。有时绝对值的性质在证题时也会起到重要作用（如例的第（）问）。第18页/共22页第十九页，共22页。.,)(;3)(.3,.)2008(1*111的取值范围求若的通项公式求数列设已知项和为前设数列题理aNnaabSbSaaaSnannnnnnnnnnn四、作业四、作业(zuy)., 3 , 2, 1,2:., 3 , 2, 1,3343, 2,)2(;)1 (., 3 , 2, 1),2)(12(, 2)2207.(2341111nabnbbbbbanaaaannnnnnnnnnn证明中若数列的通项公式求中已知数列题理第19页/共22页第二十页，共22页。六、结束六、结束(jish)第20页/共22页第二十一页，共22页。第21页/共22页第二十二页，共22页。
