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海淀区高三数学年级第二学期期中练习 （理科） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题共40分）注意事项 ：1答卷前将学校、班级、姓名填写清楚.2选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）的值等于 （ ）（A）1 （B）i （C） （D）（2）若是ABC所在的平面内的一点，且满足，则ABC一定是（ ） （A）等边三角形 （B）斜三角形 （C）等腰直角三角形 （D）直角三角形（3）若函数的定义域为Mx|2x2，值域为 Ny|0y2,则函数的图象可能是 （ ） 2 2 2 2 -2 -2 2 -2 2 -2 2（A） （B） （C） （D）（4）若集合，集合，则“”是“”的 （ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）已知圆上任一点，其坐标均使得不等式0恒成立，则实数的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） (D) （6） 2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组.如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有 （ ） （A）36种 （B）108种 （C）216种 （D）432种 （7）直线l过抛物线的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A在x轴上方，若直线l的倾斜角, 则|FA|的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） （D） (8) 定义在R上的函数满足为的导函数，已知函数的图象如右图所示.若两正数满足，则的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） （D） 海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（理科） 2008.04第II卷（共110分）注意事项 ：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2答卷前将密封线内的项目填写清楚.题号一二三总分（15）（16）（17）（18）（19）（20）分数二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）若双曲线的一条渐近线方程为，则=_.（10）若，且，则 .（11）在北纬60°圈上有A，B两地，它们在此纬度圈上的弧长等于(是地球的半径)，则A，B两地的球面距离为_.（12）若向量a，b满足：=， 且|a|=2，|b|=4，则a与b的夹角等于 .（13）已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么 ；函数，的值域为_.（14）数列满足：，则= ；若有一个形如的通项公式，其中A, B, ,均为实数，且，则此通项公式可以为= （写出一个即可）. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.（15）（本小题共12分）已知在ABC中，且与是方程的两个根. （）求的值; （）若AB，求BC的长. （16）（本小题共13分）袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球（）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差.（17）（本小题共14分）如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，.，点在棱上，且（）求证：平面平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小（18）（本小题共14分） 设数列的前项和为，已知（）求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；（）求；（）是否存在自然数，使得? 若存在，求的值；若不存在，说明理由. （19）（本小题共13分）已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且 的面积为定值2（I）求线段中点的轨迹的方程；（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程（20）（本小题共14分）一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”（I）判断，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；（III）若函数， 是“保三角形函数”，求的最大值（可以利用公式）海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（理科） 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案CDBAA CDC 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9） （10） 7 （11） （12） （13）（14）2，（）（注意：答案不唯一，如写成即可）三、解答题（本大题共6小题,共80分.）（15）（共12分）解：（）由所给条件，方程的两根. 2分 4分 6分 () , . 由（）知， 为三角形的内角， 8分 ，为三角形的内角， 10分由正弦定理得： 11分 . 12分（16）（共13分）解：（）记 “摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，摸出一球得白球的概率为，摸出一球得黑球的概率为， 4分P（A）×× 5分答：两球颜色不同的概率是（）由题知可取0，1，2， 6分依题意得 ， 9分则， 11分 13分答： 摸出白球个数的期望和方差分别是，.（17）（共14分）证明：（）PA底面ABCD，又ABBC，平面 2分又平面，平面平面 4分（）PA底面ABCD，AC为PC在平面ABCD内的射影又PCAD ACAD 5分在梯形中，由ABBC，AB=BC，得，又ACAD，故为等腰直角三角形连接，交于点，则 7分在中， 又PD平面EAC，EM平面EAC，PD平面EAC 9分（）在等腰直角中，取中点，连结，则平面平面，且平面平面=，在平面内，过作直线于，连结，由于是在平面内的射影，故就是二面角ACEP的平面角 12分在中，设，则，由，可知：， 代入解得：在中， 13分即二面角ACEP的大小为 14分解法二：（）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系设，则，. 5分设，则，解得：连结，交于点， 则. 7分 在中，又PD平面EAC，EM平面EAC，PD平面EAC 9分（）设为平面的一个法向量，则，解得：， 11分设为平面的一个法向量，则，又，解得：， 12分 13分二面角ACEP的大小为 14分（18）（共14分）解：（）当时， 2分 得. 3分 数列是以为首项，4为公差的等差数列. 4分 5分. 6分（） = 8分=. 10分（）由得： ， 11分. 13分令，得，所以，存在满足条件的自然数. 14分（19）（共13分）解：（I）由题可设，其中.则 1分的面积为定值2， . 2分，消去，得： 4分由于，所以点的轨迹方程为（） 5分（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为由消去得：， 6分设点、的横坐标分别是、，由得 8分解之得： . 9分由消去得：，由消去得：，. 10分由于为的三等分点，. 11分解之得. 12分经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为. 13分（20）（共14分）解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数” 1分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，由于，所以是“保三角形函数”. 3分对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数” 4分（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长故不是“保三角形函数” 8分（III）的最大值为 9分一方面，若，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”. 11分另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（1）， 此时，同理，故，同理可证其余两式.可作为某个三角形的三边长（2） 此时，可得如下两种情况： 时，由于，所以，.由在上的单调性可得 ；时，同样，由在上的单调性可得 ；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长故时，是“保三角形函数”综上，的最大值为 14分海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文科） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题共40分）注意事项 ：1答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。2选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设集合则=（ ）（A） （B） （C） （D）（2）某工厂存有A、B、C三种不同型号的产品, 这三种产品数量之比为2 : 3 : 5 , 现用分层抽样方法从中抽出一个容量为n的样本进行检验, 该样本中A种型号产品有8件, 那么此样本的容量n是（ ）（A）12 （B）16 （C）20 （D）40（3）“”是“”的 ( )（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）若是所在平面内的一点，且满足，则一定是（ ）(A)等边三角形 (B)等腰直角三角形 (C)直角三角形 (D)斜三角形（5）若函数的定义域为Mx|2x2，值域为 Ny|0y2,则函数的图象可能是 （ ） 2 2 2 2 -2 -2 2 -2 2 -2 2（A） （B） （C） （D）（6）函数是 （ ）（A）周期为的偶函数 （B）周期为的奇函数 （C）周期为2的偶函数 （D）周期为2的奇函数 （7）2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤. 某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲、乙两列列车不在同一小组.如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有 （ ） （A）36种 （B）108种 （C）216种 （D）432种（8）已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为 （ ） （A）3 （B） （C） （D）2海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（文科） 2008.04第II卷（共110分）注意事项 ：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号一二三总分（15）（16）（17）（18）（19）（20）分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.（9）双曲线的一条渐近线方程为，则=_.（10）当时，函数的最小值为_.（11）棱长为的正方体外接球的表面积是_. （12）若，且，则 （13）若变量和满足条件则的最小值为 ；的取值范围是 .（14）数列中，则= ；若有一个形如的通项公式，其中均为实数，且,则此通项公式为= （要求写出的数值） . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.（15）（本小题共12分）已知在中，且与是方程的两个根. ()求的值； ()若，求的长.（16）（本小题共12分） 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.（）从袋中任意取出两个球，求两球颜色不同的概率；（）从袋中任意取出一个球，记住颜色后放回袋中，再任意取出一个球，求两次取出的球颜色不同的概率.（17）（本小题共14分） 如图，在直三棱柱中，点是的中点.（I）求与所成的角的大小；（II）求证：平面；（III）求二面角的大小.（18）（本小题共14分）已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切点（1，3）.（I）求函数的解析式；（II）求函数的递增区间；（III）求函数在区间上的最大值和最小值.（19）（本小题共14分）若数列的前项和为，且（I）求；（II）求证：数列是常数列；（III）求证：.（20）（本小题共14分）已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，右焦点为，右准线与轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于两点， 点和点在上，且轴.(I) 求椭圆的方程及离心率；(II)当时，求直线的方程； （III）求证：直线经过线段的中点.海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案CDBCBA CD二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）(9) (10) 3 (11) (12) 7 (13) 5， (14) 2，三.解答题 （本大题共6小题,共80分）(15) （共12分）解：() 由所给条件，方程的两根. 2分 4分 6分 () , . 由()知，为三角形内角. 8分 且为三角形内角. . 10分 由正弦定理, 11分得. 12分 (16) （共12分）解： （）记 “从袋中任意取出两个球，两球颜色不同”为事件， 1分取出两个球共有方法种， 2分其中“两球一白一黑”有种 4分 6分答：从袋中任意取出两个球，两球颜色不同的概率是.（）记 “取出一球，放回后再取出一个球，两次取出的球颜色不同”为事件， 7分取出一球为白球的概率为， 9分取出一球为黑球的概率为， 10分P（B）. 12分 答：取出一球，放回后再取出一个球，两次取出的球颜色不同的概率是.(17) （共14分）法一：（I）在直三棱柱中,/. 是与所成的角. 2分 在中， . 3分 与所成角为. 4分（II）取中点，连结，是的中点，则. 平面，平面. 则是在平面内的射影. 6分,. 7分同理可证. 8分又，平面. 9分（III）取中点，连结， 10分,则为二面角的平面角. 12分在中，则 13分=. 14分即二面角的大小为. 法二：（I）同法一.（II）建立空间直角坐标系，如图， 则， （. 6分则，. 8分，且.平面. 9分（III）,平面.是平面的法向量. 11分由（II）可知是平面的法向量. 13分即二面角的大小为 14分（18）（共14分）解：（I）切点为（1，3），得. 1分，得. 2分则.由得. 3分. 4分(II) 由得，令，解得或. 6分函数的增区间为，. 8分（III），令得，. 10分列出关系如下：00递减极小值递增2 12分当时，的最大值为，最小值为. 14分（19）（共14分）解：（I）， . . 2分 同理可得. 3分（II）,. 4分两式相减得： 5分变形得： 则： 6分 . 数列是常数列. 9分（III）由（II）可知：. 数列是以2为首项，以2为公比的等比数列.， 10分. 12分. 14分 (20)(共14分)解：（I）设椭圆方程为：由得 . 1分又，解得. 椭圆方程为：. 3分离心率. 4分（II）由（I）知点坐标为（1，0），又直线的斜率存在，设的斜率为,则的方程为. 5分由得 （*） 6分设，则是（*）方程两根，且，. 轴，且，即，解得.直线的方程为或. 8分（III）点，中点的坐标为. 当轴时，那么此时的中点为，即经过线段的中点. 9分 当不垂直轴时，则直线斜率存在,设直线的方程为,