第六章简单的超静定问题.doc
【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第六章简单的超静定问题.精品文档.第六章 简单的超静定问题知识要点1 超静定问题的概念（1） 静定问题结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。（2） 超静定问题结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。（3） 超静定次数未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。（4） 多余约束力超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。（5） 多余未知力与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。（6） 基本静定系在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。2 静不定问题的解题步骤（1） 静力平衡条件利用静力学平衡条件，列出平衡方程。（2） 变形相容条件根据结构或杆间变形后应保持连续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关系列出变形间的关系方程。（3） 物理关系应用胡克定律列出力与变形间的关系方程。（4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。 习题详解6-1 试作题6-1图（a）所示等直杆的轴力图。解 解除题6-1图（a）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b）所示。由静力学平衡条件和变形协调条件并将代入式，可得联立式，解得轴力如图6-1图（c）所示6-2 题6-2图（a）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为。试求各杆的轴力。解 这是一个超静定问题，铰链A的受力图，如题6-2图（c）所示。利用静力学平衡条件列平衡方程变形的几何关系如题6-2图（b）所示,变形协调条件为应用胡克定律，三杆的变形为代入，得补充方程联立式，解得各杆的轴力分别为6-3 一刚性板有四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如 题6-3图（a）所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。解 这是一个超静定问题，对题6-3图（b）所示刚性板的受力图列静力学平衡方程由6-3图（b）所示变形几何关系，并注意到，得应用胡克定律，得四根柱的变形代入，得补充方程联立式，解得各柱的内力分别为6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等，横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如题6-4图（a）所示。如已知F=50kN,两根钢杆的横截面面积A=1000，试求两杆的轴力和应力。解 这是一个超静定问题，解除题6-4图（a）所示结构 D，F处的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-4图（b）。其静力学平衡方程为变形协调条件为 =2应用胡克定律，可得两杆的变形代入式，得补充方程联立式，解得两杆的内力分别为两杆的应力分别为6-5题6-5图（a）所示刚性梁受均布荷载作用，梁在A端铰支，在B点和C点由两根钢杆B D和CE支承。已知钢杆B D和CE的横截面面积，钢的许用应力=170，试求该钢杆的强度。 解 这是一个超静定问题，解除梁AB在C，B处的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-5图（b）所示。其静力学平衡条件为变形协调条件为应用胡克定律，得代入式，得补充方程联立式，解得各杆的内力分别为各杆的应力分别为故钢杆安全6-6 试求题6-6图（a）所示结构的许可荷载。已知杆AD,CE,BF的横截面面积均为A ，杆材料的许用应力为，梁AB可视为刚体。解 这是一个超静定问题，受力图如题6-6图（b）所示。其静力学平衡条件为变形协调条件为应用胡克定律，可得各杆的伸长代入式，得补充方程联立式，解得各杆的内力分别为由杆1或杆2的强度条件得由杆3的强度条件得比较和，所以结构的许可荷载为6-7 横截面为250mm250mm的短木柱，用四根40 mm40 mm5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如题6-7图（a）所示。已知角钢的许用应力=160，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。解 查文献1中型钢表，可得40 mm40 mm5mm的等边角钢的截面面积。受力图如题6-7图（b）所示。这是一次超静定问题。其静力学平衡条件为木柱与角钢的变形协调条件为由胡克定律确定角钢和木柱的变形代入式，得联立式，解得角钢和木柱承受的轴力由角钢的强度条件得由木柱的强度条件 得 比较以上所得的两种许可荷载，选用6-8 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由角支座C支撑，如题6-8图（a）所示。由于制造误差，杆1的长度少量了。已知两杆的材料和横截面面积均相等，且。试求装配后两杆的应力。解 这是个装配应力问题。受力如题6-8图（b）所示其静力学平衡条件为装配后的变形几何关系如题6-8图（c）所示，其变形协条件为应用胡克定律确定杆1和杆2的变形代入式，得补充方程联立式，并注意到可得各杆的内力分别为所以各杆的应力分别为6-9 题6-9图（a）所示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离。已知上，下两段杆的横截面面积分别为600和300，材料的弹性模量。试作题6-9图（a）所示荷载作用下杆的轴力图。解 这是一个超静定问题，受力图如题6-9图（b）所示。其静力学平衡条件为变形协调条件为应用胡克定律，确定各杆段的变形并代入式，得补充方程解得联立式，作轴力图，如题6-9图（c）所示6-10 两端固定的阶梯状杆如题6-10图（a）所示。已知AC段和BD的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆材料的弹性模量为，线膨胀系数 。试求当温度升高30 后，该杆各部分产生的应力。 解 阶梯状杆的受力图，如题6-10图（b）所示。静力学平衡条件为 变形协调方程为应用胡克定律，确定杆各段的变形连同温度变形一并代入式，得补充方程联立式，解得所以各段杆内的应力分别为6-11 题6-11图（a）所示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩。若，试求固定端的支反力偶矩，并作扭矩图。解 阶梯轴的受力图，如题6-11图（b）所示，其静力学平衡条件为 因端面A和B均被固定，所以端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同，即端面 A和B相对截面C的扭转角分别为解式，可得固定端的支反力偶矩扭矩图如题6-11图（c）所示。6-12 题6-12图（a）所示为一两端固定的钢圆轴，其直径d=60mm。轴在截面C 处承受一外力偶矩 =3.8kN.m。已知钢的切变模量G=80GPa。试求截面C两侧横截面上的最大切应力和截面C的扭转角。解 圆轴的受力图，如题6-12图（b）所示，其静力学平衡条件为 因端面A和B为固定，所以端面A相对截面C与端面B相对截面C的扭转角相同，即并且有联立式，解得所以截面C左侧圆轴横截面上的最大剪应力所以截面C右侧圆轴横截面上的最大剪应力截面C的扭转角6-13 空心圆管A套在实心圆杆B的一段，如题6-13图（a）所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶 。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知杆A和杆B的极惯性矩分别为，两杆的材料相同，其切变模量为G。解 先对实心圆杆B施加一外力偶矩并使其截面C相对截面E转过角，当套A和杆B上的孔对准重合后，装上销钉，然后去除外力偶矩，这时杆B产生回弹，并带动套A的截面C相对截面D转过一个角，杆B回弹后，其截面C相对截面E的实际转角为，并且有达到平衡状态时的受力图如题6-13图（b）所示，其静力学平衡条件为将代入式与式联立，可解得6-14 题6-14图（a）所示圆截面杆AC的直径A端固定，在截面B处承受外力偶矩，截面C的上，下两点处与直径均为的圆杆EF,HG都为二力杆,当杆AC发生扭转变形时,E,G两点的角位移相同，所以杆EF,HG的轴向伸长量相等，由可知，。杆AC的静力学平衡条件为变形协调条件为将代入式，得解式，得代入式，得所以最大剪应力产生在圆杆的AB段6-15 试求题6-15图（a），（b），（c）所示。 解 （a）题6-15图（a）所示,这是个一次超静定问题，静定基如题6-15图（）所示,因B处是支座，所以点B的垂直位移为零，即利用文献1中附录IV所提供的梁挠度公式，可得解上式，得 （b）题6-15图（b）所示，这是个一次超静定问题，静定基如题6-15图（）所示,因B处是支座，所以点B的垂直位移为零，即利用文献1中附录IV所提供的梁挠度公式，可得解上式，得（c）题6-15图（c）所示，这是个一次超静定问题，这是个二次超静定问题，因结构和荷载均为对称，所以有故可转化为一次超静定问题，静定基如题6-15图（）所示，因B处是固定端，所以点B的垂直位移为零，即利用文献1中附录IV所提供的梁挠度公式，可得解上式，得6-16 如题6-16图（a）所示何载F作用在梁AB 及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为解 将题6-16图（a）所示二梁从连接处拆开为二个独立的悬臂梁，如题6-16图（b）所示。由于梁AB 和CD在连接处的垂直位移相同，所以有 利用文献1中附录IV所提供的梁挠度公式，可得解上式，并注意到，得6-17 梁AB因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC加固，如题6-17图（a）所示。试求：（1） 二梁接触处的压力（2） 加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度减小的百分数。解 将题6-17图（a）所示二梁从C处拆开，分为二个独立的悬臂梁，如题6-17图（b）所示。由于二梁接触处的垂直位移相同，所以有利用文献1中附录IV所提供的梁挠度公式，可得解上式，并注意到，得二梁接触处的压力加固前梁AB的最大弯矩和B点的挠度分别为加固后梁AB的最大弯矩和B点的挠度分别为所以加固后，梁AB在B点的挠度减小39%，最大弯矩减少50%。6-18 题6-18图（a）所示结构中梁AB和梁CD尺寸及材料均相同，已知EI为常量.试绘出梁CD的剪力图和弯矩图。解 拆去刚性杆EF,将梁AB和CD分成两个独立的剪支梁，如题6-18图（b）所示。由于点E，F通过刚性杆绞结在一起，故该两杆的垂直位移相同，即利用文献1中附录IV所提供的梁挠度公式，可得解上式，得作梁CD的受力图，如题6-18图（c）所示。依据梁CD的受力图，作剪力图，弯矩图，如题6-18图（d）所示.6-19 在一直线上打入n个半径为r的圆桩,桩的间距为l，将厚度为的平刚板按题题6-19图（a）所示 方式插入圆柱之间，钢板的弹性模量为E，试求钢板内产生的最大弯曲正应力。 解 人去一段钢板为研究对象，其力学模型如题6-19图（b）所示。解除B，D两端约束并代之以支座反力后，其受力图如题6-19图（c）所示，由静力学平衡条件可得支座反力在固定端处，梁截面的转角为零，即利用文献1中附录IV所提供的梁挠度公式，可得解上式，得截面c的挠度可查文献1中附录IV所提供的梁挠度公式，可得解上式,得所以钢板内的最大弯矩产生在钢板与圆柱接触处，其大小为最大弯曲正应力6-20 题6-20图（a）所示，直梁ABC在承受荷载前搁置在支座A和支座C上，梁与支座B间有一间隙。当加上均布荷载后，梁在中 点处与支座B接触，因而三个支座都产生约束力。为使这三个约束力相等，试求其值。 解 解除题6-20图（a）所示梁的约束，代之以支座反力，其受力图，如题6-20图（b）所示，因要求支座A，B，C三处约束力相等，所以有因变形后，B处的垂直位移为，故有利用文献1中附录IV所提供的梁挠度公式，可得解上式，得6-21 题6-21图（a）所示，梁AB两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度时，是确定梁的约束反力。 解 这是个二次超静定问题，解除题6-21图（a）所示梁的约束，代之以支座反力，其受力图，如题6-21图（b）所示，截面A的转角为一，截面B的转角为0，则变形协调方程为查文献1中附录IV所提供的梁挠度公式，代入式，得对题6-21图（b）列静力学平衡方程联立式，解得梁的约束反力6-22 梁AB的左端固定而右端铰支如6-22图（a）所示。梁的横截面高为h。设梁在安装后其顶面温度为，而底面温度为，设，且沿截面高度h呈线性变化。梁的弯曲刚度为EI，材料的线膨胀系数为。试求梁的约束反力。解 这是个一次超静定问题，静定基如题6-22图（b）所示。由于B处有支座，所以截面B的垂直位移为0，故变形协调方程为利用文献1中附录IV所提供的梁挠度公式可得力产生的B点处铅锤位移为由温度引起的B点处铅锤位移为将式，代入式，解得
