向量的内积.ppt

第四章 向量的内积与二次型,4.1 向量的内积 4.2 正交向量组与正交矩阵 4.3 实对称矩阵4.4 二次型,第一节 向量的内积,4.1.1 向量的内积4.1.2 向量的模4.1.3 两个向量的夹角4.1.4 两个向量的距离,一、向量的内积,例,对应分量乘积的和,向量内积与矩阵乘法的联系,运算规律,注意：结合律的使用要小心。,例如：,则,二、向量的模,性质,（1） 非负性,（2） 齐次性,（3） 三角不等式,定理1,定理2,三、两个向量的夹角,规定非零的n维向量,与,的夹角为,由于,故,四、两个向量的距离,规定n维向量,与,的距离为,例,设,求,解,第二节 正交向量组与正交矩阵,4.2.1 正交向量组4.2.2 正交矩阵,一、 正交向量,垂直的概念的推广,零向量与任意同维向量都正交,若,例,三个向量,找出它们之间相互正交,的关系。,解,=0,=0,=196,可见 与 正交，,与,正交，,与,不正交。,命题1,证明,注：此命题是勾股定理的推广,二、正交向量组,如果n维向量组,中的向量两两正交,就称该向量组为正交向量组，简称正交组。,例如,是正交向两组,正交组,命题2,如果矩阵A的列向量构成正交组，则 是对角矩阵,证明,满足,注：此命题的逆命题也成立。,命题3,如果方阵 的列向量构成正交组，且不含零向量，则A可逆，且,证明：,三、标准正交组,如果一个正交向量组全部由单位向量组成，就称其为标准正交向量组，简称标准正交组,可以验证，,是标准正交组。,是标准正交组，称为基本向量组,命题4,如果矩阵A的列向量构成标准正交组，则,说明：实际上，这是命题2的推论。,定义,例,解,命题1,证明,命题2,证明,定理1,是正交向量组，且向量组,与,如果令：,则,是与,等价的标准正交向量组。,从线性无关组,导出正交向量组,的过程称为施密特（Schmidt）正交化,过程。,三、向量组Schmidt正交化过程,设向量组,线性无关，可以通过以下方法,化为等价的正交向量组 ，称为Schmidt正交化过程。,再标准化,例,把向量组S正交化,解,练一练,把向量组标准正交化,