向量组与矩阵的秩.ppt

2.2 向量组与矩阵的秩,1.极大线性无关组,设有向量组T，如果在T中能选出 个向量,满足,(1)向量组,线性无关，,(2)向量组T中任意,个（如果有的话）,都线性相关，则称,是向量组T的,一个极大线性无关组,向量组中任一向量都可由极大无关组线性表示。,数r称为向量组T的秩。,例如：向量组,线性相关， 线性无关。,向量组 是向量组 的一个极大无关组。,向量组 也是向量组 的一个极大无关组。,可见，一个向量组的极大无关组可以不是惟一的。,向量组的秩,向量组 的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩。记作,如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即 ，则向量组 线性相关。,如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即 ，则向量组 线性无关。,性质2.5 (1)若向量组A可由向量组B线性表示，则r(A)<=r(B). (2) 等价向量组的秩相同.,2. 矩阵的子式,定义,是A的一个三阶子式，它A由的第2，4，6行与第1，5，7列交叉处的元素所构成。,矩阵的秩的概念,矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作 R(A) 或 r(A)。,显然，如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，所有高于 r 阶的子式都为零。,例如,因为,所以,如果 A 为 mn 矩阵，则 R(A) min (m,n)。特别当 R(A)=m 时，称矩阵 A 为行满秩；当 R(A)=n 时，称矩阵 A 为列满秩；当 R(A)=m=n 时，称矩阵 A 为满秩矩阵。,例,求矩阵的秩,解,B是个阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知B的所有4阶子式全为零。,而以三个非零行的第一个非零元为对角元的3阶行列式,因此R（B）=3,利用矩阵的初等变换求矩阵的秩,矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质。所以有：,定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,例 求矩阵的秩,解 将矩阵作初等变换,所以 R(A)=3,行阶梯形 矩阵,课堂练习：,利用矩阵的初等变换求下列矩阵的秩,答案：,问题：矩阵 B 中是否所有的三阶子式都不为零？,求矩阵A的秩,例1 判别下列向量组的线性相关性,解 令,因为,例2 判别下列向量组的线性相关性,解：令,因为,练习：判定下列向量组的线性相关性,要计算一个向量组的秩，只需把按行或按列摆成矩阵，然后用初等变换求秩就是。,问题： 如何求得一个向量组的秩的同时，又能求得该向量 组的一个最大无关组？,根据： 如果只对一个矩阵的行作初等变换，则矩阵的列向量组（及其任意部分组）的相关性不会改变。,办法： 只需以该向量组为列摆成一个矩阵，再用行的初等 变换化简该矩阵就是。,例3 求下列向量组的一个极大无关组,解法1：构造矩阵,因为,而 B 中第一、二、四列的向量是线性无关的，,故 A 中第一、二、四列的向量是线性无关的，,由于初等行变换不改变列向量组对应的相关性,求向量组,的秩和一个最大线性无关组, 其它向量用此最大无关组线性表示。,例3 求下列向量组的一个极大无关组,解法2：作矩阵,例 求下列向量组的一个极大无关组,解法1：. . . . . .,又,练习 求向量组的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。,解 构成矩阵，令,于是，,是它的一个极大无关组。,且,作 业,预习 线性方程组解的结构 非线性方程组解的结构,