第三章 线性方程组.ppt

§3.2 柯西积分定理与原函数,一、柯西定理及其推论,1825年柯西证明了解析函数的积分与路径无关。,定理3.2 （Cauchy定理）,设 f (z)在单连通域E内解,析,C为E内任一简单闭曲线，,则,证明：,令,则,的偏导数在E,内连续，并适合CR条件：,所以由格林公式得,即,定理3.3,如果函数 f (z)在单连通域E内解析，,那么,只与起点与终点有关，,而与,C的路径无关。,例1,设C是正向圆周,则以下积分都等于0。,(1),(2),(3),二、原函数与不定积分,若在E内固定点,一个单值函数，,记为：,定理3.4,设 f (z)在单连通域E内解析，,点,且,C为,在E内解析，,证,因 f (z)在E内解析，,由定理2 ，,F (z) 与路径无关，,从而P (x , y)与Q (x , y)路径无关，,所以P (x , y)与,Q (x , y)在E内可微，,并且有,从而有,所以 F (z)为解析函数，,且,f (z)的任两个原函数只相差一个常数。,若函数 f (z)在区域D内解析，,f (z)在D内的一个原函数，,原函数与不定积分,定义3.2,设函数 f (z)在区域D内连续，,若D内的函,在D内的一个原函数，,的不定积分。,f (z)的全体原函数称为 f (z),定理3.5,是,则,为 f (z) 的一个原函数,令,得,令,得,证明：,例2 计算下列积分,解：,1）,2）,三、复合闭路定理（柯西定理的推广）,复合闭路c,区域D内一条正向,限条互不包含互不相交的负,即有,定理3.6 （复合闭路定理）,如果 f (z)在多连通域,D内解析，,复合闭路,所围成的区域全包含于D中，,那么,即,证明：,如图所示：,互不相交，,且全在D内的,辅助割线,连接,形成一个以,的单连通区域，,f (z)在该区域内解析，从而,为边界,注意到沿,与沿,的积分相抵消，,即得,作n条,例3,闭路变形公式,形域中解析，,则有,解：,使c1包含,于c内，,由复合闭路定理得：,例4,其中c为内部包含 z =0,和z=1的任何正向简单闭曲线。,解：,如图所示，,在c内分别作以,z=0和z=1为圆心互不相,交、互包含的正向圆周,和,则由复合闭路定理有,设D是以光滑曲线C为边界的单连通区域(也可为一般区域，此时，C是多条光滑或按段光滑的曲线组成，其正向按区域边界的正向约定取)，函数P(x,y)和Q(x,y)在D及C上连续并且具有对x和y的连续偏导数，则有：,格林(Green)公式,