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北京科技大学数学大作业物理组当前位置：文档视界北京科技大学数学大作业物理组北京科技大学数学大作业物理组一、应用题目及背景单摆是质点振动系统的一种，是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度且不能伸长的轻杆质量可忽略不计上，把质块拉离平衡位置，放手后质块往复振动，此即轻杆单摆的振动问题。当轻杆和过悬点铅垂线所成角度小于10°时，可视为质点的振动周期T只和当地的重力加速度g有关，而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。假如振动的角度大于10°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。如摆球的尺寸相当大，轻杆的质量不能忽略，就成为复摆物理摆，周期就和摆球的尺寸有关了。本文将从严格的物理学角度，应用Matlab软件对各种角度下的轻杆类单摆的周期和运动规律进行模拟分析。此项研究对物理学其它模型的研究，各种科研活动中精细仪器的研制具有重要指导意义。此项研究解决的主要问题如下：1.设想一长为l的轻杆，连接一个质量为m的摆球，构成一个单摆，不计摩擦。建立单摆的周期与角振幅关系的数学模型，并用matlab进行曲线模拟.2.编程演示单摆振动的动画，比拟单摆振动和简谐振动的规律。3.当单摆角振幅的度数为1°到7°时(间隔为1°)，将单摆运动的角位置和角速度与简谐振动进行比拟。当单摆角振幅的度数为30°到150°时(间隔为30°)，另加179°，同样进行比拟。二、数学模型的建立如图1所示，设角位置为，摆锤的运动方程为即：在小角度的情况下，sin，可得0为圆频率：振动周期为：图1可见：在小角振动的情况下，单摆的周期与角振幅无关，这称为单摆的等时性。摆锤的角速度为=d/dt，因而可得积分得22dsindgtl=-22dsindmlmgt=-0=022T=2202d0dt+=21cos2gCl=+mgdsindgl=-22ddddddddddttt=当前位置：文档视界北京科技大学数学大作业物理组北京科技大学数学大作业物理组将周期的椭圆积分公式按二项式展开得其中(2n1)!=1·3·(2n1)。利用定积分公式可得用无穷级数表示的单摆周期假如只取常数项，可得单摆小角度的周期T0。假如取前两个正弦项，则得利用级数计算周期究竟要取多少项，则根据精度确定。三、算法及程序代码1.单摆的周期与角振幅关系【算法】MATLAB定义的第一类完全椭圆积分为周期可表示为/22012(21)!1(sin)d2!nnnnTTkxxn=-=+?/220(21)!sind2!2nnnxxn-=?2m01(21)!1sin2!2nnnnTTn=-=+224mm0222113(1sinsin.)22242TT=+/2dK(m)x=?2K().TTm=其中2sinm2m=.对于一定的角振幅，根据精度在单摆周期的无穷级数中去有限项，计算周期的近似值。【程序代码】cleartheta=0:179;thm=theta*pi/180;T0=ellipke(sin(thm/2).2)*2/pi;figureplot(theta,T0,'r-')fs=16;title('单摆的周期与角振幅的关系','FontSize',fs)xlabel('itthetarm_m/circ','FontSize',fs)ylabel('itT/Trm_0','FontSize',fs)gridonlegend('第一类完全椭圆积分')text(0,2,'itTrm_0=2pi(itl/grm)1/2','FontSize',fs)2.轻杆单摆运动的动画模拟【程序代码】clearthetam=input('输入单摆角振幅：');thm=thetam*pi/180;T=ellipke(sin(thm/2)2)*2/pi;t=linspace(0,T*2*pi);options.RelTol=1e-6;t,TH=ode45('fun',t,thm,0,options);th=TH(:,1);figureplot(0;0,0;1.05,'-.','LineWidth',2)axisequaloffijfs=16;title('单摆的振动','FontSize',fs)holdonplot(0,0,'o')plot(exp(i*(linspace(-thm,thm)+pi/2),'m-','LineWidth',2)x=sin(thm);y=cos(thm);plot(0,-x,0,y,'r:','LineWidth',2)pole=plot(0,x,0,y,'r','LineWidth',3);ball=plot(x,y,'c.','MarkerSize',50);txt1='itthetarm_m=',num2str(thetam),'circ'txt2='itT/Trm_0=',num2str(T);txt3='itTrm_0=2pi(itl/grm)1/2'text(-x/2,y/2,txt,'FontSize',fs)pausewhileget(gcf,'CurrentCharacter')=char(27)fori=1:length(t)x=sin(th(i);y=cos(th(i);set(ball,'XData',x,'YData',y)set(pole,'XData',0x,'YData',0y)drawnowpause(0.01)endend3.轻杆单摆运动规律的模拟【程序代码】clearw0t=linspace(0,4*2*pi);a=1:5;n=length(a);options.RelTol=1e-6;W=;THETA=;t0=;fori=1:nth0=a(i)*pi/180;w0t,TH=ode45('p5_5_2fun',w0t,th0;0,options);THETA=THETA,TH(:,1)*180/pi;W=W,TH(:,2);t0=t0,ellipke(sin(th0/2)2)*2/pi;endt=w0t/2/pi;figureplot(t,THETA(:,1),'o-',t,THETA(:,2),'d-',t,THETA(:,3),'s-',.t,THETA(:,4),'-',t,THETA(:,5),'v-')gridonfs=16;xlabel('时间itt/Trm_0','FontSize',fs)ylabel('角度itthetarm/circ','FontSize',fs)title('单摆的角位移(同色点为简谐振动的标准点)','FontSize',fs)leg=repmat('itthetarm_m=',n,1),num2str(real(a');%角振leg=leg,repmat('circ,itT/Trm_0=',n,1),num2str(real(t0');legend(leg,4)text(0,a(end),'itTrm_0=2pi(itl/grm)1/2','FontSize',fs)T,WT=meshgrid(t0,w0t);THm=ones(size(t)*a;THh=THm.*cos(WT./T);holdonplot(t,THh,'.')figureplot(t,W)plot(t,W(:,1),'o-',t,W(:,2),'d-',t,W(:,3),'s-',t,W(:,4),'-',.t,W(:,5),'v-')gridontitle('单摆的角速度(同色点为简谐振动的标准点)','FontSize',fs)xlabel('时间itt/Trm_0','FontSize',fs)ylabel('角速度itomega/omegarm_0','FontSize',fs)legend(leg,4)text(0,max(W(:),'itomegarm_0=2pi/itTrm_0','FontSize',fs)Wm=ones(size(w0t)*a*pi/180;Wh=-Wm./T.*sin(WT./T);holdonplot(t,Wh,'.')四.执行结果及分析1.单摆的周期与角振幅的关系程序执行结果如图2.a和图2.b所示。图2.a数值积分和符号积分与第一类完全椭圆积分公式计算的结果完全吻合。当角振幅在20o以内时，单摆的周期几乎不变；当角振幅在20o到40o之间时，单摆的周期稍有增加；当角振幅大于40o时，单摆的周期显著增加；当角振幅接近180o时，单摆的周期急剧增加。在图2.b中，实线表示用第一类完全椭圆积分公式计算的周期的准确值，点表示用级数计算的周期的近似值，容差取610.当角振幅等于5o时，只要在周期的级数中取一个正弦项即可到达精度。当角振幅等于150o时，则需要取148个正弦项才能到达精度。当角振幅在
