23数学归纳法的应用.ppt
12数学归纳法证明不等式问题：数学归纳法证明不等式问题：例例1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:)., 2(2413212111*Nnnnnn证证:(1)当当n=2时时, 左边左边= 不等式不等式 成立成立.,241324144131221121(2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即有即有: ,2413212111kkk则当则当n=k+1时时,我们有我们有:)11221121(212111221121212) 1(11) 1(1kkkkkkkkkkk.2413) 22)(12(12413)221121(2413kkkk即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立. 2, nNn例例2、证明不等式、证明不等式:*11112().23n nNn证证:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=2, 不等式显然成立不等式显然成立.(2)假设当假设当n=k时不等式成立时不等式成立,即有即有:,2131211kk则当则当n=k+1时时,我们有我们有:,11211131211kkkk2111121.11k kkkkkk. 1211131211:kkk故即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.根据根据(1)、(2)可知可知,原不等式对一切正整数都原不等式对一切正整数都 成立成立.例例3、求证、求证:).2,(12131211222nNnnn证证:(1)当当n=1时时,左边左边= ,右边右边= ,由于由于 故不等式成立故不等式成立. 45211223212,2345(2)假设假设n=k( )时命题成立时命题成立,即即 2, kNk.12131211222kk则当则当n=k+1时时,22222) 1(112) 1(1131211kkkk即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立. 2, nNn.112)111(12)1(112)1(1122kkkkkkkkk练习、已知练习、已知 求求证证 : . ,131211)(nnf)1(22)2(nnfn证证:(1)当当n=2时时, , 不等式成立不等式成立.22212124131211) 4()2(2 ff(2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即即.22)2(kfk则当则当n=k+1时时, 有有:.22) 1(212221222212211212221221121)2()2(1111kkkkffkkkkkkkkkk即当即当n=k+1时时,不等式成立不等式成立.由由(1),(2)所证不等式对一切所证不等式对一切 都成立都成立. 2, nNn作业作业 已知已知n为正偶数，用数学归纳法证明为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设时，若已假设 时命题真，则还要用归纳假设再证（时命题真，则还要用归纳假设再证（ ） 111111112234242nnnn (2,)nk kk 偶偶A. 时等式成立时等式成立 1nk B. 时等式成立时等式成立 2nk C. 时等式成立时等式成立 22nk D. 时等式成立时等式成立 2(2)nk B课堂练习课堂练习1：课堂练习课堂练习3： 设设 是定义在正整数集上的函数，且是定义在正整数集上的函数，且 满足：满足：“当当 成立时，总可以推出成立时，总可以推出 成立成立.”.” 那么，下列命题总成立的是（那么，下列命题总成立的是（ ）( )f x( )f x2( )f kk 2(1)(1)f kk22.(1)1,(10)100.(2)4,(1)1.(3)9,1,( ).(4)25,4,( )AffBffCfkf kkDfkf kk若若成成立立 则则成成立立若若成成立立 则则成成立立若若成成立立 则则当当时时 均均有有成成立立若若成成立立 则则当当时时 均均有有成成立立D问题情境一问题情境一练习：练习：1.某个命题当某个命题当n=k (kNN ) )时成立，时成立，可证得当可证得当n=k+1时也成立。现在已知当时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（时该命题不成立，那么可推得（ ） A. n=6时该命题不成立时该命题不成立 B. n=6时该命题成立时该命题成立 C. n=4时该命题不成立时该命题不成立 D. n=4时该命题成立时该命题成立C数学归纳法证明整除问题：数学归纳法证明整除问题：例例1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明: 当当n为正偶数时为正偶数时,xn-yn能被能被x+y整除整除.证证:(1)当当n=2时时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被即能被x+y整除整除,故命故命 题成立题成立.(2)假设当假设当n=2k时时,命题成立命题成立,即即x2k-y2k能被能被x+y整除整除.则当则当n=2k+2时时,有有kkkkyyxxyx22222222)()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk 都能被都能被x+y整除整除.)()(2222yxyxyyxxkkk、故故x2k+2-y2k+2能被能被x+y整除整除,即当即当n=2k+2时命题成立时命题成立.由由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立知原命题对一切正偶数均成立.例例2、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明: 能被能被8 整除整除.)( 1325*1NnAnnn证证:(1)当当n=1时时,A1=5+2+1=8,命题显然成立命题显然成立.(2)假设当假设当n=k时时,Ak能被能被8整除整除,即即 是是8的倍数的倍数.13251kkkA那么那么:) 13(45) 13(4) 1325(5132511111kkkkkkkkAA因为因为Ak是是8的倍数的倍数,3k-1+1是偶数即是偶数即4(3k-1+1)也是也是8的倍数的倍数,所以所以Ak+1也是也是8的倍数的倍数,即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、(2)知对一切正整数知对一切正整数n, An能被能被8整除整除.例例3、求证、求证:x3n-1+x3n-2+1能被能被x2+x+1整除整除.证证:(1)当当n=1时时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立从而命题成立.(2)假设当假设当n=k时命题成立时命题成立,即即x3k-1+x3k-2+1能被能被 x2+x+1整除整除则当则当n=k+1时时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1= x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1)因为因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被都能被x2+x+1整除整除,所以上式右边能被所以上式右边能被x2+x+1整除整除.即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.根据根据(1)、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,命题成立命题成立.例例1、平面内有、平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任何条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数三条不过同一点，证明交点的个数 2)1()( nnnf当当n=k+1n=k+1时：第时：第k+1k+1条直线分别与前条直线分别与前k k条直线各条直线各交于一点，共增加交于一点，共增加k k个点，个点，由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切nNnN* *,n2,n2原命题均成立。原命题均成立。证明：证明：1 1）n=2n=2时：两条直线交点个数为时：两条直线交点个数为1,1, 而而f(2)= f(2)= 2 2(2-1)=1, (2-1)=1, 命题成立。命题成立。 21 k+1k+1条直线交点个数条直线交点个数f(k+1) =f(k+1) =f(k)+kf(k)+k= k(k-1)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1 = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1 即当即当n=k+1n=k+1时命题仍成立。时命题仍成立。212121212 2）假设）假设n=k(kNn=k(kN* *,k2,k2) )时，时，k k条直线交点个数为条直线交点个数为 f(kf(k)= k(k-1),)= k(k-1),21数学归纳法证明几何问题：数学归纳法证明几何问题：v例2平面内有n(n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点v证明：n条直线交点的个数f(n)等于v分析(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊n1,2,3，猜出一般结论v(2)关键步骤的证明可以先用f(k1)f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明v(3)几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明v练 2平面上有n个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证：这n个圆分平面为n2n2个部分v证明(1)当n1时，n2n21122，而一个圆把平面分成两部分，所以n1时命题成立v(2)假设当nk时，命题成立，即k个圆分平面为k2k2个部分，则nk1时，第k1个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点把第k1个圆分成2k段，每一段把原来的所在平面一分为二，故共增加了2k个平面块，共有k2k22k(k1)2(k1)2个部分v当nk1时，命题也成立v由(1)(2)可知，这n个圆把平面分成n2n2个部分.v练 4已知数列an的第一项a15，且Sn1an(n2，nN*)，v(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；v(2)用数学归纳法证明an的通项公式v(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，va4S3a1a2a3551020，v猜想an52n2(n2，nN*)v例5(2009泰州模拟)如图，P1( x1，y1)、 P2( x2， y2) 、 、 Pn( xn，yn)(0y1y2yn)是曲线C：y23x(y0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i1,2,3，n)在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)v(1)写出a1、a2、a3；v(2)求出点An(an,0)(nN*)是横坐标an关于n的表达式并证明v即(anan1)22(an1an)v由(1)可猜想：ann(n1)，(nN*)v下面用数学归纳法证明：v(1)当n1时，命题显然成立；v(2)假定当nk时命题成立，即有akk(k1)，v则当nk1时，v由归纳假设及(ak1ak)22(akak1)，v得ak1k(k1)22k(k1)ak1，即v(ak1)22(k2k1)ak1k(k1)(k1)(k2)0v解之得ak1(k1)(k2)，vak1k(k1)1，所以1x0.又k1，x20，所以kx20.于是在不等式(1x)k1kx两边同乘以1x，得(1x)k(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x，所以(1x)k11(k1)x，即当mk1时，不等式也成立v综合，可知，对一切正整数m，不等式都成立v故只需要讨论n1,2,3,4,5的情形：v当n1时，34，等式不成立；v当n2时，324252，等式成立；v当n3时，33435363，等式成立；v当n4时，34445464为偶数，而74为奇数，故3444546474，等式不成立；v当n5时，同n4的情形可分析出，等式不成立，综上，所求的n只有n2,3.思考：思考：已知数列已知数列,411,741,1071)13)(13(1+nn ， ，计算计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。的表达式，并用数学归纳法进行证明。
